Для более общего семейства альфа-стабильных распределений Леви, из которых это распределение является частным случаем, см.
Стабильное распределение.
В теории вероятностей и статистике, то распределение Леви, названное в честь Пола Леви, является непрерывным распределением вероятностей для неотрицательной случайной величины. В спектроскопии это распределение с частотой в качестве зависимой переменной известно как профиль Ван-дер-Ваальса. Это частный случай обратного гамма-распределения. Это стабильный дистрибутив.
СОДЕРЖАНИЕ
- 1 Определение
- 2 Связанные дистрибутивы
- 3 Генерация случайной выборки
- 4 Приложения
- 5 Сноски
- 6 Примечания
- 7 ссылки
- 8 Внешние ссылки
Определение
Функция плотности вероятности распределения Леви по области равна
где - параметр местоположения, а - параметр масштаба. Кумулятивная функция распределения:
где - дополнительная функция ошибок, а - функция Лапласа (CDF стандартного нормального распределения). Параметр сдвига имеет эффект сдвига кривой вправо на величину и изменения поддержки на интервал [,). Как и все стабильные распределения, распределение Леви имеет стандартную форму f (x; 0,1), которая обладает следующим свойством:
где y определяется как
Характеристическая функция распределения Леви задается
Обратите внимание, что характеристическая функция также может быть записана в той же форме, что и для устойчивого распределения, с помощью и:
Предположим, что n- й момент несмещенного распределения Леви формально определяется следующим образом:
которое расходится для всех, так что целых моментов распределения Леви не существует (только некоторые дробные моменты).
Функция создания момента формально определяется следующим образом:
однако это отклоняется и поэтому не определено на интервале около нуля, поэтому функция, производящая момент, не определена как таковая.
Как и все стабильные распределения, кроме нормального, крыло функции плотности вероятности демонстрирует поведение тяжелого хвоста, спадающее по степенному закону:
- в качестве
что показывает, что Леви не только с тяжелым хвостом, но и с толстым хвостом. Это проиллюстрировано на диаграмме ниже, на которой функции плотности вероятности для различных значений c и нанесены на логарифмический график.
Функция плотности вероятности для распределения Леви на логарифмическом графике
Стандартное распределение Леви удовлетворяет условию устойчивости
- ,
где - независимые стандартные переменные Леви с.
Связанные дистрибутивы
- Если тогда
- Если то ( обратное гамма-распределение ) Здесь распределение Леви является частным случаем V-распределения Пирсона.
- Если ( Нормальное распределение ), то
- Если тогда
- Если то ( стабильное распределение )
- Если, то ( Масштабированное обратное распределение хи-квадрат )
- Если то ( сложенное нормальное распределение )
Генерация случайной выборки
Случайные выборки из распределения Леви могут быть сгенерированы с использованием выборки с обратным преобразованием. Для случайной переменной U, взятой из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1], переменная X, заданная формулой
распределено по Леви с учетом местоположения и масштаба. Вот кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения.
Приложения
Сноски
Примечания
использованная литература
внешние ссылки