Ширина линии лазера

редактировать

Ширина линии лазера - это спектральная ширина линии луча лазера.

Двумя наиболее отличительными характеристиками лазерного излучения являются пространственная когерентность и спектральная когерентность. В то время как пространственная когерентность связана с расходимостью луча лазера, спектральная когерентность оценивается путем измерения ширины линии лазерного излучения.

Содержание

1 Теория
- 1.1 История: первый вывод о ширине линии лазера
- 1.2 Режим пассивного резонатора: время распада фотона
- 1.3 Режим пассивного резонатора: лоренцева ширина линии, добротность, время когерентности и длина
- 1.4 Активный режим резонатора: усиление, время распада фотона, лоренцевская ширина линии, добротность, время когерентности и длина
- 1.5 Спектральный коэффициент когерентности
- 1.6 Режим резонатора генерации: Основная ширина линии лазера
- 1.7 Непрерывный лазер: усиление меньше потерь
- 1.8 Приближение Шавлоу-Таунса
- 1.9 Дополнительное расширение и сужение ширины линии
2 Измерение ширины линии лазера
3 Непрерывные лазеры
4 Импульсные лазеры
5 См. также
6 Ссылки

Теория

История: Первое определение ширины лазерной линии

Первый искусственный когерентный источник света был мазер. Аббревиатура MASER расшифровывается как «Микроволновое усиление путем вынужденного излучения излучения». Точнее, именно мазер на аммиаке , работающий на длине волны 12,5 мм , был продемонстрирован Гордоном, Зейгером и Таунсом. в 1954 году. Год спустя те же авторы теоретически вычислили ширину линии своего устройства, сделав разумные приближения, что их мазер на аммиаке

(i) является истинным непрерывно-волновым ( CW) мазер,

(ii) настоящий четырехуровневый мазер, и

(iii) не имеет собственных потерь в резонаторе, а только потери на выходе.

Примечательно, что их вывод был полностью полуклассическим, описывая молекулы аммиака как квантовые излучатели и предполагая классические электромагнитные поля (но без квантованных полей или квантовых флуктуаций ), в результате полуширина на полувысоте (HWHM) мазерная ширина линии

Δ ν M ∗ = 4 π k BT (Δ ν c ∗) 2 P out ⇔ Δ ν M = 2 π k BT (Δ ν c) 2 P out, {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {M}} ^ {*} = {\ frac {4 \ pi k _ {\ rm {B}} T (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}} ^ {*}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Leftrightarrow \ Delta \ nu _ {\ rm {M}} = {\ frac {2 \ pi k_ { \ rm {B}} T (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}},}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {M} } ^ {*} = {\ frac {4 \ pi k _ {\ rm {B}} T (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}} ^ {*}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Leftrightarrow \ Delta \ nu _ {\ rm {M}} = {\ frac {2 \ pi k _ {\ rm {B}} T (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}},}

обозначен здесь звездочкой и преобразован в полная ширина на половине высоты (FWHM) ширина линии $Δ ν M = 2 Δ ν M ∗ {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {M}} = 2 \ Дельта \ nu _ {\ rm {M}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {M}} = 2 \ Delta \ nu _ {\ rm {M}} ^ {*}}$ . $k B {\ displaystyle k _ {\ rm {B}}}$ ${\ displaystyle k_ { \ rm {B}}}$ - постоянная Больцмана, $T {\ displaystyle T}$ $T$ - это температура, $P out {\ displaystyle P _ {\ rm {out}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ rm {out}}}$ - вывод мощность и $Δ ν c ∗ {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} ^ {*}}$ $\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ и $Δ ν c = 2 Δ ν c ∗ {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = 2 \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = 2 \ Delta \ nu _ { \ rm {c}} ^ {*}}$ - это HWHM и FWHM ширины линии нижележащего пассивного микроволнового резонатора соответственно.

