Большие числа

Числа, которые значительно больше, чем обычно используемые

Большие числа - это числа, которые значительно больше, чем обычно используется в повседневной жизни, например, при простом счете или денежных операциях. Термин обычно относится к большим положительным целым числам или, в более общем смысле, большим положительным действительным числом, но он также может быть в другом контексте. Изучение номенклатуры и свойств больших чисел иногда называют гугологией.

Очень большие числа часто встречаются в таких областях, как математика, космология, криптография и статистическая механика. Иногда люди называют числа «астрономически большим». Однако математически легко определить числа, которые намного больше, чем те, которые используются в астрономии.

• 1 В повседневном мире
• 2 Астрономический
  • 2.1 «Миллиарды и миллиарды»
• 3 Примеры
• 4 Стандартизированная система письма
  • 4.1 Примеры
  • 4.2 Другие обозначения
• 5 Сравнение базовых значений
• 6 Точность
  • 6.1 Для очень больших чисел
  • 6.2 Приближенная арифметика
• 7 Систематическое создание быстрорастущих последовательностей
• 8 В некоторых невычислимых последовательностях
• 9 Бесконечные числа
• 10 Относительно правительств
• 11 См. Также
• 12 Ссылки

Научная нотация создана для обработки широкого диапазона значений, встречающихся в научных исследованиях. 1.0 × 10, например, означает один миллиард, 1, за который следуют девять нулей: 1 000 000 000, а 1.0 × 10 означает одну миллиардную, или 0,000 000 001. Запись 10 вместо девяти нулей спасает читателей. усилие и опасность подсчета длинной серии нулей, чтобы увидеть, насколько велико число.

Примеры больших чисел, описывающих повседневные объекты реального мира, включая:

• количество бит на компьютере жесткий диск (по состоянию на 2020 год, обычно около 10, 1–2 TB )
• Расчетное количество атомов в наблюдаемой Вселенной (10)
• Масса Земли примерно из 4x10 нуклонов
• Количество клеток в теле человека (оценка 3,72 × 10)
• Число нейронных связей в мозге человека (оценка 10)
• нижняя граница сложности дерева игр в шахматы, также известная как «число Шеннона »(примерно 10)
• Константа Авогадро - это количество« элементарные объекты »(обычно атомы или молекулы) в одном моль ; количество элементы в 12 граммах -углерод 12 - приблизительно 6,022 × 10.

Другие большие числа, длины и времени, можно найти в астрономии и космологии. Например, Модель нынешнего B взрыва п редполагает, что возраст Вселенной 13,8 миллиарда лет (4 355 × 10 секунд), и что наблюдаемая Вселенная имеет размер 93 миллиарда световых лет в поперечнике (8,8 × 10 метров), и содержит около 5 × 10 звезд, организованных в 125 миллиардов (1,25 × 10) галактик, согласно наблюдениям космического телескопа Хаббла. По приблизительной оценке, в наблюдаемой Вселенной находится около 10 атомов.

Согласно Дону Пейджу, физику из Университета Альберты, Канада, это самый длинный конечный промежуток времени. который до сих пор был явно рассчитан любым физиком, составляет

$10\; 10\; 10\; 10\; 10\; 1,1\; года\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{1.1\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{лет\}\}\}$

, что соответствует шкале предполагаемого времени повторения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, содержащего черную дыру с предполагаемой массой всей Вселенной, наблюдаемой или нет, при условии некоторая инфляционная модель с инфлатоном массой 10 масс Планка. На этот раз, что статистическая модель подвержена повторению Пуанкаре. Более простой способ представления об этом времени - это модель, в которой история вселенной повторяется произвольно много раз из-за свойств статистической механики ; это временная шкала, когда она сначала будет в некоторой степени подобного (для разумного выбора «подобного») своему текущему состоянию.

Комбинаторные процессы быстро генерируют еще большие числа. Функция факториал, которая определяет перестановок в наборе фиксированных объектов, очень быстро растет с количеством объектов. Формула Стирлинга дает точное асимптотическое выражение для этой скорости роста.

Комбинаторные процессы генерируют очень большие числа в статистической механике. Эти велики, что на них числа, обычно определяются с помощью их логарифмов.

чисел Гёделя, а аналогичные числа, используемые для представления битовых строк в теории алгоритмической информации, очень большие, даже для математических утверждений разумной длины. Однако некоторые патологические числа даже больше, чем числа Гёделя в типичных математических предложениях.

Логик Харви Фридман проделал работу, относящуюся к очень большим числам, например, с теоремой Крускала о дереве и теоремой Робертсона - Сеймура.

«миллиарды» »И миллиарды»

помочь зрителям Cosmos Чтобы различать «миллионы» и «миллиарды», астроном Карл Саган Приз букву «b». Однако Саган никогда не говорил «миллиарды и миллиарды ». Общественная ассоциация фразы и Сагана возникла из скетча Tonight Show. Пародируя аффект Сагана, Джонни Карсон пошутил «миллиарды и миллиарды». Эта фраза, однако, превратилась в юмористическое вымышленное число - Саган. См., Единица Сагана.

• гугол = $10\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{100\}\}$
• сантиллион = $10\; 303\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{303\}\}$или $10\; 600\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{600\}\}$, в зависимости от системы именования чисел
• миллимиллион = $10\; 3003\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{3003\}\}$или $10\; 6000\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{6000\}\}$, в зависимости от системы именования чисел
• миллиниллиниллион = $10\; 3000003\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{3000003\}\}$или $10\; 6000000\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{6000000\}\}$, в зависимости от системы именования номеров
• Наееее известное число Смита = (10−1) × (10 + 3 × 10 + 1) × 10
• На наибольшее известное простое число Мерсенна = $2\; 82,\; 589,\; 933\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{82,589,933\}\; -1\}$(по состоянию на 21 декабря 2018 г.)
• googolplex = $10\; гугол\; =\; 10\; 10\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{\backslash \; text\; \{googol\}\}\; =\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{100\}\}\}$
• Числа Скьюза : первое примерно $10\; 10\; 10\; 34\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{34\}\}\}\}$, второй $10\; 10\; 10\; 964\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{964\}\}\}\}$
• Число Грэма, больше, чем что можно представить даже с помощью силовых башен (тетрация ). Тем не менее, это может быть представлено с использованием обозначения менее стрелки вверх Кнута
• Число Райо - это большое число, названное в честь Агустина Райо, которое, как утверждается, является самым большим именованным числом. Первоначально он был определен в «дуэли с большими числами» в Массачусетском технологическом институте 26 января 2007 г.

Стандартизованный способ записи очень больших чисел позволяет легко сортировать их в возрастании, и может получить хорошее представление о том, насколько одно число больше другого.

Чтобы сравнить числа в экспоненциальном представлении, скажем, 5 × 10 и 2 × 10, сначала сравните показатели степени, в данном случае 5>4, поэтому 2 × 10>5 × 10. мантиссу (или коэффициент) таким образом, 5 × 10>2 × 10, потому что 5>2.

Тетрация с основанием 10 дает последовательность $10\; \uparrow \uparrow \; n\; =\; 10\; \to \; n\; \to \; 2\; =\; (10\; \uparrow )\; n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\; =\; 10\; \backslash \; to\; n\; \backslash \; to\; 2\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n\}\; 1\}$, башни силы чисел 10, где $(10\; \uparrow )\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n\}\}$обозначает функциональную мощность функции $f\; (n)\; =\; 10\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; =\; 10\; ^\; \{n\}\}$(функция также выражается суффиксом «-plex», как в googolplex, см. семейство Googol ).

Это очень круглые числа, которые представляют порядок величины в обобщенном смысле. Грубый способ указать, насколько велико число, указать, между двумя числами, указать оно в этом числе.

Точнее, числа между ними можно выразить в форме $(10\; \uparrow )\; na\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n\}\; a\}$, т.е. башня власти из 10 и число наверху, возможно, в научной записи, например $10\; 10\; 10\; 10\; 10\; 4,829\; =\; (10\; \uparrow )\; 5\; 4,829\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{4.829\; \}\}\}\}\}\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{5\}\; 4.829\}$, число от $10\; \uparrow \uparrow \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 5\}$до $10\; \uparrow \uparrow \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; вверх\; 6\}$(обратите внимание, что , если ). (См. Также расширение тетрации до реального высот.)

Таким образом, гуголплекс равен $10\; 10\; 100\; =\; (10\; \uparrow )\; 2100\; =\; (10\; \uparrow )\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{100\}\}\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; 100\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 2\}$

Другой пример:

$2\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 4\; =\; 2\; 2...\; 2\; ⏟\; 65,\; 536\; копий\; 2\; \approx \; (10\; \uparrow )\; 65,\; 531\; (6\; \times \; 10\; 19,\; 728)\; \approx \; (10\; \uparrow )\; 65,\; 533\; 4.3\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\; =\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; underbrace\; \{2\; \_\; \{\}\; ^\; \{2\; ^\; \{\{\}\; ^\; \{.\; \backslash ,\; ^\; \{.\; \backslash ,\; ^\; \{.\; \backslash ,\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 65,536\; \{\backslash \; t\_dv\; \{копии\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; приблизительно\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{65,531\}\; (6\; \backslash \; раз\; 10\; ^\; \{19,728\})\; \backslash \; приблизительно\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{65,533\}\; 4.3\}$(между $10\; \uparrow \uparrow \; 65,\; 533\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 65,533\}$и $10\; \uparrow \uparrow \; 65,\; 534\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 65,534\}$)

Таким образом, "порядок величины" числа (в большем масштабе, чем обычно подразумевается) можно охарактеризовать его раз (n), которое нужно взять $log\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; log\_\; \{10\}\}$, чтобы получить число от 1 до 10. Таким образом, число находится между $10\; \uparrow \uparrow \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\}$и $10\; \uparrow \uparrow \; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (n\; +\; 1)\}$. Как объяснялось, более точное описание Число также указывает значение этого числа. mber между 1 и 10, или предыдущее число (логарифм на один раз меньше) между 10 и 10, или следующее, между 0 и 1.

Обрати те внимание, что

$10\; (10\; \uparrow )\; nx\; =\; (10\; \uparrow )\; n\; 10\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{(10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n\}\; x\}\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n\}\; 10\; ^\; \{x\}\}$

То есть, если число x равно слишком велик для представления $(10\; \uparrow )\; nx\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n\}\; x\}$, мы можем сделать башню питания на одну выше, заменив x на log 10 x, или найдите x из нижнего представления логарифма 10 целого числа. Эти два подхода приводят к разным результатам, что соответствует факту, что удлинение башни мощности с помощью 10 в нижней части. верхний (но, конечно, аналогичные замечания применимы, если вся башня власти из копий с одинаковым номером, отличным от 10).

Если высота башни велика, различные представления для больших чисел положения к самой высоте. Если высота дана только указывает, указывать значение вверху не имеет смысла, поэтому мы можем использовать обозначение с двумя стрелками, например, $10\; \uparrow \uparrow \; (7.21\; \times \; 10\; 8)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (7.21\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{\; 8\})\}$. Указанное рекурсивно применимо к этому значению.

Примеры:

$10\; \uparrow \uparrow \; 10\; 10\; 10\; 3.81\; \times \; 10\; 17\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 10\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash !\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{3.81\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{17\}\}\}\}\}$(между $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 2\}$и $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3\}$)

$10\; \uparrow \uparrow \; 10\; \uparrow \uparrow \; (10\; \uparrow )\; 497\; (9,73\; \times \; 10\; 32)\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 2\; (10\; \uparrow )\; 497\; (9,73\; \times \; 10\; 32)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{497\}\; (9,73\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{32\})\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{497\}\; (9,73\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{32\})\}$(между $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 4\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\}$и $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 5\}$)

Аналогично предыдущему, если показатель степени $(10\; \uparrow )\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow)\}$неточно задано, то давать значение справа не имеет смысла, и мы можем вместо использования обозначения степени $(10\; \uparrow )\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow)\}$, прибавить 1 к показателю $(10\; \uparrow \uparrow )\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\}$, поэтому получаем, например, $(10\; \uparrow \uparrow )\; 3\; (2,8\; \times \; 10\; 12)\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; (2,8\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{12\})\}$.

Если показатель степени $(10\; \uparrow \uparrow )\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\}$большое, различные представления для больших чисел могут быть применены к самому этому показателю. Если этот показатель не указан точно, то опять же, указание значений справа не имеет смысла, и мы можем вместо использования обозначения степени $(10\; \uparrow \uparrow )\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\}$, используйте оператор тройной стрелки, например $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; (7.3\; \times \; 10\; 6)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (7.3\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{6\})\}$.

Если правый аргумент оператора тройной стрелки велик вышеприведенное относится к нему, поэтому мы, например, $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; (10\; \uparrow \uparrow )\; 2\; (10\; \uparrow )\; 497\; (9,73\; \times \; 10\; 32)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{497\}\; (9,73\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{32\})\}$(между $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\}$и $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 10\; \backslash \; вверх\; \backslash \; вверх\; \backslash \; вверх\; \backslash \; вверх\; 5\}$). Это можно сделать рекурсивно, так что у нас будет мощность двигателя тройной стрелки.

Мы можем продолжить с операторами с большим количеством стрелок, записанными $\uparrow \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\}\}$.

соответствующими это обозначение с гипероператором и обозначение цепной стрелки Конвея :

$a\; \uparrow \; nb\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\}\; b\}$= (a → b → n) = hyper (a, n + 2, b)

Преимущество первого метода в том, что, если рассматривать его как функцию от b, существует естественное обозначение степеней этой функции (точно так же, как при написании n стрелок): $(a\; \uparrow \; n)\; kb\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; \backslash \; вверх\; ^\; \{n\})\; ^\; \{k\}\; b\}$. Например:

$(10\; \uparrow \; 2)\; 3\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3\}\; b\}$= (10 → (10 → (10 → b → 2) → 2) → 2)

и только в особых случаях сокращается нотация длинной вложенной цепочки; для b = 1 получаем:

$10\; \uparrow \; 3\; 3\; =\; (10\; \uparrow \; 2)\; 3\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{3\}\; 3\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3\}\; 1\}$= (10 → 3 → 3)

Так как мы пишем число с последовательностью степеней $(10\; \uparrow \; n)\; kn\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{\; n\})\; ^\; \{k\_\; \{n\}\}\}$с убывающими значениями n (с точно заданными целыми показателями $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{k\_\; \{n\}\}\}$) с числом в обычном научном представлении на конце. Когда $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{k\_\; \{n\}\}\}$слишком велико, чтобы его можно было дать точно, значение $kn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{k\_\; \{n\; +\; 1\}\}\}$увеличивается на 1 и все справа от $(n\; +\; 1)\; kn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{n\; +\; 1\})\; ^\; \{k\_\; \{n\; +\; 1\}\}\}$переписан.

Для приближенного описания чисел отклонения от порядка убывания значений n не нужны. Например, $10\; \uparrow \; (10\; \uparrow \uparrow )\; 5\; a\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 6\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{5\}\; a\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{\; 6\}\; a\}$и $10\; \uparrow \; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 3)\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \; (10\; \uparrow \uparrow \; 10\; +\; 1)\; \approx \; 10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3)\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 10\; +\; 1)\; \backslash \; примерно\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3\}$. Таким образом, мы получаем несколько противоречивый результат: x может быть настолько большим, что в некотором смысле x и 10 «почти равны» (арифметику больших чисел см. Также ниже).

Различные представления больших чисел. Если этот надстрочный индекс не указан точно, то нет возрастной степени, указанной в данной степени или значении. Мы можем просто использовать стандартное значение справа, например 10, и выражение сокращается до $10\; \uparrow \; n\; 10\; =\; (10\; \to \; 10\; \to \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\}\; 10\; =\; (10\; \backslash \; to\; От\; 10\; \backslash \; до\; n)\}$с приблизительным n. Для таких чисел больше используется преимущество использования нотации со стрелкой вверх, и мы также можем использовать нотацию цепочки.

Вышеупомянутое может быть применено рекурсивно к этому n, поэтому мы получаем обозначение $\uparrow \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\}\}$в верхнем индексе первой стрелки, и т. д., или у нас есть обозначение вложенной цепочки, например:

(10 → 10 → (10 → 10 → $3\; \times \; 10\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{5\}\}$)) = $10\; \uparrow \; 10\; \uparrow \; 3\; \times \; 10\; 5\; 10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{3\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{5\}\}\; 10\}\; 10\}$

Если количество уровней становится слишком большим для удобства, используется вместо обозначения, в котором это количество уровней записывается в виде числа (например, использование указателя индекса в виде числа). Вводя функция $f\; (n)\; =\; 10\; \uparrow \; n\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\}\; 10\}$= (10 → 10 → n), эти уровни становятся функциональными возможности f, позволяющие записать число в форме $fm\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{m\}\; (n)\}$где m дано точно, а n - целое число, которое может быть указано или нет (например: $f\; 2\; (3\; \times \; 10\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{2\}\; (3\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{5\})\}$). Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Самыми «круглыми» из этих чисел являются числа вида f (1) = (10 → 10 → m → 2). Например, $(10\; \to \; 10\; \to \; 3\; \to \; 2)\; =\; 10\; \uparrow \; 10\; \uparrow \; 10\; 10\; 10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; to\; 10\; \backslash \; to\; 3\; \backslash \; to\; 2)\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{10\; ^\; \{10\}\}\; 10\}\; 10\}$

определяет определение числа Грэма : оно использует число 3 вместо 10, имеет 64 уровня стрелок и число 4 вверху; таким образом, , но также и .

Если m в $fm\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{m\}\; (n)\}$слишком велико, чтобы дать точное значение, мы можно использовать фиксированное n, например n = 1, и применить вышеописанное рекурсивно к m, т. е. количество уровней вверх стрелки само обозначении стрелки вверх с надстрочным индексом и т. д. Используя обозначение функциональной мощности f, это дает несколько уровней f. Введя функция $g\; (n)\; =\; fn\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (n)\; =\; f\; ^\; \{n\}\; (1)\}$, эти уровни становятся функциональными степенями g, что позволяет нам писать число в $gm\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{m\}\; (n)\}$где m дано точно, а n - целое число, которое может быть или не может быть дано точно. Имеем (10 → 10 → m → 3) = g (1). Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Точно так же мы можем использовать функцию h и т. Д. Если нам нужно много таких функций, мы можем лучше пронумеровать их вместо того, чтобы каждый раз использовать новую букву, например, как нижний индекс, поэтому мы получаем число вида $fkm\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{k\}\; ^\; \{m\}\; (n)\}$, где k и m даны точно, а n - целое число, которое может быть или не быть задано точно. Используя k = 1 для f выше, k = 2 для g и т. Д., Мы имеем (10 → 10 → n → k) = $fk\; (n)\; =\; fk\; -\; 1\; n\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{\; k\}\; (n)\; =\; f\_\; \{k-1\}\; ^\; \{n\}\; (1)\}$. Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Таким образом, мы получаем вложение форм $fkmk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{f\_\; \{k\}\}\; ^\; \{m\_\; \{k\}\}\}$, где при движении внутрь k уменьшается, а в качестве$(10\; \uparrow \; n)\; pn\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\})\; ^\; \{p\_\; \{n\}\}\}$с уменьшающимися значениями n (где все эти числа являются точными целыми числами) с номером в конце в обычном научном представлении.

Если k слишком велико, чтобы его можно было задать точно, соответствующее число можно выразить как $fn\; (10)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{f\_\; \{n\}\}\; (10)\}$= (10 → 10 → 10 → п) с приблизительным н. Обратите внимание, что процесс перехода от следовать $10\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\}$= (10 → n) к вниманию $10\; \uparrow \; n\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\}\; 10\}$= (10 → 10 → n) очень похоже на переход от последнего к последнему $fn\; (10)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{f\_\; \{n\}\}\; (10)\}$= (10 → 10 → 10 → n): это общий процесс добавления элемента 10 к цепочке в обозначении цепочки; этот процесс можно повторить снова (см. также предыдущий раздел). Нумерация первых версий этой функции может быть описана с помощью функций $fqkmqk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{f\_\; \{qk\}\}\; ^\; \{m\_\; \{qk\}\}\}$, вложенных в лексикографическом порядке, где q - самое старшее число, но с порядком убывания q и k; в качестве последовательного аргумента у нас есть последовательность степеней $(10\; \uparrow \; n)\; pn\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{n\})\; ^\; \{p\_\; \{n\}\}\}$с убывающими значениями n (где все эти числа являются точными целыми числами) с численностью в обычном научном представлении на конце.

Для числа, слишком большого количества записи в нотации со стрелками Конвея, мы можем описать его размер по длине цепочки, например, используя только элементы 10 в цепочке; Словами, мы указываем его другими методами для этого 10, 10 → 10, 10 → 10 → 10,..

