Закон квадратов

редактировать

Теорема о линиях передачи

Закон квадратов - это теорема о линиях передачи. В нем говорится, что ток, вводимый в линию с шагом напряжения, достигает максимума в момент времени, пропорциональный квадрату расстояния до линии. Теорема принадлежит Уильяму Томсону, будущему лорду Кельвину. Закон имел определенное значение в связи с подводными телеграфными кабелями.

Содержание

1 Закон
2 История
3 Неверие
4 Объяснение
5 Ссылки
6 Библиография

Закон

Для ступенчатого увеличения напряжения, приложенного к линии передачи, закон квадратов можно сформулировать следующим образом:

t max = 1 2 RC x 2 {\ displaystyle t _ {\ text {max}} = {1 \ over 2} RCx ^ {2}}

{\ displaystyle t _ {\ text {max}} = {1 \ over 2} RCx ^ {2}}

где,

t max {\ displaystyle t _ {\ text {max} }}

{ \ displaystyle t _ {\ text {max}}}

- это время, когда ток в линии достигает максимума.

R {\ displaystyle R}

R

- сопротивление на метр линии.

C {\ displaystyle C}

C

- это емкость на метр линии;

x {\ displaystyle x}

x

- расстояние от входа

Закон квадратов не ограничивается только ступенчатыми функциями. Это также применимо к импульсной характеристике или прямоугольной функции, которые больше подходят для телеграфии. Однако множитель в этих случаях отличается. Для импульса это 1/6, а не 1/2, а для прямоугольных импульсов это нечто среднее, в зависимости от их длины.

История

Закон квадратов был предложен Уильям Томсон (позже стал лордом Кельвином) в 1854 году в Университете Глазго. Он получил некоторую информацию от Джорджа Габриэля Стоукса. Томсон и Стоукс были заинтересованы в исследовании осуществимости предлагаемого трансатлантического телеграфного кабеля.

Томсон построил свой результат по аналогии с теорией теплопередачи Джозефа Фурье (передача электрического шага вниз по линии аналогично внезапному приложению фиксированной температуры к одному концу металлического стержня). Он обнаружил, что уравнение, определяющее мгновенное напряжение на линии, $v (x, t) {\ displaystyle v (x, t)}$ ${\ displaystyle v (x, t)}$ , имеет вид

∂ 2 v ∂ x 2 = RC ∂ v ∂ T {\ Displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} = RC {\ frac {\ partial v} {\ partial t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} = RC {\ frac {\ partial v} {\ partial t}}}

Именно отсюда он вывел закон квадратов. Хотя описание линии передачи, данное Томсоном, не совсем неверно, и оно вполне подходит для низких частот, используемых в телеграфном кабеле викторианской эпохи, это не полная картина. В частности, Thomson не принял во внимание индуктивность (L) линии или проводимость утечки (G) изоляционного материала. Полное описание было дано Оливером Хевисайдом в том, что сейчас известно как телеграфные уравнения. Закон квадратов может быть выведен из частного случая уравнений телеграфа, то есть с L и G, установленными на ноль.

Неверие

Результат Томсона довольно противоречивый и привел к некоторые не верят этому. В результате большинство инженеров-телеграфистов ожидали, что задержка пика будет прямо пропорциональна длине линии. Телеграфия находилась в зачаточном состоянии, и многие инженеры-телеграфисты были самоучками. Они были склонны не доверять ученым и вместо этого полагались на практический опыт. Еще в 1887 году автор письма к Электрик хотел «... протестовать против растущей тенденции втягивать математику во все».

Один противник Томсона был особое значение имеет Уайлдман Уайтхаус, который бросил вызов Томсону, когда он представил теорему Британской ассоциации в 1855 году. И Томсон, и Уайлдман были связаны с проектом трансатлантического телеграфного кабеля «Томсон» в качестве безвозмездной директор и научный советник, а Уайтхаус - главный электрик Атлантической телеграфной компании. Открытие Томсона грозило сорвать проект или, по крайней мере, указывало на то, что требовался кабель гораздо большего размера (провод большего размера уменьшит $R {\ displaystyle R}$ $R$ , а более толстый изолятор уменьшит $С {\ Displaystyle C}$ $C$ ). Уайтхаус не имел высшего математического образования (по образованию он был врачом) и не полностью понимал работы Томсона. Он утверждал, что у него есть экспериментальные доказательства того, что Томсон ошибался, но его измерения были плохо продуманы, и Томсон опроверг его утверждения, показав, что результаты Уайтхауса согласуются с законом квадратов.

Уайтхаус считал, что можно сделать более тонкий кабель. для работы с высоковольтной индукционной катушкой . Компания Atlantic Telegraph, спешащая с продвижением проекта, выбрала более дешевое решение Whitehouse, чем решение Thomson. После того, как кабель был проложен, он сильно пострадал от замедления, эффекта, который впервые заметил Латимер Кларк в 1853 году на англо-голландском подводном кабеле Электротелеграфной компании. Замедление вызывает задержку и удлинение телеграфных импульсов, как если бы одна часть импульса задержалась больше, чем другая. Замедление может привести к наложению соседних телеграфных импульсов, что сделает их нечитаемыми, эффект теперь называется межсимвольная интерференция. Это заставляло телеграфистов отправлять сообщения медленнее, чтобы восстановить интервал между импульсами. Проблема была настолько серьезной с атлантическим кабелем, что скорость передачи измерялась в минутах на слово, а не в слов в минуту. Пытаясь решить эту проблему с помощью еще более высокого напряжения, Уайтхаус навсегда повредил изоляцию кабеля и сделал его непригодным для использования. Вскоре после этого он был уволен.

Некоторые комментаторы переосмыслили закон квадратов и пришли к выводу, что он подразумевает, что «скорость электричества » зависит от длины кабеля. Хевисайд с типичным сарказмом в своей статье в «Электрик» возразил на это:

Можно ли представить себе, что ток, когда он впервые собирается, скажем, в Эдинбург, знает, куда он идет, как долго он проходит путь? должен сделать, и где он должен остановиться, чтобы он мог соответствующим образом регулировать свою скорость? Конечно, нет...

— Оливер Хевисайд, 1887 г.

Объяснение

И закон квадратов, и связанное с ним дифференциальное запаздывание можно объяснить со ссылкой на дисперсию. Это явление, при котором разные компоненты частоты телеграфного импульса проходят по кабелю с разной скоростью в зависимости от материалов и геометрии кабеля. Такой вид анализа с использованием частотной области с анализом Фурье вместо временной области был неизвестен телеграфным инженерам того периода. Скорее всего, они будут отрицать, что регулярная цепочка импульсов содержит более одной частоты. На линии с преобладанием сопротивления и емкости, такой как низкочастотные линии, проанализированные Томсоном, квадрат скорости, $u {\ displaystyle u}$ $u$ , частотной составляющей волны пропорционален его угловая частота, $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ такая, что

u 2 = 2 ω CR. {\ displaystyle u ^ {2} = {\ frac {2 \ omega} {CR}}.}

{ \ displaystyle u ^ {2} = {\ frac {2 \ omega} {CR}}.}

См. Константы первичной линии § Витая пара и Константы первичной линии § Скорость для вывода этого.

Из этого можно видеть, что более высокочастотные компоненты перемещаются быстрее, постепенно растягивая импульс. По мере того, как более высокочастотные составляющие «убегают» от основного импульса, оставшиеся низкочастотные составляющие, которые содержат большую часть энергии, остаются постепенно перемещающимися медленнее как группа.

Ссылки

Библиография

Коннор, FR, Передача волн, Эдвард Арнольд, 1972 ISBN 0713132787.
Хант, Брюс Дж., Максвеллианцы, Cornell University Press, 2005 ISBN 0801482348.
Линдли, Дэвид, Градусы Кельвина: Рассказ о гении, изобретении и трагедии, Джозеф Генри Пресс, 2004 г. ISBN 0309167825.
Лундхейм, L., «О формуле Шеннона и Шеннона», Telektronikk, vol. 98, нет. 1, pp. 20–29, 2002.
Нахин, Пол Дж., Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена гения-электрика викторианской эпохи, Johns Hopkins University Press, 2002 ISBN 0801869099.
Нахин, Пол Дж., Переходные процессы для инженеров-электриков: элементарный анализ коммутируемых цепей во временной области и области преобразования Лапласа (с добавлением MATLAB), Springer International Publishing, 2018, ISBN 9783319775982.
Раддок, И.С., "Лорд Кельвин", гл. 1 in, Collins, M.W.; Dougal, R.C.; Koenig, C.s.; Раддок, И. (ред.), Кельвин, Термодинамика и мир природы, WIT Press, 2015 ISBN 1845641493.
Шиффер, Майкл Б., Борьба за власть: научный авторитет и создание практического электричества До Эдисона, MIT Press, 2008 ISBN 9780262195829.
Тагг, Кристофер, «Теория солитонов в оптической связи», стр. 87–88 в, Annual Review of Broadband Communications, International Инженерный консорциум, 2005 ISBN 1931695385.