Неравенство Либа – Тирринга

В математике и физике неравенства Либа – Тирринга обеспечивают верхнюю границу сумм степеней отрицательных собственных значений оператора Шредингера в терминах интегралов потенциала. Они названы в честь Э. Х. Либ и У. Э. Тирринг.

Неравенства полезны при изучении квантовой механики и дифференциальных уравнений и подразумевают, как следствие, нижнюю границу для кинетической энергии of $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$квантово-механических частиц, которые играют важную роль в доказательстве устойчивости материи.

• 1 Формулировка неравенств
• 2 Константы Либа – Тирринга
  • 2.1 Квазиклассическое приближение
  • 2.2 Асимптотика Вейля и точные константы
• 3 Неравенства кинетической энергии
• 4 Устойчивость вещества
• 5 Обобщения
• 6 Ссылки
• 7 Литература

Для оператора Шредингера $-\; \Delta \; +\; V\; (x)\; =\; -\; \nabla \; 2\; +\; V\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Delta\; +\; V\; (x)\; =\; -\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; V\; (x)\}$на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$с вещественным потенциалом $V\; (x):\; R\; n\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x):\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, числа $\lambda \; 1\; \le \; \lambda \; 2\; \le \; \cdots \; \le \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; баранина\; da\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; dots\; \backslash \; leq\; 0\}$обозначает (не обязательно конечную) последовательность отрицательных собственных значений. Тогда для $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, удовлетворяющих одному из условий

$\gamma \; \ge \; 1\; 2,\; n\; =\; 1,\; \gamma >0,\; n\; =\; 2,\; \gamma \; \ge \; 0,\; n\; \ge \; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; gamma\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \backslash ,\; n\; =\; 1,\; \backslash \; \backslash \backslash \; gamma>0,\; \backslash ,\; n\; =\; 2,\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; \backslash \; geq\; 0,\; \backslash ,\; n\; \backslash \; geq\; 3,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

существует константа $L\; \gamma ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\}$, которая зависит только от $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, такие, что

$\sum \; j\; \ge \; 1\; |\; \lambda \; j\; |\; \gamma \; \le \; L\; \gamma ,\; n\; \int \; R\; n\; В\; (Икс)\; -\; \gamma \; +\; N\; 2\; dnx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; |\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; |\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; leq\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; V\; (x)\; \_\; \{-\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\}$

(1)

где $V\; (x)\; -:\; =\; max\; (-\; V\; (x),\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x)\; \_\; \{-\}\; :\; =\; \backslash \; max\; (-V\; (x),\; 0)\}$- отрицательная часть потенциала $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$. Случаи $\gamma >1/2,\; n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma>1/2,\; n\; =\; 1\}$, а также $\gamma >0,\; n\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash >0,\; n\; \backslash \; geq\; 2\}$были доказаны Э. Х. Либом и В. Э. Тиррингом в 1976 г. и использовались в их доказательстве устойчивости материи. В случае $\gamma \; =\; 0,\; n\; \ge \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 0,\; n\; \backslash \; geq\; 3\}$левая часть представляет собой просто количество отрицательных собственных значений, и доказательства были даны независимо М. Цвикель., Э. Х. Либ и Г. В. Розенблюм. Таким образом, результирующее неравенство $\gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 0\}$также называется границей Чвикеля – Либа – Розенблюма. Остающийся критический случай $\gamma \; =\; 1/2,\; n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1/2,\; n\; =\; 1\}$был доказан Т. Вейдлем. Условия на $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$необходимы и не могут быть ослаблены.

Квазиклассическое приближение

Неравенства Либа – Тирринга можно сравнить с полуклассическим пределом. Классическое фазовое пространство состоит из пар $(p,\; x)\; \in \; R\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (p,\; x)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2n\}\}$. Идентификация оператора импульса $-\; i\; \nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; \backslash \; nabla\}$с помощью $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и предполагая, что каждое квантовое состояние содержится в объеме $(2\; \pi )\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}$в $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$-мерное фазовое пространство, полуклассическое приближение

$>j\; \ge \; 1\; |\; \lambda \; j\; |\; \gamma \; \approx \; 1\; (2\; \pi )\; N\; \int \; р\; N\; \int \; р\; N\; (п\; 2\; +\; V\; (x))\; -\; \gamma \; dnpdnx\; =\; L\; \gamma ,\; ncl\; \int \; R\; n\; V\; (x)\; -\; \gamma \; +\; n\; 2\; dnx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; |\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; |\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\; n\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; p\; ^\; \{2\}\; +\; V\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \_\; \{-\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; ^\; \{n\}\; p\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\; =\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; V\; (x)\; \_\; \{-\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\}$

получается с константой

$L\; \gamma ,\; ncl\; =\; (4\; \pi )\; -\; n\; 2\; \Gamma \; (\gamma \; +\; 1)\; \Gamma \; (\gamma \; +\; 1\; +\; n\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\; =\; (4\; \backslash \; pi)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; gamma\; +1)\; \}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; gamma\; +1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\})\}\}\; \backslash ,.\}$

В то время как полуклассическое приближение не требует каких-либо предположений относительно $\gamma >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma>0\}$, неравенства Либа – Тирринга справедливы только для подходящего $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$.

асимптотики Вейля и точных констант

Было опубликовано множество результатов $L\; \gamma ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\}$в (1), но эта проблема все еще частично открыта. Квазиклассическое приближение становится точным в пределе большой связи, то есть для потенциалов $\beta \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; V\}$асимптотика Weyl

$lim\; \beta \; \to \; \infty \; 1\; \beta \; \gamma \; +\; n\; 2\; tr\; (-\; \Delta \; +\; \beta \; V)\; -\; \gamma \; знак\; равно\; L\; \gamma ,\; ncl\; \int \; р\; N\; В\; (Икс)\; -\; \gamma \; +\; N\; 2\; dnx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{\backslash \; gamma\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{tr\}\; (-\; \backslash \; Delta\; +\; \backslash \; beta\; V)\; \_\; \{-\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; =\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; V\; (x)\; \_\; \{-\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\}$

удерживать. Это означает, что $L\; \gamma ,\; n\; c\; l\; \le \; L\; \gamma ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\; \backslash \; leq\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\}$. Либ и Тирринг смогли показать, что $L\; \gamma ,\; n\; =\; L\; \gamma ,\; ncl\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; =\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\}$для $\gamma \; \ge \; 3/2,\; n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash \; geq\; 3/2,\; n\; =\; 1\}$. M. Айзенман и Э. Х. Либ доказали, что для фиксированного размера $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$отношение $L\; \gamma ,\; n\; /\; L\; \gamma ,\; ncl\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\; \}\; /\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\}$- монотонная, невозрастающая функция $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$. Впоследствии $L\; \gamma ,\; n\; =\; L\; \gamma ,\; ncl\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; =\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\}$также был показан удерживать для всех $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, когда $\gamma \; \ge \; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash \; geq\; 3/2\}$на A. Лаптев и Т. Вайдл. Для $\gamma \; =\; 1/2,\; n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1/2,\; \backslash ,\; n\; =\; 1\}$D. Хундертмарк, Э. Х. Либ и Л.Е. Томас доказали, что наилучшая константа дается выражением $L\; 1/2,\; 1\; =\; 2\; L\; 1/2,\; 1\; cl\; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\; /\; 2,1\}\; =\; 2L\_\; \{1\; /\; 2,1\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\; =\; 1/2\}$.

С другой стороны, известно, что для и для . В первом случае Либ и Тирринг предположили, что точная константа задается как

$L\; \gamma ,\; 1\; =\; 2\; L\; \gamma ,\; 1\; c\; l\; (\gamma \; -\; 1\; 2\; \gamma \; +\; 1\; 2)\; \gamma \; -\; 1\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; 1\}\; =\; 2L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; gamma\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; gamma\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}.\}$

Наиболее известное значение соответствующей физической константы $L\; 1,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1,3\}\}$равно $\pi \; L\; 1,\; 3\; cl\; /\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; L\_\; \{1,3\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}$, а наименьшая из известных констант в неравенстве Цвикеля – Либа – Розенблюма составляет $6,869\; L\; 0,\; ncl\; \{\backslash \; displaystyle\; 6.869L\_\; \{0,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\}$. Полный обзор наиболее известных в настоящее время значений для $L\; \gamma ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\}$можно найти в литературе.

Неравенство Либа – Тирринга для $\gamma \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1\}$эквивалентно нижней границе кинетической энергии заданного нормализованного $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$-частица волновая функция $\psi \; \in \; L\; 2\; (RN\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{Nn\})\}$в единицах плотности одного тела. Для антисимметричной волновой функции такой, что

$\psi \; (x\; 1,\dots ,\; xi,\dots ,\; xj,\dots ,\; x\; N)\; =\; -\; \psi \; (x\; 1,\dots ,\; xj,\dots ,\; xi,\dots ,\; x\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{i\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{j\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{N\})\; =\; -\; \backslash \; psi\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{\; j\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{i\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{N\})\}$

для всех $1\; \le \; i,\; j\; \le \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; N\}$, однотельная плотность определяется как

$\rho \; \psi \; (x)\; =\; N\; \int \; R\; (N\; -\; 1)\; n\; |\; \psi \; (x,\; x\; 2\dots ,\; x\; N)\; |\; 2\; d\; n\; x\; 2\; \cdots \; d\; n\; x\; N,\; x\; \in \; R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; psi\}\; (x)\; =\; N\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{(N-1)\; n\}\}\; |\; \backslash \; psi\; (x,\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{N)\; \})\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{N\},\; \backslash ,\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}.\}$

Неравенство Либа – Тирринга (1) для $\gamma \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1\}$эквивалентно утверждению, что

$\sum \; i\; =\; 1\; N\; \int \; R\; n\; |\; \nabla \; i\; \psi \; |\; 2\; dnxi\; \ge \; К\; N\; \int \; р\; N\; \rho \; \psi \; (x)\; 1\; +\; 2\; ndnx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; |\; \backslash \; nabla\; \_\; \{i\}\; \backslash \; psi\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; K\_\; \{n\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; psi\; \}\; (x)\; ^\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; x\}$

(2)

где точная константа $K\; n\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{n\}\}$определяется как

$((1\; +\; 2\; n)\; K\; n)\; 1\; +\; n\; 2\; ((1\; +\; n\; 2)\; L\; 1,\; n)\; 1\; +\; 2\; n\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; K\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; L\_\; \{1,\; n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\}\}\; =\; 1\; \backslash ,.\}$

Неравенство может быть распространено на частицы со спином состояниями, заменив однотельную плотность на однокорпусную плотность, суммированную по спину. Константа $K\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\}$затем должна быть заменена на $K\; n\; /\; q\; 2\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; /\; q\; ^\; \{2\; /\; n\}\}$где $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$- количество квантовых спиновых состояний, доступных для каждой частицы ($q\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; 2\}$для электронов). Если волновая функция является симметричной, а не антисимметричной, такой, что

$\psi \; (x\; 1,\dots ,\; xi,\dots ,\; xj,\dots ,\; xn)\; =\; \psi \; (x\; 1,\dots ,\; xj,\dots ,\; xi,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{i\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{j\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; psi\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{j\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{i\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\}$

для всех $1\; \le \; i,\; j\; \le \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; N\}$, константа $K\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\}$должна быть заменена на $K\; n\; /\; N\; 2\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; /\; N\; ^\; \{2\; /\; n\}\}$. Неравенство (2) описывает минимальную кинетическую энергию, необходимую для достижения заданной плотности $\rho \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; psi\}\}$с $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$частицы в размерах $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Если $L\; 1,\; 3\; =\; L\; 1,\; 3\; cl\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1,3\}\; =\; L\_\; \{1,3\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{cl\}\}\}$подтвердилось, правая часть (2) для $n\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\}$будет в точности членом кинетической энергии в теории Томаса – Ферми.

Неравенство можно сравнить с неравенством Соболева. М. Рюмин получил неравенство кинетической энергии (2) (с меньшей константой) напрямую, без использования неравенства Либа – Тирринга.

Неравенство кинетической энергии играет важную роль в доказательстве устойчивости материи, представленной Либом и Тиррингом. Рассматриваемый гамильтониан описывает систему из $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$частиц со спиновыми состояниями $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$и $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$фиксированные ядра в местоположениях $R\; j\; \in \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{j\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \}$с начислениями $Z\; j>0\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{j\}>0\}$. Частицы и ядра взаимодействуют друг с другом посредством электростатической кулоновской силы и может быть введено произвольное магнитное поле. Если рассматриваемые частицы являются фермионами (т.е. волновая функция $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$равна антисимметричный), то неравенство кинетической энергии (2) выполняется с константой $K\; n\; /\; q\; 2\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; /\; q\; ^\; \{2\; /\; n\}\}$( не $К\; n\; /\; N\; 2\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; /\; N\; ^\; \{2\; /\; n\}\}$). Это важнейший ингредиент в доказательстве устойчивости вещества для системы фермионов. Он гарантирует, что основное состояние энергия $EN,\; M\; (Z\; 1,\dots ,\; ZM)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{N,\; M\}\; (Z\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; Z\_\; \{M\})\; \}$системы можно ограничить снизу константой, зависящей только от максимума зарядов ядер, $Z\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$, раз количество частиц,

$EN,\; M\; (Z\; 1,\dots ,\; ZM)\; \ge \; -\; C\; (Z\; max)\; (M\; +\; N).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{N,\; M\}\; (Z\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; Z\_\; \{M\})\; \backslash \; geq\; -C\; (Z\; \_\; \{\backslash \; max\})\; (M\; +\; N)\; \backslash ,.\}$

Тогда система стабильная первого рода, поскольку энергия основного состояния ограничена снизу, а также стабильная второго рода, т.е. энергия убывает линейно с числом частиц и ядер. Для сравнения, если предполагается, что частицы являются бозонами (т.е. волновая функция $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$симметрична), то кинетическая энергия неравенства (2) выполняется только с константой $K\; n\; /\; N\; 2\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; /\; N\; ^\; \{2\; /\; n\}\}$, а для энергии основного состояния только граница форма $-\; CN\; 5/3\; \{\backslash \; displaystyle\; -CN\; ^\; \{5/3\}\}$удерживается. Поскольку степень $5/3\; \{\backslash \; displaystyle\; 5/3\}$может быть показана как оптимальная, система бозонов является стабильной первого типа, но нестабильной - второго.

Если лапласиан $-\; \Delta \; =\; -\; \nabla \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Delta\; =\; -\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\}$заменяется на $(я\; \nabla \; +\; A\; (x))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathrm\; \{i\}\; \backslash \; nabla\; +\; A\; (x))\; ^\; \{2\}\}$, где $A\; (x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; A\; (x)\}$- векторный потенциал магнитного поля в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, неравенстве Либа – Тирринга. (1) остается верным. Доказательство этого утверждения использует диамагнитное неравенство. Хотя все известные в настоящее время константы $L\; \gamma ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\}$остаются неизменными, неизвестно, верно ли это в целом для наилучшей из возможных констант.

Лапласиан также можно заменить другими степенями $-\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Delta\}$. В частности, для оператора $-\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \backslash \; Delta\}\}\}$неравенство Либа – Тирринга, аналогичное (1), выполняется с другой константой $L\; \gamma ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; gamma,\; n\}\}$и с заменой степени в правой части на $\gamma \; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; +\; n\}$. Аналогичным образом выполняется кинетическое неравенство, подобное (2), с заменой $1\; +\; 2\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; 2\; /\; n\}$на $1\; +\; 1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; 1\; /\; n\}$, который может быть использован для доказательства устойчивости материи для релятивистского оператора Шредингера при дополнительных предположениях о зарядах $Z\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{k\}\}$.

In По сути, неравенство Либа – Тирринга (1) дает верхнюю границу расстояний от собственных значений $\lambda \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\}$до существенного спектра $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$в терминах возмущения $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$. Аналогичные неравенства можно доказать для операторов Якоби.

• Lieb, E.H.; Сейрингер, Р. (2010). Устойчивость материи в квантовой механике (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521191180.
• Хундертмарк, Д. (2007). «Некоторые проблемы связанного состояния в квантовой механике». У Фрица Гестези; Перси Дейфт; Чери Гальвез; Питер Перри; Вильгельм Шлаг (ред.). Спектральная теория и математическая физика: сборник в честь 60-летия Барри Саймона. Труды симпозиумов по чистой математике. 76 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 463–496. Bibcode : 2007stmp.conf..463H. ISBN 978-0-8218-3783-2.