Распределение Леви

редактировать
Для более общего семейства альфа-стабильных распределений Леви, из которых это распределение является частным случаем, см. Стабильное распределение.
Леви (без сдвига)
Функция плотности вероятности Распределение Леви PDF
Кумулятивная функция распределения Распределение Леви CDF
Параметры μ {\ displaystyle \ mu}место нахождения; шкала c gt; 0 {\ displaystyle cgt; 0 \,}
Служба поддержки Икс [ μ , ) {\ Displaystyle х \ в [\ му, \ infty)}
PDF c 2 π     е - c 2 ( Икс - μ ) ( Икс - μ ) 3 / 2 {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~~ {\ frac {e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}} {(x - \ mu) ^ {3/2}}}}
CDF erfc ( c 2 ( Икс - μ ) ) {\ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \ right)}
Иметь в виду {\ displaystyle \ infty}
Медиана μ + c / 2 ( erfc - 1 ( 1 / 2 ) ) 2 {\ Displaystyle \ му + с / 2 ({\ textrm {erfc}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,}
Режим μ + c 3 {\ displaystyle \ mu + {\ frac {c} {3}}}
Дисперсия {\ displaystyle \ infty}
Асимметрия неопределенный
Бывший. эксцесс неопределенный
Энтропия

1 + 3 γ + пер ( 16 π c 2 ) 2 {\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}}}

где - постоянная Эйлера-Маскерони γ {\ displaystyle \ gamma}
MGF неопределенный
CF е я μ т - - 2 я c т {\ Displaystyle е ^ {я \ му т - {\ sqrt {-2ict}}}}

В теории вероятностей и статистике, то распределение Леви, названное в честь Пола Леви, является непрерывным распределением вероятностей для неотрицательной случайной величины. В спектроскопии это распределение с частотой в качестве зависимой переменной известно как профиль Ван-дер-Ваальса. Это частный случай обратного гамма-распределения. Это стабильный дистрибутив.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 Связанные дистрибутивы
  • 3 Генерация случайной выборки
  • 4 Приложения
  • 5 Сноски
  • 6 Примечания
  • 7 ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Определение

Функция плотности вероятности распределения Леви по области равна Икс μ {\ Displaystyle х \ geq \ mu}

ж ( Икс ; μ , c ) знак равно c 2 π     е - c 2 ( Икс - μ ) ( Икс - μ ) 3 / 2 {\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~~ {\ frac {e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}} {(x- \ mu) ^ {3/2}}}}

где - параметр местоположения, а - параметр масштаба. Кумулятивная функция распределения: μ {\ displaystyle \ mu} c {\ displaystyle c}

F ( Икс ; μ , c ) знак равно erfc ( c 2 ( Икс - μ ) ) знак равно 2 - 2 Φ ( c ( Икс - μ ) ) {\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \ right) = 2–2 \ Phi \ left ({\ sqrt {\ frac {c} {(x- \ mu)}}} \ right)}

где - дополнительная функция ошибок, а - функция Лапласа (CDF стандартного нормального распределения). Параметр сдвига имеет эффект сдвига кривой вправо на величину и изменения поддержки на интервал [,). Как и все стабильные распределения, распределение Леви имеет стандартную форму f (x; 0,1), которая обладает следующим свойством: erfc ( z ) {\ Displaystyle {\ textrm {erfc}} (г)} Φ ( Икс ) {\ Displaystyle \ Phi (х)} μ {\ displaystyle \ mu} μ {\ displaystyle \ mu} μ {\ displaystyle \ mu} {\ displaystyle \ infty}

ж ( Икс ; μ , c ) d Икс знак равно ж ( у ; 0 , 1 ) d у {\ Displaystyle е (х; \ му, с) dx = f (y; 0,1) dy \,}

где y определяется как

у знак равно Икс - μ c {\ Displaystyle у = {\ гидроразрыва {x- \ mu} {c}} \,}

Характеристическая функция распределения Леви задается

φ ( т ; μ , c ) знак равно е я μ т - - 2 я c т . {\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}

Обратите внимание, что характеристическая функция также может быть записана в той же форме, что и для устойчивого распределения, с помощью и: α знак равно 1 / 2 {\ Displaystyle \ альфа = 1/2} β знак равно 1 {\ displaystyle \ beta = 1}

φ ( т ; μ , c ) знак равно е я μ т - | c т | 1 / 2   ( 1 - я   подписать ( т ) ) . {\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-я ~ {\ textrm {sign}} (t))}. }

