Войти
Каждый ограниченный, непустой, вещественный набор имеет наименьшую верхнюю границу. В математике свойство наименьшей верхней границы (иногда полнота или свойство supremum или lub ) является фундаментальным свойством вещественных чисел. В более общем плане, частично упорядоченный набор X имеет свойство наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество X с верхней границей имеет наименьшая верхняя граница (супремум) в X.
Свойство наименьшей верхней границы - это одна из форм аксиомы полноты для действительных чисел, и иногда ее называют Дедекиндова полнота . Его можно использовать для доказательства многих фундаментальных результатов реального анализа, таких как теорема о промежуточном значении, теорема Больцано – Вейерштрасса, теорема об экстремальных значениях и теорема Гейне – Бореля. Обычно это используется в качестве аксиомы в синтетических конструкциях действительных чисел (см. аксиома наименьшей верхней границы ), и это также тесно связано с построением действительных чисел с использованием Дедекинд сокращает.
В теории порядка это свойство может быть обобщено до понятия полноты для любого частично упорядоченного множества. линейно упорядоченное множество, которое является плотным и имеет свойство наименьшей верхней границы, называется линейным континуумом.
Пусть S будет непустым набором действительных чисел.
Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что любой непустой набор действительных чисел, имеющий верхнюю границу Граница должна иметь наименьшую верхнюю границу в действительных числах.
Красный: множество 
. Синий: набор его верхних границ в 
.В более общем плане, можно определить верхнюю границу и наименьшую верхнюю границу для любого подмножества из частично упорядоченный набор X, в котором «действительное число» заменено на «элемент X». В этом случае мы говорим, что X имеет свойство наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество X с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу в X.
Например, набор Q из рациональных чисел не имеет свойства наименьшей верхней границы при обычном порядке. Например, набор
имеет верхнюю границу в Q, но не имеет наименьшей верхней границы в Q (поскольку квадратный корень из двух является иррациональным ). Конструкция вещественных чисел с использованием сокращений Дедекинда использует преимущество этого отказа, определяя иррациональные числа как наименьшие верхние границы определенных подмножеств рациональных чисел.
Свойство наименьшей верхней границы эквивалентно другим формам аксиомы полноты , таким как сходимость Последовательности Коши или теорема о вложенных интервалах. Логический статус свойства зависит от конструкции используемых действительных чисел : в синтетическом подходе свойство обычно принимается как аксиома для действительных чисел (см. аксиома наименьшей верхней границы ); при конструктивном подходе свойство должно быть доказано как теорема либо непосредственно из конструкции, либо как следствие какой-либо другой формы полноты.
Свойство наименьшей верхней границы можно доказать, используя предположение, что каждая последовательность Коши действительных чисел сходится. Пусть S будет непустым набором действительных чисел, и предположим, что S имеет верхнюю границу B 1. Поскольку S непусто, существует действительное число A 1, которое не является верхней границей для S. Определите последовательности A 1, A 2, A 3,... и B 1, B 2, B 3,... рекурсивно следующим образом:
Тогда A 1 ≤ A 2 ≤ A 3 ≤ ⋯ ≤ B 3 ≤ B 2 ≤ B 1 и | A n - B n | → 0 при n → ∞. Отсюда следует, что обе последовательности являются Коши и имеют одинаковый предел L, который должен быть наименьшей верхней границей для S.
Свойство наименьшей верхней границы для R можно использовать для доказательства многих основных основополагающих теорем реального анализа.
Пусть f: [a, b] → R будет непрерывная функция, и предположим, что f (a) < 0 and f (b)>0. В этом случае теорема о промежуточном значении утверждает, что f должен иметь корень в интервале [a, b]. Эту теорему можно доказать, рассматривая множество
То есть S - начальный сегмент [a, b], который принимает отрицательные значения при f. Тогда b является верхней границей для S, и точная верхняя граница должна быть корнем f.
Теорема Больцано – Вейерштрасса для R утверждает, что каждая последовательность xnдействительных чисел в закрытый интервал [a, b] должен иметь сходящуюся подпоследовательность. Эту теорему можно доказать, рассматривая множество
Ясно, что b является верхней оценкой для S, поэтому S имеет точную верхнюю границу c. Тогда c должна быть предельной точкой последовательности x n, и отсюда следует, что x n имеет подпоследовательность, которая сходится к c.
Пусть f: [a, b] → R - непрерывная функция и пусть M = sup f ([a, b]), где M = ∞, если f ([a, b]) не имеет верхней границы. Теорема об экстремальном значении утверждает, что M конечно и f (c) = M для некоторого c ∈ [a, b]. Это можно доказать, рассматривая множество
Если c - наименьшая верхняя граница этого множества, то из непрерывности следует, что f (c) = M.
Пусть [a, b] - отрезок в R, и пусть { U α } будет набором открытых множеств, которые покрывают [a, b]. Тогда теорема Гейне – Бореля утверждает, что некоторая конечная подгруппа {U α } покрывает также [a, b]. Это утверждение можно доказать, рассматривая множество
Это множество должно имеют точную верхнюю границу c. Но c сам является элементом некоторого открытого множества U α, и отсюда следует, что [a, c + δ] может быть покрыто конечным числом U α для некоторого достаточно малого δ>0. Это доказывает, что c + δ ∈ S, и также приводит к противоречию, если только c = b.
Важность свойства наименьшей верхней границы была впервые признана Бернардом Больцано в его статье 1817 г. Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewäahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege.