В 1958 году, за два года до того, как Майман продемонстрировал лазер (первоначально называвшийся «оптическим мазером»), Шавлоу и Таунс передали мазер ширину линии до оптического режима путем замены тепловой энергии $k BT {\ displaystyle k _ {\ rm {B}} T}$ $k_{\rm {B}}T$ на энергию фотона $h ν L {\ displaystyle h \ nu _ {\ rm {L}}}$ ${\ displaystyle h \ nu _ {\ rm {L}}}$ , где $h {\ displaystyle h}$ $h$ - постоянная Планка и $ν L {\ displaystyle \ nu _ {\ rm {L}}}$ $\nu _{\rm {L}}$ - это частота лазерного излучения, таким образом приближаясь к

(iv) один фотон вводится в режим генерации посредством спонтанного излучения во время распада фотона $τ c {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c} }}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ ,

, что дает исходное приближение Шавлова-Таунса для ширины линии лазера:

Δ ν L, ST ∗ = 4 π h ν L (Δ ν c ∗) 2 P out ⇔ Δ ν L, ST = 2 π h ν L (Δ ν c) 2 P вых. {\ Displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L, ST}} ^ {*} = {\ frac {4 \ pi h \ nu _ {\ rm {L}} (\ Delta \ nu _ {\ rm { c}} ^ {*}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Leftrightarrow \ Delta \ nu _ {\ rm {L, ST}} = {\ frac {2 \ pi h \ nu _ {\ rm {L}} (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}}.}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L, ST}} ^ {*} = {\ frac {4 \ pi h \ nu _ {\ rm {L}} (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}} ^ {*}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Leftrightarrow \ Дельта \ nu _ {\ rm {L, ST}} = {\ frac {2 \ pi h \ nu _ { \ rm {L}} (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}}.}

Также передача из микроволновой печи чтобы оптический режим был полностью полуклассическим, без допущения квантованных полей или квантовых флуктуаций. Следовательно, исходное уравнение Шавлоу-Таунса полностью основано на полуклассической физике и представляет собой четырехкратное приближение к более общей ширине лазерной линии, которая будет выведена ниже.

Режим пассивного резонатора: время распада фотона

Мы предполагаем двухзеркальный резонатор Фабри-Перо геометрической длины $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ , однородно заполненный активной лазерной средой с показателем преломления $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Мы определяем эталонную ситуацию, а именно режим пассивного резонатора, для резонатора, активная среда которого прозрачна, т. Е. Не вносит усиление или поглощение.

. -время пробега $t RT {\ displaystyle t _ {\ rm {RT}}}$ ${\ displaystyle t _ {\ rm { RT}}}$ света, движущегося в резонаторе со скоростью $c = c 0 / n {\ displaystyle c = c_ { 0} / n}$ ${\ displaystyle c = c_ {0} / n}$ , где $c 0 {\ displaystyle c_ {0}}$ $c_ {0}$ - скорость света в вакууме и свободный спектральный диапазон $Δ ν FSR {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$ $\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ даются как

t RT = 1 Δ ν FSR = 2 ℓ c. {\ displaystyle t _ {\ rm {RT}} = {\ frac {1} {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}} = {\ frac {2 \ ell} {c}}.}

{\ displaystyle t _ {\ rm {RT}} = {\ frac {1} {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR} }}} = {\ frac {2 \ ell} {c}}.}

Свет в интересующей нас моде продольного резонатора колеблется на q-й резонансной частоте

ν L = qt RT = q Δ ν FSR. {\ displaystyle \ nu _ {L} = {\ frac {q} {t _ {\ rm {RT}}}} = q \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}.}

{\ displaystyle \ nu _ {L} = {\ frac {q} {t _ {\ rm {RT}}}} = q \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}.}

Экспоненциальный выход затухание время $τ out {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {out}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {out}}}$ и соответствующая константа скорости распада $1 / τ out {\ displaystyle 1 / \ tau _ {\ rm {out}}}$ ${\ displaystyle 1 / \ tau _ {\ rm {out}}}$ связаны с интенсивностью отражений $R i {\ displaystyle R_ {i}}$ $R_ {i}$ два резонатора зеркала $i = 1, 2 {\ displaystyle i = 1,2}$ $i=1,2$ by

R 1 R 2 = e - t RT / τ out ⇒ 1 τ out = - ln ⁡ (R 1 R 2) t RT. {\ displaystyle R_ {1} R_ {2} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ {\ rm {out}}} \ Rightarrow {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out}}}} = {\ frac {- \ ln {(R_ {1} R_ {2})}} {t _ {\ rm {RT}}}}.}

{\ displaystyle R_ {1 } R_ {2} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ {\ rm {out}}} \ Rightarrow {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out}}} } = {\ frac {- \ ln {(R_ {1} R_ {2})}} {t _ {\ rm {RT}}}}.}

Время экспоненциальных собственных потерь $τ потеря {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {loss}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm { потеря}}}$ и соответствующая константа скорости распада $1 / τ loss {\ displaystyle 1 / \ tau _ {\ rm { потери}}}$ $1/\tau _{\rm {loss}}$ связаны с собственными потерями при передаче в оба конца $LRT {\ displaystyle L _ {\ rm {RT}}}$ ${\ displaystyle L _ {\ rm {RT}}}$ by

1 - LRT = e - t RT / τ потери ⇒ 1 τ потеря = - ln ⁡ (1 - LRT) t RT. {\ displaystyle 1-L _ {\ rm {RT}} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ {\ rm {loss}}} \ Rightarrow {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {loss}}}} = {\ frac {- \ ln {(1-L _ {\ rm {RT}})}} {t _ {\ rm {RT}}}}.}

{\ displaystyle 1-L _ {\ rm {RT}} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ {\ rm {loss}}} \ Rightarrow {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {loss}}}} = {\ frac {- \ ln {(1-L _ {\ rm { RT}})}} {t _ {\ rm {RT}}}}.}

Экспоненциальная время распада фотона $τ c {\ displaystyle \ tau _ {c}}$ $\ tau_c$ и соответствующая константа скорости распада $1 / τ c {\ displaystyle 1 / \ tau _ {\ rm {c}}}$ ${\ d isplaystyle 1 / \ tau _ {\ rm {c}}}$ пассивного резонатора тогда задаются как

1 τ c = 1 τ out + 1 τ loss = - ln ⁡ [R 1 R 2 (1 - LRT)] t RT. {\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out}}}} + {\ frac {1} { \ tau _ {\ rm {loss}}}} = {\ frac {- \ ln {[R_ {1} R_ {2} (1-L _ {\ rm {RT}})]}} {t _ {\ rm {RT}}}}.}

{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.

Все три времени экспоненциального затухания усредняются за время приема-передачи $t RT. {\ displaystyle t _ {\ rm {RT}}.}$ ${\ displaystyle t _ {\ rm {RT}}.}$ Далее мы предполагаем, что $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ , $n {\ displaystyle n}$ $n$ , $R 1 {\ displaystyle R_ {1}}$ $R_1$ , $R 2 {\ displaystyle R_ {2}}$ $R_2$ и $LRT {\ displaystyle L _ {\ rm {RT}}}$ ${\ displaystyle L _ {\ rm {RT}}}$ , следовательно, также $τ out {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {out}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {out}}}$ , $τ loss {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {loss}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm { потеря}}}$ , и $τ c {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ существенно не меняются в интересующем диапазоне частот.

Режим пассивного резонатора: лоренцевская ширина линии, добротность, время и длина когерентности

Помимо времени распада фотона $τ c {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c} }}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ , свойства спектральной когерентности режима пассивного резонатора могут быть эквивалентно выражены следующими параметрами. FWHM лоренцевой шириной линии $Δ ν c {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}}$ пассивной моды резонатора, которая появляется в Schawlow-Townes уравнение выводится из экспоненциального времени распада фотона $τ c {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ с помощью преобразования Фурье,

Δ ν c = 1 2 π τ c. {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau _ {\ rm {c}}}}.}

\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.

Q-фактор $Q c {\ displaystyle Q _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle Q _ {\ rm {c}}}$ определяется как запасенная энергия $W {\ displaystyle W _ {\ rm {stored}}}$ ${\ displaystyle W _ {\ rm {хранится}}}$ сохраняется в режиме резонатора по энергии $W lost {\ displaystyle W _ {\ rm {lost}}}$ ${\ displaystyle W _ {\ rm {lost}}}$ потерянной за цикл колебаний,

Q c = 2 π W сохранено (t) W потерян (t) знак равно 2 π φ (t) - 1 ν L ddt φ (t) = 2 π ν L τ c = ν L Δ ν c, {\ displaystyle Q _ {\ rm {c}} = 2 \ pi {\ frac {W _ {\ rm {stored}} (t)} {W _ {\ rm {lost}} (t)}} = 2 \ pi {\ frac {\ varphi (t)} {- { \ frac {1} {\ nu _ {L}}} {\ frac {d} {dt}} \ varphi (t)}} = 2 \ pi \ nu _ {L} \ tau _ {\ rm {c} } = {\ frac {\ nu _ {L}} {\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}}},}

{\ displaystyle Q _ {\ rm {c}} = 2 \ pi {\ frac {W _ {\ rm {stored}} (t)} {W _ {\ rm {lost}} (t)}} = 2 \ pi {\ frac {\ varphi (t)} {- {\ frac {1} { \ nu _ {L}}} {\ frac {d} {dt}} \ varphi (t)}} = 2 \ pi \ nu _ {L} \ tau _ {\ rm {c}} = {\ frac { \ nu _ {L}} {\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}}},}

где $φ = W сохранено / h ν L {\ displaystyle \ varphi = W _ {\ rm {stored}} / h \ nu _ {L}}$ ${\ displaystyle \ varphi = W _ {\ rm {хранится} } / ч \ ню _ {L}}$ - количество фотонов в режиме. Время когерентности $τ ccoh {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}}}$ и длина когерентности $ℓ ccoh {\ displaystyle \ ell _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}}}$ света, испускаемого из моды, задаются как

τ ccoh = 1 c ℓ ccoh = 2 τ c. {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}} = {\ frac {1} {c}} \ ell _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}} = 2 \ tau _ {\ rm {c}}.}

{ \ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}} = {\ frac {1} {c}} \ ell _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}} = 2 \ тау _ {\ rm {c}}.}

Режим активного резонатора: усиление, время распада фотона, лоренцевская ширина линии, добротность, время и длина когерентности

С плотностями населенностей $N 2 {\ displaystyle N_ {2}}$ ${ \ displaystyle N_ {2}}$ и $N 1 {\ displaystyle N_ {1}}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ верхнего и нижнего лазерного уровня, соответственно, и эффективного поперечные сечения $σ e {\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {e}}}$ $\sigma _{\rm {e}}$ и $σ a {\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {a}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {a}}}$ из вынужденного излучения и поглощения на резонансной частоте $ν L {\ displaystyle \ nu _ {L}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {L}}$ соответственно, коэффициент усиления на единицу длины в активной лазерной среде на резонансной частоте $ν L {\ displaystyle \ nu _ {L}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {L}}$ определяется как

g = σ e N 2 - σ a N 1. {\ displaystyle g = \ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2} - \ sigma _ {\ rm {a}} N_ {1}.}

g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.

Значение $g>0 {\ displaystyle g>0}$ $g>0$ вызывает усиление, тогда как $g < 0 {\displaystyle g<0}$ $g<0$ вызывает поглощение света на резонансной частоте $ν L {\ displaystyle \ nu _ {L}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {L}}$ , что приводит к удлинению или укорочению распада фотона время $τ L {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {L}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {L}}}$ фотонов вне режима активного резонатора, соответственно,

1 τ L = 1 τ c - cg. {\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {L}}}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} - cg.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {L}}}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} - cg.}

другие четыре свойства спектральной когерентности для режима активного резонатора получены таким же образом, как и для режима пассивного резонатора. Ширина лоренцевой линии получается с помощью преобразования Фурье,

Δ ν L = 1 2 π τ L. {\ displaystyle \ Дельта \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau _ {\ rm {L}}}}.}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau _ {\ rm {L}}}}.}

Значение $г>0 {\ displaystyle g>0}$ $g>0$ приводит к сужению усиления, тогда как $g < 0 {\displaystyle g<0}$ $g<0$ приводит к поглощению уширения спектральной ширины линии. Добротность

QL = 2 π W сохранено (t) W потеряно (t) = 2 π φ (t) - 1 ν L ddt φ (t) = 2 π ν L τ L = ν L Δ ν L. {\ displaystyle Q _ {\ rm {L}} = 2 \ pi {\ frac {W _ {\ rm {stored}} (t)} {W _ {\ rm {lost}} (t)}} = 2 \ pi { \ frac {\ varphi (t)} {- {\ frac {1} {\ nu _ {L}}} {\ frac {d} {dt}} \ varphi (t)}} = 2 \ pi \ nu _ {L} \ tau _ {\ rm {L}} = {\ frac {\ nu _ {L}} {\ Delta \ nu _ {\ rm {L}}}}.}

{\ displaystyle Q _ {\ rm {L}} = 2 \ pi {\ frac {W _ {\ rm {хранится}} (t)} {W _ {\ rm { lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\ varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L} }}}.}

Время и длина когерентности равны

τ L coh = 1 c ℓ L coh = 2 τ L. {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {L}} ^ {\ rm {coh}} = {\ frac {1} {c}} \ ell _ {\ rm {L}} ^ {\ rm {coh}} = 2 \ tau _ {\ rm {L}}.}

{\ displaystyle \ tau _ {\ rm {L}} ^ {\ rm { coh}} = {\ frac {1} {c}} \ ell _ {\ rm {L}} ^ {\ rm {coh}} = 2 \ тау _ {\ rm {L}}.}

Фактор спектральной когерентности

Фактор, на который время распада фотона удлиняется за счет усиления или сокращается за счет поглощения, здесь вводится как спектральный -коэффициент когерентности $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ :

Λ: = 1 1 - cg τ c. {\ displaystyle \ Lambda: = {\ frac {1} {1-cg \ tau _ {\ rm {c}}}}.}

{\ displaystyle \ Lambda: = {\ frac {1} {1-cg \ tau _ {\ rm {c}}}}.}

Все пять параметров спектральной когерентности затем масштабируются с одинаковым коэффициентом спектральной когерентности $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ :

τ L = Λ τ c, (Δ ν L) - 1 = Λ (Δ ν c) - 1, QL = Λ Q c, τ L coh = Λ τ ccoh, ℓ L coh = Λ ℓ ccoh. {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {L}} = \ Lambda \ tau _ {\ rm {c}}, (\ Delta \ nu _ {\ rm {L}}) ^ {- 1} = \ Lambda ( \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}) ^ {- 1}, Q _ {\ rm {L}} = \ Lambda Q _ {\ rm {c}}, \ tau _ {\ rm {L}} ^ {\ rm {coh}} = \ Lambda \ tau _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}}, \ ell _ {\ rm {L}} ^ {\ rm {coh}} = \ Lambda \ ell _ {\ rm {c}} ^ {\ rm {coh}}.}

\tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}},(\Delta \nu _{\rm {L} })^{-1}=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},Q_{\rm {L}}=\Lambda Q_{\rm {c}}, \tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},\ell _{\rm {L }}^{\rm {coh}}=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.

Режим лазерного резонатора: основная ширина линии лазера

с числом $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ фотонов, распространяющихся внутри режима лазерного резонатора, скорости вынужденного излучения и распада фотонов равны, соответственно,

R st = cg φ, {\ displaystyle R _ {\ rm {st}} = cg \ varphi,}

R_{\rm {st}}=cg\varphi,

R распад = 1 τ c φ. {\ displaystyle R _ {\ rm {decay}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi.}

R_{\rm {decay}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi.

Тогда коэффициент спектральной когерентности становится

Λ = R распад R распад - R st. {\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {R _ {\ rm {decay}}} {R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}}}}.}

{\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {R _ {\ rm {decay}}} {R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}} }}.}

Время распада фотона режим генерации резонатора

τ L = Λ τ c = R распад R распад - R st τ c. {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {L}} = \ Lambda \ tau _ {\ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {decay}}} {R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}}}} \ tau _ {\ rm {c}}.}

{\ displaystyle \ tau _ {\ rm {L}} = \ Lambda \ tau _ {\ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {decay}}} {R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}}}} \ tau _ {\ rm {c}}.}

Основная ширина линии лазера составляет

Δ ν L = 1 Λ Δ ν c = R распад - R st R распад Δ ν c. {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {\ Lambda}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {распад }} - R _ {\ rm {st}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}.}

\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.

Эта основная ширина линии действительна для лазеров с произвольной система уровней энергии, работающая ниже, на уровне или выше порога, с меньшим, равным или большим усилением по сравнению с потерями, а также в непрерывном или переходном режиме генерации.

Это становится ясно из ее вывод о том, что основная ширина линии лазера обусловлена полуклассическим эффектом, заключающимся в том, что усиление увеличивает время распада фотона.

Непрерывный лазер: усиление меньше потерь

Спонтанное - скорость излучения в режиме лазерного резонатора определяется как

R sp = c σ e N 2. {\ displaystyle R _ {\ rm {sp}} = c \ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2}.}

{\ displaystyle R _ {\ rm {sp}} = c \ sigma _ {\ rm {e}} N_ { 2}.}

В частности, $R sp {\ displaystyle R _ {\ rm {sp}} }$ $R_{\rm {sp}}$ всегда имеет положительную скорость, потому что возбуждение одного атома преобразуется в один фотон в режиме генерации. Это источник лазерного излучения, и его нельзя неправильно интерпретировать как «шум». Уравнение скорости фотонов для одного режима генерации выглядит следующим образом:

d d t φ = R s p + R s t - R d e c a y = c σ e N 2 + c g φ - 1 τ c φ. {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ varphi = R _ {\ rm {sp}} + R _ {\ rm {st}} - R _ {\ rm {decay}} = c \ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2} + cg \ varphi - {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ varphi = R _ {\ rm {sp}} + R _ {\ rm {st}} - R _ {\ rm {decay}} = c \ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2} + cg \ varphi - {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi.}

Непрерывный лазер определяется постоянным во времени числом фотонов в режиме генерации, следовательно, $d φ / dt = 0 {\ displaystyle d \ varphi / dt = 0}$ ${\ displaystyle d \ varphi / dt = 0}$ . В непрерывном лазере скорости вынужденного и спонтанного излучения вместе компенсируют скорость распада фотона. Следовательно,

R s t - R d e c a y = - R s p < 0. {\displaystyle R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=-R_{\rm {sp}}<0.}

{\ displaystyle R _ {\ rm {st}} - R _ {\ rm {decay}} = - R _ {\ rm {sp}} <0.}

Скорость вынужденного излучения меньше, чем скорость распада фотона, или, в просторечии, «усиление меньше, чем потери». Этот факт известен на протяжении десятилетий и используется для количественной оценки порогового поведения полупроводниковых лазеров. Даже намного выше лазерного порога усиление все равно немного меньше потерь. Именно эта небольшая разница вызывает конечную ширину линии непрерывного лазера.

Из этого вывода становится ясно, что, по сути, лазер является усилителем спонтанного излучения, а ширина линии непрерывного лазера обусловлена полу- классический эффект, что выигрыш меньше потерь. Также в квантово-оптических подходах к ширине лазерной линии, основанных на главном уравнении оператора плотности, можно проверить, что коэффициент усиления меньше потерь.

Приближение Шавлоу-Таунса

Как упоминалось выше, из его исторического вывода ясно, что исходное уравнение Шавлоу-Таунса является четырехкратным приближением основной ширины лазерной линии. Начиная с основной ширины лазерной линии $Δ ν L {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}}}$ , полученной выше, применяя четыре приближения (i) - (iv) одно затем получает исходное уравнение Шавлоу-Таунса.

(i) Это настоящий лазер непрерывного действия, поэтому

R распад - R st = R sp ⇒ {\ displaystyle R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}} = R _ {\ rm {sp}} \ Rightarrow}

{\ displaystyle R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}} = R _ {\ rm {sp}} \ Rightarrow}

Δ ν L = 1 Λ Δ ν c = R распад - R st R распад Δ ν c = R sp R распад Δ ν c. {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {\ Lambda}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {распад }} - R _ {\ rm {st}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {sp}}} { R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}.}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {\ Lambda}} \ Delta \ nu _ { \ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c }} = {\ frac {R _ {\ rm {sp}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}.}

(ii) Это настоящий четырехуровневый лазер, поэтому

N 1 = 0 ⇒ cg = с (σ е N 2 - σ a N 1) знак равно с σ е N 2 = R SP ⇒ {\ Displaystyle N_ {1} = 0 \ Rightarrow cg = c (\ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2 } - \ sigma _ {\ rm {a}} N_ {1}) = c \ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2} = R _ {\ rm {sp}} \ Rightarrow}

{\ displaystyle N_ {1} = 0 \ Rightarrow cg = c (\ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2} - \ sigma _ {\ rm {a}} N_ {1}) = c \ sigma _ {\ rm {e}} N_ {2} = R_ {\ rm {sp}} \ Rightarrow}

Δ ν L = R sp R распад Δ ν c = cg 1 τ c φ Δ ν c. {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {R _ {\ rm {sp}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c }} = {\ frac {cg} {{\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}.}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L }} = {\ frac {R _ {\ rm {sp}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {cg} {{\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}.}

(iii) Он не имеет собственных потерь в резонаторе, поэтому

1 τ потеря = 0 ⇒ 1 τ c = 1 τ out ⇒ P out = h ν L 1 τ out φ = h ν L 1 τ c φ ⇒ {\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {loss}}}} = 0 \ Rightarrow {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} = {\ frac {1} { \ tau _ {\ rm {out}}}} \ Rightarrow P _ {\ rm {out}} = h \ nu _ {\ rm {L}} {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out} }}} \ varphi = h \ nu _ {\ rm {L}} {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi \ Rightarrow}

{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}=0\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}\Rightarrow P_{\rm {out}}=h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}\varphi =h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi \Rig htarrow

Δ ν L = cg 1 τ c φ Δ ν c = cgh ν LP out Δ ν c. {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {cg} {{\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {cgh \ nu _ {\ rm {L}}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}.}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {cg} {{\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} \ varphi}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c} } = {\ frac {cgh \ nu _ {\ rm {L}}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}}.}

(iv) Один фотон переходит в режим генерации посредством спонтанного излучения в течение времени распада фотона $τ c {\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ rm {c}}}$ , что произойдет точно в недоступной точке идеального четырехуровневого лазера непрерывного действия с бесконечным коэффициентом спектральной когерентности $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , числом фотонов $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , и выходная мощность $P out {\ displaystyle P _ {\ rm {out}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ rm {out}}}$ , где усиление будет равно потерям, следовательно,

R st = R распад ⇒ R sp = cg = 1 τ c = 2 π Δ ν c ⇒ {\ displaystyle R _ {\ rm {st}} = R _ {\ rm {decay}} \ Rightarrow R _ {\ rm {sp}} = cg = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {c}}}} = 2 \ pi \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} \ Rightarrow}

{\ displaystyle R _ {\ rm {st}} = R _ {\ rm {decay}} \ Rightarrow R _ {\ rm {sp}} = cg = {\ frac {1} {\ tau _ { \ rm {c}}}} = 2 \ pi \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} \ Rightarrow}

Δ ν L = cgh ν LP out Δ ν c = 2 π h ν L (Δ ν c) 2 P out = Δ ν L, ST. {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {cgh \ nu _ {\ rm {L}}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {2 \ pi h \ nu _ {\ rm {L}} (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out }}}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {L, ST}}.}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {cgh \ nu _ {\ rm {L}}} {P _ {\ rm {out}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {2 \ pi h \ nu _ {\ rm { L}} (\ Delta \ nu _ {\ rm {c}}) ^ {2}} {P _ {\ rm {out}}}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {L, ST}}.}.

Т.е., применяя те же четыре приближения (i) - (iv) к основной ширине линии лазера $Δ ν L {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}}}$ , которые были применены в первом выводе, получается исходное уравнение Шавлоу-Таунса.

Таким образом, основной лазер ширина линии составляет

Δ ν L = 1 Λ Δ ν c = R распад - R st R распад Δ ν c = (1 - cg τ c) Δ ν c = Δ ν c - cg 2 π, {\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {\ Lambda}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {decay}} - R_ { \ rm {st}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = (1-cg \ tau _ {\ rm {c}}) \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} - {\ frac {cg} {2 \ pi}},}

{\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {\ Lambda}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = {\ frac {R _ {\ rm {decay}} - R _ {\ rm {st}}} {R _ {\ rm {decay}}}} \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = (1-cg \ tau _ {\ rm {c}}) \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {c}} - {\ frac {cg} {2 \ pi}}, }

тогда как исходное уравнение Шавлоу-Таунса представляет собой четырехмерное уравнение. кратное приближение этой фундаментальной ширины лазерной линии и представляет просто исторический интерес ул.

Дополнительные эффекты расширения и сужения ширины линии

После публикации в 1958 г. исходное уравнение Шавлоу-Таунса было расширено различными способами. Эти расширенные уравнения часто продаются под одним и тем же названием, «ширина линии Шавлоу-Таунса», тем самым создавая настоящую путаницу в доступной литературе по ширине линии лазера, поскольку часто неясно, какое именно расширение исходного уравнения Шавлоу-Таунса соответствующие авторы Ссылаться на.

Несколько полуклассических расширений, предназначенных для удаления одного или нескольких приближений (i) - (iv), упомянутых выше, тем самым делая шаги в направлении основной ширины лазерной линии, полученной выше.

Следующие расширения могут добавить к основной ширине лазерной линии:

(a) Хемпстед и Лакс, а также Хакен, предсказанный квантово- механически дополнительное сужение линии в два раза вблизи лазерного порога. Однако экспериментально такой эффект наблюдался лишь в единичных случаях.

(b) Петерманн полуклассически вывел ранее экспериментально наблюдаемый эффект расширения ширины линии в полупроводниковых лазерах с направленным усилением по сравнению с полупроводниковыми лазерами с направленным индексом. Позже Зигман показал, что этот эффект вызван неортогональность поперечных мод. Вурдман и его сотрудники распространили эту идею на продольные моды и поляризационные моды. В результате к ширине линии лазера иногда добавляют так называемый «К-фактор Петермана».

(c) Генри квантово-механически предсказал дополнительное расширение ширины линии из-за изменений показателя преломления, связанных с возбуждением электронно-дырочной пары, которые вызывают фазовые изменения. В результате к ширине линии лазера иногда добавляется так называемый « $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ -фактор Генри».

Измерение ширины линии лазерного излучения

Одним из первых методов измерения когерентности лазера была интерферометрия. Типичным методом измерения ширины линии лазера является самогетеродинная интерферометрия. Альтернативный подход - использование спектрометрии.

Непрерывные лазеры

Ширина линии лазерного излучения в типичном одиночном поперечном режиме He-Ne-лазере ( на длине волны 632,8 нм) при отсутствии внутрирезонаторной оптики сужения линии может быть порядка 1 ГГц. Лазеры с распределенной обратной связью на основе диэлектрика или полупроводников, легированных редкоземельными элементами, имеют типичную ширину линии порядка 1 кГц. Ширина лазерной линии стабилизированных маломощных непрерывных лазеров может быть очень узкой и достигать менее 1 кГц. Наблюдаемая ширина линии больше, чем основная ширина линии лазера из-за технических шумов (временные флуктуации мощности оптической накачки или тока накачки, механические колебания, изменения показателя преломления и длины из-за температурных флуктуаций и т. Д.).

Импульсные лазеры

Ширина линии излучения мощных импульсных лазеров с высоким коэффициентом усиления при отсутствии внутрирезонаторной сужающей оптики может быть довольно широкой, а в случае мощной широкополосной связи лазеры на красителях он может находиться в диапазоне от нескольких нм до 10 нм.

Ширина лазерной линии от мощных импульсных лазерных генераторов с высоким коэффициентом усиления, содержащих оптику сужения линии, является функцией геометрические и дисперсионные характеристики резонатора лазера. В первом приближении ширина линии лазера в оптимизированном резонаторе прямо пропорциональна расходимости луча излучения, умноженной на обратную величину общей внутрирезонаторной дисперсии. То есть

Δ λ ≈ Δ θ (∂ Θ ∂ λ) - 1 {\ displaystyle \ Delta \ lambda \ приблизительно \ Delta \ theta \ left ({\ partial \ Theta \ over \ partial \ lambda} \ right) ^ {- 1}}

\ Delta \ lambda \ приблизительно \ Delta \ theta \ left ({\ partial \ Theta \ over \ partial \ lambda} \ right) ^ {- 1}

Это известно как уравнение ширины линии резонатора, где $Δ θ {\ displaystyle \ Delta \ theta}$ $\ Delta \ theta$ - это расходимость луча, а член в скобках (увеличено до –1) - общая внутрирезонаторная дисперсия. Это уравнение изначально было получено из классической оптики. Однако в 1992 г. Дуарте вывел это уравнение из квантовых интерферометрических принципов, таким образом связав квантовое выражение с общей угловой дисперсией внутри резонатора.

Оптимизированный лазерный генератор с несколькими призматическими решетками может генерировать импульсное излучение в кВт-режиме с шириной линии одной продольной моды $Δ ν {\ displaystyle \ Delta \ nu}$ $\ Delta \ nu$ ≈ 350 МГц (эквивалент $Δ λ {\ displaystyle \ Delta \ lambda}$ $\ Delta \ lambda$ ≈ 0,0004 нм при длине волны лазера 590 нм). Поскольку длительность импульса этих генераторов составляет около 3 нс, характеристики ширины линии лазера близки к пределу, допускаемому принципом неопределенности Гейзенберга.

См. Также

Ссылки