Предположим, что n- й момент несмещенного распределения Леви формально определяется следующим образом: μ знак равно 0 {\ displaystyle \ mu = 0}

м п   знак равно d е ж   c 2 π 0 е - c / 2 Икс Икс п Икс 3 / 2 d Икс {\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, dx}

которое расходится для всех, так что целых моментов распределения Леви не существует (только некоторые дробные моменты). п 0,5 {\ Displaystyle п \ geq 0,5}

Функция создания момента формально определяется следующим образом:

M ( т ; c )   знак равно d е ж   c 2 π 0 е - c / 2 Икс + т Икс Икс 3 / 2 d Икс {\ Displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, dx}

однако это отклоняется и поэтому не определено на интервале около нуля, поэтому функция, производящая момент, не определена как таковая. т gt; 0 {\ displaystyle tgt; 0}

Как и все стабильные распределения, кроме нормального, крыло функции плотности вероятности демонстрирует поведение тяжелого хвоста, спадающее по степенному закону:

ж ( Икс ; μ , c ) c 2 π 1 Икс 3 / 2 {\ displaystyle f (x; \ mu, c) \ sim {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}}   в качестве   Икс , {\ Displaystyle х \ к \ infty,}

что показывает, что Леви не только с тяжелым хвостом, но и с толстым хвостом. Это проиллюстрировано на диаграмме ниже, на которой функции плотности вероятности для различных значений c и нанесены на логарифмический график. μ знак равно 0 {\ displaystyle \ mu = 0}

Функция плотности вероятности для распределения Леви на логарифмическом графике

Стандартное распределение Леви удовлетворяет условию устойчивости

( Икс 1 + Икс 2 + + Икс п ) п 1 / α Икс {\ displaystyle (X_ {1} + X_ {2} + \ dotsb + X_ {n}) \ sim n ^ {1 / \ alpha} X},

где - независимые стандартные переменные Леви с. Икс 1 , Икс 2 , , Икс п , Икс {\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, X} α знак равно 1 / 2 {\ Displaystyle \ альфа = 1/2}

Связанные дистрибутивы

  • Если тогда Икс Леви ( μ , c ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)} k Икс + б Леви ( k μ + б , k c ) {\ displaystyle kX + b \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc)}
  • Если то ( обратное гамма-распределение ) Здесь распределение Леви является частным случаем V-распределения Пирсона. Икс Леви ( 0 , c ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)} Икс Инв-Гамма ( 1 2 , c 2 ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}
  • Если ( Нормальное распределение ), то Y Обычный ( μ , σ ) {\ Displaystyle \, Y \, \ sim \, {\ textrm {Нормальный}} (\ mu, \ sigma)} ( Y - μ ) - 2 Леви ( 0 , 1 / σ 2 ) {\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
  • Если тогда Икс Обычный ( μ , 1 σ ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}})} ( Икс - μ ) - 2 Леви ( 0 , σ ) {\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma)}
  • Если то ( стабильное распределение ) Икс Леви ( μ , c ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)} Икс Стабильный ( 1 / 2 , 1 , c , μ ) {\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Stable}} (1/2,1, c, \ mu)}
  • Если, то ( Масштабированное обратное распределение хи-квадрат ) Икс Леви ( 0 , c ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)} Икс Масштаб-ин- χ 2 ( 1 , c ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}
  • Если то ( сложенное нормальное распределение ) Икс Леви ( μ , c ) {\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)} ( Икс - μ ) - 1 2 Сложенный Нормальный ( 0 , 1 / c ) {\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}

Генерация случайной выборки

Случайные выборки из распределения Леви могут быть сгенерированы с использованием выборки с обратным преобразованием. Для случайной переменной U, взятой из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1], переменная X, заданная формулой

Икс знак равно F - 1 ( U ) знак равно c ( Φ - 1 ( 1 - U ) ) 2 + μ {\ Displaystyle X = F ^ {- 1} (U) = {\ frac {c} {(\ Phi ^ {- 1} (1-U)) ^ {2}}} + \ mu}

распределено по Леви с учетом местоположения и масштаба. Вот кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения. μ {\ displaystyle \ mu} c {\ displaystyle c} Φ ( Икс ) {\ Displaystyle \ Phi (х)}

Приложения

Сноски

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-04-16 11:47:46
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте