Элемент идентичности

редактировать
Определенный элемент алгебраической структуры

В математике, элемент идентичности, или нейтральный элемент, представляет собой особый тип элемента из набора по отношению к бинарной операции в этом наборе, которая оставляет любой элемент устанавливается без изменений при совмещении с ним. Эта концепция используется в алгебраических структурах, таких как группы и кольца. Термин «элемент идентичности» часто сокращается до «идентичность» (как в случае аддитивной идентичности и мультипликативной идентичности), когда нет возможности путаницы, но идентичность неявно зависит от бинарной операции, с которой она связана.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Примеры
  • 3 Свойства
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания и ссылки
  • 6 Библиография
  • 7 Дополнительная литература

Определения

Пусть (S, ∗) - множество S с бинарной операцией ∗. Тогда элемент e из S называется левым тождеством, если e ∗ a = a для всех a в S, и правым тождеством если a ∗ e = a для всех a в S. Если e является одновременно левым и правым тождеством, то оно называется двусторонним тождеством или просто тождеством .

Тождество по отношению к сложению называется аддитивным тождеством (часто обозначается как 0), а тождество по отношению к умножению называется мультипликативным тождеством (часто обозначается как 1). Это не обязательно должно быть обычное сложение и умножение, поскольку основная операция может быть довольно произвольной. В случае группы , например,, элемент идентичности иногда просто обозначается символом e {\ displaystyle e}e . Различие между аддитивной и мультипликативной идентичностью чаще всего используется для наборов, которые поддерживают обе двоичные операции, такие как кольца, целые домены и поля. В последнем контексте мультипликативное тождество часто называют единицей (кольцо с единицей). Это не следует путать с единицей в теории колец, которая представляет собой любой элемент, имеющий мультипликативный обратный. По своему собственному определению, единство обязательно является единицей.

Примеры

УстановитьОперацияИдентичность
Действительные числа + (сложение )0
Действительные числа· (умножение )1
Положительные целые числа Наименьшее общее кратное 1
Неотрицательные целые числа Наибольший общий делитель 0 (в большинстве определений НОД)
m-by-n матриц Матрица сложения Нулевая матрица
n-на-n квадратных матрицМатричное умножение In(единичная матрица )
m- по n матриц○ (произведение Адамара )Jm, n (матрица единиц )
Все функции из набора, M, самому себе∘ (композиция функции )функция идентичности
Все распределения в группе, G∗ ( свертка )δ (дельта Дирака )
Расширенные действительные числа Минимум / инфимум+ ∞
Расширенные действительные числаМаксимум / supremum−∞
Подмножества набора M∩ (пересечение )M
Наборы∪ (union )∅ ( эм pty set )
Строки, списки Конкатенация Пустая строка, пустой список
A Логическая алгебра ∧ (логический и )⊤ (истина)
Булева алгебра∨ (логическая или )⊥ (ложь)
Булева алгебра⊕ (исключающая или )⊥ (ложь)
Узлы Сумма узлов Без узлов
Компактные поверхности # (связная сумма )S
Группы Прямое произведение Тривиальная группа
Два элемента, {e, f}∗ определяется как. e ∗ e = f ∗ e = e и. f ∗ f = e ∗ f = fИ e, и f - левые тождества,., но нет правого тождества. и нет двустороннего тождества
Однородные отношения на множестве XОтносительный продукт Отношение идентичности

Свойства

Как показывает последний пример (полугруппа ), (S, ∗) может иметь несколько левых тождеств. Фактически, каждый элемент может быть левой идентичностью. Подобным образом может быть несколько правильных идентичностей. Но если есть и правая идентичность, и левая идентичность, тогда они должны быть равны, в результате чего получается одна двусторонняя идентичность.

Чтобы убедиться в этом, заметьте, что если l - левая единица, а r - правая единица, то l = l ∗ r = r. В частности, никогда не может быть более одного двустороннего тождества: если бы их было два, скажем, e и f, то e ∗ f должно было бы быть равно как e, так и f.

Также вполне возможно, что (S, ∗) не имеет элемента идентичности, например, в случае четных целых чисел при операции умножения. Другим распространенным примером является перекрестное произведение векторов , где отсутствие элемента идентичности связано с тем фактом, что направление любого ненулевого перекрестного произведения всегда равно ортогонально любому умноженному элементу. То есть невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и исходный. Еще один пример группы без элемента идентичности включает в себя аддитивную полугруппу из положительных натуральных чисел.

См. Также

Примечания и ссылки

Библиография

Дополнительная литература

  • M. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7, стр. 14–15
Последняя правка сделана 2021-05-23 10:31:06
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте