Войти
Законы мысли - это фундаментальные аксиоматические правила, на которых строится сам рациональный дискурс. часто считается основанным. Формулирование и разъяснение таких правил имеют давнюю традицию в истории философии и логики. Обычно они воспринимаются как законы, которые направляют и лежат в основе мышления, мыслей, выражений, дискуссий и т. Д. Однако такие классические идеи часто подвергаются сомнению или отвергаются в более поздних разработках, таких как интуиционистская логика, диалетеизм и нечеткая логика.
Согласно Кембриджскому философскому словарю 1999 г., законы мысли - это законы, по которым или в соответствии с которыми действует действительное мышление, или которые оправдывают действительный вывод, или к которому сводится весь действительный вывод. Законы мысли - это правила, которые применяются без исключения к любому предмету мысли и т.д.; иногда их называют объектом логики. Этот термин, который редко используется разными авторами в одном и том же смысле, долгое время ассоциировался с тремя одинаково неоднозначными выражениями: законом идентичности (ID), законом противоречия (или непротиворечие; NC) и закон исключенного среднего (EM). Иногда эти три выражения принимаются как предложения из формальной онтологии, имеющие максимально широкий предмет, предложения, которые применяются к сущностям как таковым: (ID), все есть (т. Е. Идентично к) себе; (NC) никакая вещь, имеющая данное качество, также не имеет отрицательного значения этого качества (например, никакое четное число не является четным); (EM) каждая вещь либо имеет заданное качество, либо имеет отрицательные стороны этого качества (например, каждое число либо четное, либо нечетное). Столь же обычным явлением в старых работах является использование этих выражений для принципов металогики о предложениях: (ID) каждое предложение подразумевает себя; (NC) ни одно утверждение не является одновременно истинным и ложным; (EM) каждое предложение истинно или ложно.
С середины до конца 1800-х годов эти выражения использовались для обозначения предложений логической алгебры о классах: (ID) каждый класс включает себя; (NC) каждый класс таков, что его пересечение («продукт») с его собственным дополнением является нулевым классом; (EM) каждый класс таков, что его объединение («сумма») с его собственным дополнением является универсальным классом. Совсем недавно последние два из трех выражений использовались в связи с классической логикой высказываний и с так называемой или квантифицированной логикой высказываний ; в обоих случаях закон непротиворечивости включает отрицание соединения («и») чего-либо с его собственным отрицанием ¬ (A∧¬A), а закон исключенного среднего включает разъединение («или») что-то со своим собственным отрицанием, A∨¬A. В случае логики высказываний «что-то» - это схематическая буква, служащая заполнителем, тогда как в случае прототетической логики «что-то» - это подлинная переменная. Выражения «закон непротиворечия» и «закон исключенного третьего» также используются для семантических принципов теории моделей, касающихся предложений и интерпретаций: (NC) без интерпретации является данное предложение является как истинным, так и ложным, (EM) при любом толковании данное предложение является истинным или ложным.
Вышеупомянутые выражения использовались по-разному. Многие другие положения также упоминались как законы мысли, в том числе dictum de omni et nullo, приписываемый Аристотелю, заместительность тождественных (или равных), приписываемый Евклиду, так называемая идентичность неразличимых, приписываемая Готфриду Вильгельму Лейбницу, и другие «логические истины».
Выражение «законы мысли» приобрело дополнительную известность благодаря его использованию Булевым (1815–64) для обозначения теорем его «алгебры логики»; на самом деле, он назвал свою вторую книгу по логике «Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854 г.). Современные логики, почти единодушно не соглашаясь с Булем, считают это выражение неправильным; Ни одно из вышеперечисленных утверждений, отнесенных к «законам мысли», явно не касается мысли как таковой, ментального феномена, изучаемого психологией, и при этом они не содержат явной ссылки на мыслителя или знающего, как это было бы в случае прагматика или в эпистемология. Широко признано различие между психологией (как исследованием психических феноменов) и логикой (как исследованием достоверных выводов).
Гамильтон предлагает историю трех традиционных законов, которая начинается с Платона и продолжается через Аристотеля, и заканчивается школьниками средневековья ; кроме того, он предлагает четвертый закон (см. запись ниже, в разделе Гамильтон ):
Ниже изложены три традиционных «закона» словами Бертрана Рассела (1912):
Закон идентичности : «Что бы ни было, есть».
Для всех a: a = a.
Что касается этого закона, Аристотель писал:
Во-первых, по крайней мере, это очевидно верно, что слово « «быть» или «не быть» имеет определенное значение, так что не все будет «таким и не таким». Опять же, если «человек» имеет одно значение, пусть это будет «двуногое животное»; имея одно значение, я поймите это: - если «человек» означает «X», тогда, если A - мужчина, «X» будет тем, что для него означает «быть мужчиной» (не имеет значения, даже если бы кто-то сказал, что слово имеет несколько значений, если только их количество ограничено; для каждого определения может быть назначено другое слово. Таким образом, мы могли бы сказать, что «человек» имеет не одно значение, а несколько, одно из которых имеет одно определение, а именно. «двуногое животное», хотя могло бы быть и несколько других определений, если бы они были ограничены числом; ибо каждому из определений может быть присвоено своеобразное имя. Однако, если бы они не были ограничены, а сказали бы, что слово имеет бесконечное количество значений, очевидно, что рассуждения были бы невозможны; ибо не иметь одного значения - значит не иметь значения, и если слова не имеют значения, наши рассуждения друг с другом, а в действительности и с самими собой, были уничтожены; ибо невозможно думать ни о чем, если мы не думаем об одном; но если это возможно, этому предмету может быть присвоено одно имя.)
— Аристотель, Метафизика, Книга IV, часть 4 (перевод В.Д. Росс)Более двух тысячелетий спустя, Джордж Буль сослался на тот же принцип, что и Аристотель, когда Буль сделал следующее наблюдение относительно природы языка и тех принципов, которые естественным образом должны быть им присущи:
Существуют на самом деле, определенные общие принципы, основанные на самой природе языка, определяют использование символов, которые являются лишь элементами научного языка. В определенной степени эти элементы произвольны. Их интерпретация чисто условна: нам разрешено использовать их в любом смысле, который нам нравится. Но это разрешение ограничено двумя обязательными условиями: во-первых, мы никогда не отклоняемся от того смысла, который был однажды условно установлен; в одном и том же процессе рассуждений; во-вторых, законы, по которым осуществляется процесс, основываются исключительно на указанном выше фиксированном смысле или значении используемых символов.
— Джордж Буль, Исследование законов мыслизакон непротиворечия (альтернативно «закон противоречия»): «Ничто не может одновременно быть и не быть».
Другими словами: « два или более противоречащих друг другу утверждения не могут быть одновременно истинными в одном и том же смысле ": ¬ (A∧ ¬A).
По словам Аристотеля, «нельзя сказать о чем-то, что это есть, и что это не в одном и том же отношении и в одно и то же время». В качестве иллюстрации этого закона он писал:
Следовательно, невозможно, чтобы «быть человеком» означало именно не быть человеком, если «человек» не только означает что-то в одном предмете, но также имеет одно значение.... И не может быть и не быть одним и тем же, кроме как в силу двусмысленности, как если бы один, кого мы называем «человеком», а другие называли «не-человеком»; но вопрос не в том, может ли одно и то же одновременно быть и не быть человеком по имени, а в том, может ли это быть на самом деле.
— Аристотель, Метафизика, Книга IV, Часть 4 (перевод WD Ross)Закон исключенного третьего: «Все должно быть или не быть».
В соответствии с законом исключенного третьего или исключенная третья, для каждого предложения истинна либо его положительная, либо отрицательная форма: A ∨ ¬A.
Что касается закона исключенного среднего, Аристотель писал:
Но, с другой стороны, не может быть промежуточного звена между противоречиями, но в отношении одного предмета мы должны либо подтвердить, либо опровергнуть любое из них. предикат. Это станет ясно, в первую очередь, если мы определим, что такое истина и ложь. Говорить о том, что это не так, или о том, что не является тем, что оно есть, - ложно, в то время как говорить о том, что это такое, и о том, что не является тем, что не является, - верно; так что тот, кто говорит о чем-либо, что это есть, или что это не так, будет говорить либо о том, что истинно, либо что ложно
— Аристотель, Метафизика, Книга IV, Часть 7 (перевод В.Д. Росс)Как показывают приведенные выше цитаты из Гамильтона, в частности, «закон тождества», обоснование и выражение «законов мысли» были плодородной почвой для философских дебатов со времен Платона. Сегодня споры о том, как мы «познаем» мир вещей и наши мысли, продолжаются; примеры обоснований см. в записях ниже.
В одном из сократовских диалогов Платона Сократ описал три принципа, выведенных из самоанализа :
Во-первых, ничто не может стать больше или меньше, ни по количеству, ни по величине, оставаясь равным самому себе... Во-вторых, что без сложения или вычитания нет ни увеличения, ни уменьшения чего-либо, а только равенство... В-третьих, что
— Платон, Теэтет, 155закон не- противоречие встречается в древней индийской логике как метаправило в сутрах Шраута, грамматике Панини и сутрах Брахмы. приписывается Вьясе. Позже это было развито средневековыми комментаторами, такими как Мадхвачарья.
Джон Локк утверждал, что принципы тождества и противоречия (т.е. закон тождества и закон непротиворечия) являются общими. идеи и пришли в голову людям только после серьезных абстрактных философских размышлений. Он охарактеризовал принцип идентичности как «Все, что есть, есть». Он сформулировал принцип противоречия как «невозможно, чтобы одно и то же было и не было». Для Локка это не были врожденные или априорные принципы.
Готфрид Лейбниц сформулировал два дополнительных принципа, каждый или оба из которых иногда могут считаться законом мысли:
В мысли Лейбница, как и в целом в подходе рационализма, последние два принципа рассматриваются как ясные и неоспоримые аксиомы. Они были широко признаны в европейской мысли 17, 18 и 19 веков, хотя в 19 веке они были предметом более значительных споров. Как оказалось в случае с законом непрерывности, эти два закона затрагивают вопросы, которые, с современной точки зрения, являются предметом многочисленных дискуссий и анализа (соответственно, по детерминизму и протяженность ). Принципы Лейбница оказали особое влияние на немецкую мысль. Во Франции логика Порт-Рояля была им меньше подчинена. Гегель оспаривал идентичность неразличимого в своей Науке логики (1812–1816).
«Четыре основных закона мысли или условий мыслимого - четыре: 1. Закон тождества [А есть А]. 2. Закон противоречия. 3. Закон исключения; или исключенного среднего. 4. Закон достаточного основания ». (Томас Хьюз, Идеальная теория Беркли и реальный мир, часть II, раздел XV, сноска, стр. 38 )
Артур Шопенгауэр обсуждал законы мышления и пытался продемонстрировать, что они являются основой разума. Он перечислил их следующим образом в своей статье О четырехчастном корне принципа достаточного разума, §33:
Также:
Наиболее понятным образом законы мышления можно выразить так:
Тогда должно быть добавлено только тот факт, что раз и навсегда в логике вопрос заключается в том, что мыслится и, следовательно, о концепциях, а не о реальных вещах.
— Schopenhauer, Manuscript Remains, Vol. 4, «Pandectae II», §163Чтобы показать, что они являются основой разума, он дал следующее объяснение:
Через размышление, которое я мог бы назвать самоисследованием Благодаря способности разума мы знаем, что эти суждения являются выражением состояний всех мыслей и, следовательно, имеют их в качестве основы. Таким образом, делая тщетные попытки мыслить вопреки этим законам, способность разума признает их как условия возможности всякого мышления. Затем мы обнаруживаем, что мыслить вопреки им так же невозможно, как и двигать конечностями в направлении, противоположном их суставам. Если бы субъект мог познать себя, мы бы узнали эти законы немедленно, а не сначала через эксперименты с объектами, то есть представлениями (мысленными образами).
— Шопенгауэр, О четырехчастном корне принципа достаточного разума, §33Четыре закона Шопенгауэра можно схематически представить следующим образом:
Позже, в 1844 году, Шопенгауэр утверждал, что четыре закона мысли могут быть сведены к двум. В девятой главе второго тома Мир как воля и представление он написал:
Мне кажется, что доктрину законов мышления можно было бы упростить, если бы мы только установили во-вторых, закон исключенного третьего и закон достаточной причины. Первое так: «Каждое сказуемое может быть подтверждено или опровергнуто для каждого субъекта». Здесь уже содержится в «или, или», что оба не могут происходить одновременно, и, следовательно, именно то, что выражается законами тождества и противоречия. Таким образом, они будут добавлены как следствия того принципа, который на самом деле гласит, что каждые две концептуальные сферы должны мыслиться либокак объединенные, либо как отдельные, но никогда как обе сразу; и поэтому, даже несмотря на то, что слова соединены вместе, которые выражают последнее, эти слова утверждают процесс мысли, который невозможно осуществить. Сознание этой неосуществимости есть чувство противоречия. Второй закон мысли, принцип достаточного основания, должен утверждать, что указанное выше приписывание или опровержение установленное чем-то отличным от самого суждения, которое может быть (чистым или эмпирическим) восприятием или просто другим суждением. Это другое и отличное от этого явление называется основанием или причиной судебного решения. Суждение удовлетворяет первому закону мысли, оно мыслимо; поскольку оно удовлетворяет второму, оно истинно, или, по крайней мере, в случае, когда основанием суждения является только другое суждение, оно логически или формально истинно.
Название трактата Джорджа Буля по логике 1854 года «Исследование мышления» указывает на альтернативный путь. Законы теперь включены в алгебраическое представление его «Законы разума», отточенное за долгие годы до современной булевой алгебры.
Буль начинает свою главу I «Природа и замысел Настоящие законы природы »с обсуждением, что обычно отличает« законы разума »от« заката природы »:
Этим контрастируют то, что он называет" законами разума " : Буль утверждает, что они известны в первую очередь, без необходимости повторения:
Логическое начало начинается с понятия «знаки», представляющие «классы», «операции» и «идентичность»:
Затем Boole уточняет, что такое «буквальный символ», например x, y, z,... представляет - имя, применяемое к коллекции экземпляров в «классы». Например, «птица» представляет собой целый класс пернатых крылатых теплокровных существ. Для своих целей он расширяет понятие класса для представления атрибутов «одному», «ничто», или «вселенной», то есть совокупности всех индивидов:
Затем он определяет, что за строку символов, например xy означает [современное логическое, соединение]:
он теперь перечисляет свои законы с обоснованием и примерами (производное от Boole):
Логическое ИЛИ : логическое значение определяет« сбор частей в целое или разделение целого. на его части »(Boole 1854: 32). Он определяет коммутативный (3) и распределительный (4) для понятия «собирающие».) и распределительный закон (6) для этого понятия:
И, наконец, понятие «и дентичности »обозначается знаком" = ". Это позволяет использовать две аксиомы: (аксиома 1): равное, добавленное к равному, приводит к равенству, (аксиома 2): равное, вычитаемое из равного, приводит к равному.
Ничего «0» и Вселенная «1» : он отмечает, что единственные два числа, которые удовлетворяют xx = x, - 0 1 Затем он замечает, что 0 представляет «Ничто», а «1» представляет «Вселенную» (дискурса).
Логическое НЕ : Boole определяет противоположное (логическое НЕ) следующим образом (его Предложение III):
Понятие особенного в противоположность универсальному : Чтобы представить понятие «некоторые люди», Буль пишет маленькую букву «v» перед предикатным символом «vx». "некоторые мужчины.
Исключающее и включающее ИЛИ : Бул не эти современные имена, но определяет их следующим образом: x (1-y) + y (1-x) и x + y (1-x)
Вооружившись своей «системой», он выводит «принцип [непротиворечия», начиная с его закономерности, они согласуются с формулами, выведенными с помощью современной булевой алгебры. тождества: x = x. Он вычитает x из сторон (его аксиома 2), получая x - x = 0. Затем он вычитает x: x (x - 1) = 0. Например, если x = "men", то 1 - x представляет НЕмужчины. Итак, у нас есть пример «Закона противоречия»:
Это понятие существует в «Законах мышления» Буля, например, 1854: 28, где символ «1» (целое число 1) используется для обозначения «Вселенной» и «0» для представления «Ничего», и более подробно (страницы 42 и далее):
В своей главе «Исчисление предикатов» Клини замечает, что определение «области» находятся все объекты нашего дискурса, это поле может быть правильно названо универсумом дискурса... Более того, этот универсальный дискурса в самом строгом смысле является конечным субъектом дискурса. дискурса - «нетривиальное предположение, поскольку оно не всегда явно выполняется в обычном дискурсе... в математике аналогично, логика может быть довольно скользким, когда D [домен] не указан явно или неявно, или если спецификация D [домена] слишком расплывчата (Kleene 1967: 84).
Как отмечалось выше, Гамильтон определяет четыре закона - три плюс четвертый «Закон разума и следствия» - следующим образом:
Гамильтон полагает, что мысль бывает двух форм: «необходимое» и «Условное» (Гамильтон 1860: 17). Что касается «необходимой» формы, он определяет ее изучение как «логику»: «Логика - это наука о необходимой формех мышления» (Гамильтон 1860: 17). Для определения «необходимого» он утверждает, что оно подразумевает следующие четыре «качества»:
Вот четвертый закон Гамильтона из его LECT. V. ЛОГИКА. 60-61:
В XIX веке законы Аристотеля Мысли, а иногда и законы мышления Лейбница, были стандартным материалом в учебниках по логике, и Дж. Велтон описал их следующим образом:
Законы мышления, регулирующие принципы мышления или постулаты знания - это те фундаментальные, необходимые, формальные и априорные ментальные законы, в соответствии с которыми должна осуществляться вся действительная мысль. Они априори, то есть они являются прямым результатом процессов разума, осуществляемых на фактах реального мира. Они формальны; поскольку как необходимые законы всякого мышления, они не могут в то же время установить определенные свойства какого-либо конкретного класса вещей, потому что не обязательно думать об этом классе вещей или нет. Они необходимы, потому что никто никогда не делает или не может представить их перевернутыми или действительно нарушить их, потому что никто никогда не принимает противоречие, которое представляется ему как таковое.
— Велтон, Руководство по логике, 1891, Vol. Я, стр. 30.Продолжение книги Бертрана Рассела 1903 г. «Принципы математики» стал трехтомным трудом под названием Principia Mathematica (далее PM), написано совместно с Альфредом Норт Уайтхедом. Сразу после того, как он и Уайтхед опубликовали PM, он написал свой 1912 год «Проблемы философии» Его «Проблемы» отражают «центральные идеи логики Рассела».
В своих «Принципах» 1903 года Рассел дает определение символической или формальной логики (он использует термины синонимично) как «различных общих типов дедукции» (Russell 1903: 11). Он утверждает, что «символическая логика существует с выводом в целом» (Russell 1903: 12), и с помощью сноски указывает, что он не делает различий между умозаключением и дедукцией ; кроме того, он считает индукцию «либо замаскированной дедукцией, либо методом создания правдоподобных предположений» (Russell 1903: 11). Это мнение изменится к 1912 году, когда он посчитал свой «принцип индукции» равным «логическим принципам», которые я Включите «Законы мысли».
В своей Части I «Неопределимые математики», Глава II, «Символическая логика», Часть A «Исчисление высказываний» Рассел сводит дедукцию («исчисление высказываний») к 2 «неопределенным» и 10 аксиомам: 17. Таким образом, в исчислении высказываний не требуются никакие неопределимые, кроме двух видов импликации [простая, также известная как «материальная» и «формальная»] - помня, что формальная импликация - это сложное понятие, анализ которого остается Что касается двух наших неопределимых положений, мы хотим некоторых недоказуемых суждений, которые до сих пор мне не удалось сократить до менее десяти (Russell 1903: 15).
Из них он утверждает, что может вывести закон исключенного третьего и противоречия, но не показывает его выводов (Russell 1903: 17). Впечатление он и Уайтхед отточили эти «примитивные принципы» и аксиомы до девяти, найденных в PM, и здесь Рассел фактически демонстрирует эти два вывода по цене 1,71 фунта и 3,24 фунта соответственно.
К 1912 году Рассел в своих «Проблемах» уделяет пристальное внимание «индукции» (индуктивным рассуждениям), а также «дедукции» (умозаключению), которые также являются лишь собой два примера «самоочевидных логических принципов», которые включают «Законы мысли»
Принцип индукции : Рассел посвящает главу своему «принципу индукции». Он состоит как состоящее из двух частей: во-первых, как повторяющийся сборств (без известных сбоев ассоциации) и, следовательно, происходит увеличивающаяся вероятность того, что всякий раз, когда A, B следует; во-вторых, в новом случае, действительно, действительно А, действительно соответствует В: то есть «достаточное количество случаев ассоциации вероятность новой ассоциации происходит почти достоверной и когда приблизит ее к достоверности без ограничений».
Затем он собирает все случаи (экземпляры) принципа индукции (например, случай 1: A 1 = «восходящее солнце», B 1 = «восточное небо»; случай 2: A 2 = "заходящее солнце", B 2 = "западное небо"; случай 3: и который т. д.) в "общем" закон индукции, он выражается следующим образом:
Он утверждает, что этот принцип индукции не может быть ни опровергнут, ни доказан на опыте, неудача опровержения происходит, что закон имеет дело с вероятностью успеха, а не с уверенностью; отсутствие доказательств из-за нерассмотренных случаев, которые еще предстоит испытать, т.е.они произойдут (или не произойдут) в будущем. «Таким образом, мы должны либо принять индуктивный принцип на основании его внутренних доказательств, либо отказаться от всякого оправдания наших ожиданий относительно будущего».
В своей следующей главе («О нашем знании общих принципов») Расселите другие принципы, обладающие аналогичным свойством: «Не могут быть доказаны или опровергнуты опытом, но используются в аргументах, которые исходят из того, что пережито. ». Он утверждает, что они «имеют даже большее свидетельство, чем принцип индукции... знание о них имеет ту же степень достоверности, что и знание о существовании чувственных данных. Они представляют собой средство для вывода выводов из того, что дано в ощущение ».
Принцип вывода : Затем Рассел предлагает пример, который он называет« логическим »принципом. Ранее он дважды утверждал этот принцип, сначала в качестве 4-й аксиомы в своем 1903 году, а затем в качестве своего первого «примитивного предложения» ПМ: «❋1.1. Все, что подразумевается истинным элементарным утверждением, истинно». Теперь он повторяет это в своей книге 1912 года в уточненной форме: «Таким образом, наш принцип утверждает, что если это подразумевает то, и это правда, то это правда. Другими словами,« все, что подразумевается истинным утверждением, истинно », или все, что следует из истинного предложения, верно ». Он уделяет этому принципу большое внимание, заявляя, что« этот принцип действительно задействован - по крайней мере, его конкретные примеры задействованы - во всех демонстрациях ».
Он не называет свой принцип вывода modus ponens, но его формальное, символическое выражение его в PM (2-е издание, 1927 г.) - это modus ponens; современная логика называет это «правилом» в отличие от « закон ». В следующей цитате символ« ⊦ »- это« знак утверждения »(ср. PM: 92);« ⊦ »означает« это правда », следовательно,« ⊦p », где« p »-« «солнце восходит» означает «это правда, что солнце восходит», либо «утверждение« солнце восходит »верно». Символ «импликации» «⊃» обычно читается «если p, то q» или «p подразумевает q» (ср. PM: 7). В это понятие «импликации» встроены две «примитивные идеи»: «Противоречивая функция» (обозначается НЕ, «~») и «Логическая сумма или дизъюнкция» (обозначается ИЛИ, «»); они появляются как «примитивные предложения» - 1,7 и 1,71 фунтов стерлингов в PM (PM: 97). В этих двух «примитивных предложениях» Рассел определяет «p ⊃ q» как имеющую формальную логическую эквивалентность «NOT-p OR q», символизируемую «~ p ⋁ q»:
Другими словами, в длинной" цепочке "выводов после каждого вывода мы можем отделить " следствие "" ⊦q "от строка символов «⊦p, ⊦ (p⊃q) »И не переносить эти символы вперед в постоянно удлиняющейся цепочке символов.
Три традиционных «закона» (принципа) мышления : Рассел продолжает утверждать другие принципы, из которых вышеуказанный логический принцип является «только одним». Он утверждает, что «некоторые из них должны быть предоставлены до того, как станут возможными какие-либо аргументы или доказательства. Когда некоторые из них предоставлены, другие могут быть доказаны». Из этих различных «законов» он утверждает, что «без очень веской причины три из этих принципов были выделены традицией под названием« законы мысли ». И они перечисляются следующим образом:
Обоснование : Рассел полагает, что« название «законы мысли»... вводит в заблуждение, поскольку важно не то, что мы думаем в соответствии с этими законами, а то, что тот факт, что вещи ведут себя в соответствии с ними; Другими словами, тот факт, что, когда мы думаем в соответствии с ними, мы думаем истинно ». Но он оценивает это как« большой вопрос »и расширяет его в двух следующих главах, где он начинает с исследования понятия« априори »( врожденное, встроенное) знание, и в конечном итоге приходит к его принятию платоновского «мира универсалий». В своих исследованиях он время от времени возвращается к трем традиционным законам мышления, выделяя, в частности, закон противоречия: « Тем не менее вывод о том, что закон противоречия - это закон мысли, ошибочен... [скорее], закон противоречия касается вещей, а не только мыслей... факт, касающийся вещей в мире ».
Его аргумент начинается с утверждения, что три традиционных закона мысли являются« образцами самоочевидных принципов ». Для Рассела вопрос« самоочевидности »просто вводит более широкий вопрос о том, как мы получаем наше знание о мире. Он цитирует «исторический спор»... между двумя школами, называемыми соответственно «эмпириками» [Локк, Беркли и Юм ] и «рационалистами» [Декарт и Лейбниц ] »(эти философы являются его примерами). Рассел утверждает, что рационалисты« утверждали, что, помимо того, что мы знаем из опыта, существуют определенные «врожденные идеи» и «врожденные принципы», которые мы знаем независимо опыта »; чтобы исключить возможность того, что у младенцев есть врожденное знание« законов мышления », Рассел переименовывает этот вид знания априори. И хотя Рассел соглашается с эмпириками, что« Ничто не может быть известно о существовании, кроме как с помощью опыта », он также соглашается с рационалистами в том, что некоторые знания являются априорными, в частности« положения логики и чистой математики, а также фундаментальные положения этики ».
Этот вопрос о том, как такие априорные знание может существовать направляет Рассела к исследованию философии Иммануила Канта, который ич после внимательного рассмотрения отвергает следующее:
Его возражения Канту затем побуждают Рассела принять« теорию идей »Платона, "на мой взгляд... одна из самых успешных попыток, предпринятых до сих пор "; он утверждает это"... мы должны проверить наше знание универсалий... где мы обнаружим, что [это соображение] решает проблему априорного знания ».
К сожалению," Проблемы Рассела " "не предлагает пример" минимального набора "принципов, которые применимы к человеческому рассуждению, как индуктивного, так и дедуктивного. Но PM по крайней мере предоставляет набор примеров (но не минимальный; см. сообщение ниже), которого достаточно для дедуктивного рассуждения с помощью исчисления высказываний (в отличие от рассуждений с помощью более сложного исчисления предикатов ) - всего 8 принципов в начале «Часть I: Математическая логика». Каждая из формул: от ❋1.2 до: ❋1.6 является тавтологией (верно независимо от того, каково истинностное значение p, q, r...). Что В трактовке PM отсутствует формальное правило замещения; в его докторской диссертации 1921 года Эмиль Пост исправляет этот недостаток (см. сообщение ниже). Далее формулы написаны более мес формат dern, чем тот, который используется в PM; имена даны в личку).
Рассел резюмирует эти принципы следующим образом: «Это завершает список примитивных положений, необходимых для теории дедукции применительно к элементарным предложениям» (PM: 97).
Исходя из этих восьми тавтологий и неявного использования «правила» подстановки, PM затем выводит более сотни различных формул, среди которых Закон исключенного среднего ❋1.71 и Закон противоречия ❋3.24 (последний требует определения логического И, символизируемого современным ⋀: (p ⋀ q) = def ~ (~ p ⋁ ~ q). ( PM использует символ "точка" ▪ для логического И)).
Примерно в то же время (1912 год), когда Рассел и Уайтхед заканчивали последний том своих Principia Mathematica и публикация книги Рассела «Проблемы философии», по крайней мере, два логика (Луи Кутюрат, Кристин Лэдд-Франклин ) утверждали, что два «закона» (принципа) противоречие »и« исключенное среднее »необходимы для определения« противоречий »; Лэдд-Франклин переименовал их в принципы исключения и исчерпания. Следующее появляется как сноска на странице 23 Couturat 1914:
Другими словами, создание« противоречий »представляет собой дихотомию, то есть« расщепление »универсум дискурса на два класса (коллекции), которые имеют следующие два свойства: они (i) взаимоисключающие и (ii) (в совокупности) исчерпывающие. Другими словами, ничто (извлеченное из универсума дискурс) может одновременно быть членом обоих классов (закон непротиворечия), но [и] каждая отдельная вещь (во вселенной дискурса) должна быть членом того или иного класса (закон исключенного среднего).
В рамках его докторской диссертации «Введение в общую теорию элементарных предложений» Эмиль Пост доказал », что система элементарных предложений Принципов [PM] », то есть ее« исчисление высказываний », описанное первыми 8« примитивными предложениями »PM как согласованное. Определение «непротиворечивого» таково: с помощью имеющейся дедуктивной «системы» (сформулированных в ней аксиом, законов, правил) невозможно вывести (отобразить) как формулу S, так и ее противоречивую ~ S (т. е. его логическое отрицание) (Nagel and Newman 1958: 50). Чтобы продемонстрировать это формально, Пост должен был добавить примитивное предложение к 8 примитивным предложениям PM, «правило», которое определяло понятие «подстановки», которое отсутствовало в исходном PM 1910 года.
Данные PM's. крошечный набор «примитивных предложений» и доказательство их непротиворечивости, Пост затем доказывает, что эта система («исчисление высказываний» PM) является полной, что означает, что каждая возможная таблица истинности может быть сгенерирована в «системе» :
Затем вопрос «независимости» аксиом. В своем комментарии перед публикацией 1921 года ван Хейеноорт заявляет, что Пол Бернейс решил этот вопрос в 1918 году (но опубликован в 1926 году) - формула ❋1.5 Ассоциативный принцип: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) можно доказать с помощью остальных четырех. Относительно того, какая система «примитивных предложений» является минимальной, ван Хейеноорт заявляет, что этот вопрос «исследовали Зилински (1925), сам Пост (1941) и Верник (1942)», но ван Хейенорт не отвечает на этот вопрос.
Клини (1967: 33) отмечает, что «логика» может быть «основана» двумя способами: во-первых, как «теория моделей» или во-вторых. формальным «доказательством» или «аксиоматической теорией»; «две формулировки, теория моделей и формулировка теории доказательств, дают эквивалентные результаты» (Kleene 1967: 33). Этот основополагающий выбор и их эквивалентность также применимы к логике предикатов (Kleene 1967: 318).
В своем предисловии к Post 1921 ван Хейеноорт отмечает, что «четко представлены как таблица истинности, так и аксиоматический подход». Вопрос о доказательстве непротиворечивости в обоих направлениях (с помощью теории моделей, теории аксиоматических доказательств) возникает в более подходящей версии доказательства непротиворечивости Поста, которое можно найти у Нагеля и Ньюмана 1958 г. в их главе V «Пример Успешное абсолютное доказательство непротиворечивости ". В основной части текста они используют модель для достижения своего доказательства непротиворечивости (они также заявляют, что система является законченной, но не предлагают доказательства) (Nagel Newman 1958: 45-56). Но их текст обещает читателю доказательство, которое будет аксиоматическим, а не опирающимся на модель, и в Приложении они представляют это доказательство, основанное на понятиях разделения формул на два класса K 1 и K 2, которые являются взаимоисключающими и исчерпывающими (Nagel Newman 1958: 109-113)
(ограниченное) «исчисление предикатов первого порядка» - это «система логики», которая добавляет к логике высказываний (см. Пост, выше) понятие «субъект- предикат », т. е. субъект x взят из области (универсума) дискурса, а предикат - это логическая функция f (x): x как субъект и f (x) как предикат (Kleene 1967: 74). Хотя доказательство Гёделя включает в себя то же понятие «полноты», что и доказательство Поста, доказательство Гёделя намного сложнее; Далее следует обсуждение набора аксиом.
Курт Гёдель в своей докторской диссертации 1930 г. «Полнота аксиом функционального исчисления логики» доказал, что в этом «исчислении» (т.е. ограниченной логике предикатов с равенством или без него) что каждая действительная формула «либо опровергнута, либо выполнима» или что равносильно одному и тому же: каждая действительная формула доказуема и, следовательно, логика завершена. Вот определение Гёделя того, является ли «ограниченное функциональное исчисление» «полным»:
Это конкретное исчисление предикатов" ограничено первым заказ". К исчислению высказываний он добавляет два специальных символа, которые символизируют обобщения «для всех» и «существует (по крайней мере, одно)», которые распространяются на область дискурса. Исчисление требует только первого понятия «для всех», но обычно включает оба: (1) понятие «для всех x» или «для каждого x» обозначается в литературе по-разному, как (x), ∀x, ∏x и т. д., и (2) понятие «существует (по крайней мере, один x)», по-разному обозначаемое как Ex, ∃x.
Ограничение состоит в том, что обобщение «для всех» применяется только к переменным (объектам x, y, z и т. Д., Взятым из области дискурса), а не к функциям в других слова, которые позволяет исчисление ∀xf (x) («для всех существ x, x - птица»), но не ∀f∀x (f (x)) [но если к исчислению добавить «равенство», это разрешит ∀ е: е (х); см. ниже в разделе Тарский ]. Пример:
Клини отмечает, что «исчисление предикатов (без равенства или с равенством) полностью выполняет (для теории первого порядка) то, что было задумано как роль логики »(Kleene 1967: 322).
Эта первая половина этой аксиомы - «максима всех» появится как первая из двух дополнительных аксиом в множестве аксиом Гёделя. «Изречение Аристотеля» (dictum de omni et nullo ) иногда называют «максимой всего и ничего», но на самом деле это две «максимы», которые утверждают: «Что верно для всех (членов домен) верно для некоторых (членов домена) ", и" То, что не верно для всех (членов домена), не верно ни для одного (из членов домена) ".
«Изречение» появляется в Boole 1854 через пару мест:
Но позже он, кажется, возражает против этого:
Но первая половина этого" изречения "(dictum de omni) подхвачена R Уссела и Уайтхеда в PM и Гильбертом в его версии (1927 г.) «логики предикатов первого порядка»; его (система) включает принцип, который Гильберт называет «изречением Аристотеля»
Эта аксиома также появляется в современном наборе аксиом, предложенном Клини (Kleene 1967: 387), как его «∀-схема», одна из двух аксиом (он называет их «постулатами»), необходимых для исчисления предикатов; другая - это «∃-схема» f (y) ⊃ ∃xf (x), которая приводит из конкретного f (y) к существованию по крайней мере одного субъекта x, который удовлетворяет предикату f (x); и то, и другое требует приверженности определенной области (универсуму) дискурса.
Чтобы дополнить четыре (вместо пяти; см.сообщение ) аксиомы исчисления высказываний, Гёдель 1930-го сэр dictum de omni в качестве первого двух дополнительных аксиом. И это «изречение», и вторая аксиома, как он утверждает в сноске, проходит из Principia Mathematica. Действительно, PM включает оба вида как
Последний утверждает, что логическая сумма (т. е. ⋁, ИЛИ) простых предложений p и предиката ∀xf (x) подразумевает логическую сумму каждого в отдельности. PM выводит оба из них из шести примитивных утверждений от 9, которые во втором издании PM отбрасываются и заменяются четырьмя новыми «Pp» (примитивными принципами) 8 (см., В частности, 8.2, и Гильберт выводит первое из его «логической ε-аксиомы») Как Гильберт и Гёдель пришли к принятию этих двух аксиом, неясно.
Также требуются еще два «правила» непривязанности («modus ponens») применительно к предикатам.
Альфред Тарский в его 1946 году (2-е издание) «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» цитирует ряд того, что он считает «универсальными законами» сентенциального исчисления, три «правила» вывода и один фундаментальный закон тождества (из которого он выводит четыре закона). Традиционные «законы мысли» включены в его длинное перечисление «законов» и «правил». «Методологией дедуктивного S науки».
Обосновани е : Во введении (2-е издание) он отмечает, что то, что началось с применением логики к математике, было расширено до «всего человеческого знания»:
Чтобы понятие «равенство» к «исчислению высказываний» «(это новое понятие не следует путать с логической эквивалентностью, символизируемой, ⇄,« тогда и только тогда, если (если только) »,« двояковыполненная »и т. д.) Тарский (см. стр. 54-57) символизирует то, что он называет« законом Лейбница »с символом« = ». Это расширяет область (универсум) дискурса и типы функций до чисел и математических формул (Kleene 1967: 148ff, Tarski 1946: 54ff).
В двух словах: учитывая, что «x имеет все свойства, которые имеет y», мы можем написать «x = y», и эта формула будет иметь значение истинности «истина» или «ложность». Тарский формулирует этот закон Лейбница следующим образом:
Затем он выводит некоторые другие «законы» из этого закона:
Principia Mathematica понятие понятие следующим образом (в современных символах); обратите внимание, что обобщение «для всех» распространяется на предикат-функции f ():
Гильберт 1927: 467 отличается только две аксиомы равенства, первая - x = x, вторая - (x = y) → ((f (x) → f (y)); «для всех f» отсутствует (или подразумевается). Гёдель 1930 имеет равенство аналогично PM: ❋13.01. Клини 1967 заимствует два из Гильберта 1927 года плюс еще два (Kleene 1967: 387).
Все вышеупомянутые «системы логики» считают «Классическими» смысловыми предложениями, а выражения предикатов - двузначными, либо с истинным значением «истина», либо с «ложностью», но не обоими (Kleene 1967: 8 и 83), хотя интуиционистская логика попадает в категорию «классических», она возражает против расширения оператора «для всех» до закона запрещенного; она допускает экземпляры «закона», но не его обобщение на бесконечную область дискурса
'Intuitionisti c логика ', более широко называемая конструктивной логикой, является неполной символической логикой, которая отличается от классической логики заменой традиционной концепции истины с концепцией конструктивной доказуемости.
Обобщенный закон исключенного третьего не является частью выполнения интуиционистской логики, но и не отрицается. Интуиционистская логика просто запрещает использование операций как части, что она определяет как «конструктивное доказательство », что не то же самое, что демонстрирует ее недействительность (это сравнимо с использованием здания определенного стиля в какие шурупы запрещены и разрешены только гвозди; это не обязательно опровергает или даже ставит под сомнение существование или полезность шурупов, а просто демонстрирует, что можно построить без них).
'Параконсистентная логика 'относится к так называемым логическим системам, противоречие не обязательно приводит к тривиализму. Другими словами, принцип взрыва не работает в такой логике. Некоторые (а именно диалетеисты) утверждают, что закон непротиворечивости отрицается диалетеической логикой. Они мотивированы определенными парадоксами, которые, как кажется, подразумевают ограничение закона непротиворечивости, а именно Парадокс лжеца. Чтобы избежать тривиальной логической системы и все методы определенным противоречиям быть истинными, диалетеисты будут использовать некую паранепротиворечивую логику.
TBD cf Трехзначная логика Попробуйте это Тернарная арифметика и логика - семан исследовательский http://www.iaeng.org / публикации / WCE2010 / WCE2010_pp193-196.pdf
(см. Kleene 1967: 49): эти «исчисления » включают символы ⎕A, означающие «A необходимо» и ◊A означает «А возможно». Клини заявляет, что:
'Нечеткая логика 'является формой многозначная логика ; он имеет дело с рассуждением, которое является приблизительным, а не фиксированным и точным.