Примеры

Числа, выражаемые в десятичной системе счисления:

• 2 = 4
• 2 = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 = 27
• 4 = 256
• 5 = 3,125
• 6 = 46 656
• $2\; 2\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\; \}$= 2 ↑↑ 4 = 2 ↑↑↑ 3 = 65 536
• 7 = 823 543
• 10 = 1 000 000 = 1 миллион
• 8 = 16 777 216
• 9 = 387 420 489
• 10 = 1 000 000 000 = 1 миллиард
• 10 = 10 000 000 000
• 10 = 1 000 000 000 000 = 1 триллион
• 3 = 3 ↑ ↑ 3 = 7625 597 484 987 ≈ 7,63 × 10
• 10 = 1 000 000 000 000 000 = 1 миллион миллиардов = 1 квадриллион

Числа, обозначенные в обозначенных обозначениях00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 8,5 × 10

5 = 5 ↑↑ 3 = 5 ≈ 1,91 × 10 ≈ (10 ↑) 3,3

$2\; 2\; 2\; 2\; 2\; =\; 2\; \uparrow \uparrow \; 5\; =\; 2\; 65,\; 536\; \approx \; 2,0\; \times \; 10\; 19,\; 728\; \approx \; (10\; \uparrow )\; 2\; 4.3\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; 2\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 5\; =\; 2\; ^\; \{65,536\}\; \backslash \; приблизительно\; 2,0\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{19,728\}\; \backslash \; приблизительно\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; 4.3\}$

6 = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 ≈ (10 ↑) 4,6

7 = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ≈ (10 ↑) 5,8

8 = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 ≈ (10 ↑) 7,2

$M\; 77,\; 232,\; 917\; \approx \; 4,67\; \times \; 10\; 23,\; 249,\; 424\; \approx \; 10\; 10\; 7,37\; =\; (10\; \uparrow )\; 2\; 7,37\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{77,232,\; 9\; 17\}\; \backslash \; примерно\; 4,67\; \backslash \; раз\; 10\; ^\; \{23,249,424\}\; \backslash \; примерно\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{7.37\}\}\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; 7.37\}$, 50-е и по состоянию на январь 2018 года наибольшее известное простое число Мерсенна.

9 = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ≈ (10 ↑) 8,6

10 = 10 ↑↑ 3 = 10 = (10 ↑) 1

$3\; 3\; 3\; 3\; =\; 3\; \uparrow \uparrow \; 4\; \approx \; 1,26\; \times \; 10\; 3,\; 638,\; 334,\; 640,\; 024\; \approx \; (10\; \uparrow )\; 3\; 1,10\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; ^\; \{3\; ^\; \{3\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; 3\; \backslash \; uparro\; w\; \backslash \; uparrow\; 4\; \backslash \; приблизительно\; 1,26\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{3,638,334,640,024\}\; \backslash \; приблизительно\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 1.10\}$

Числа, выражаемые в ( 10 ↑) k, обозначение:

• googolplex = $10\; 10\; 100\; =\; (10\; \uparrow )\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{100\}\}\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 2\}$
• $2\; 2\; 2\; 2\; 2\; 2\; =\; 2\; \uparrow \uparrow \; 6\; =\; 2\; 2\; 65,\; 536\; \approx \; 2\; (10\; \uparrow )\; 2\; 4.3\; \approx \; 10\; (10\; \uparrow )\; 2\; 4.3\; =\; (10\; \uparrow )\; 3\; 4.3\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; =\; 2\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 6\; =\; 2\; ^\; \{2\; ^\; \{65,536\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 2\; ^\; \{(10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; 4.3\}\; \backslash \; приблизительно\; 10\; ^\; \{(10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; 4.3\}\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 4.3\}$
• $10\; 10\; 10\; 10\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \; 4\; =\; (10\; \uparrow )\; 4\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\}\}\}\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{4\}\; 1\; \}$
• $3\; 3\; 3\; 3\; 3\; =\; 3\; \uparrow \uparrow \; 5\; \approx \; 3\; 10\; 3,6\; \times \; 10\; 12\; \approx \; (10\; \uparrow )\; 4\; 1,10\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; ^\; \{3\; ^\; \{3\; ^\; \{3\; ^\; \{3\}\}\; \}\}\; =\; 3\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 5\; \backslash \; приблизительно\; 3\; ^\; \{10\; ^\; \{3,6\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{12\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{4\}\; 1.10\}$
• $2\; 2\; 2\; 2\; 2\; 2\; 2\; =\; 2\; \uparrow \uparrow \; 7\; \approx \; (10\; \uparrow )\; 4\; 4.3\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}\; =\; 2\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 7\; \backslash \; приблизительно\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{4\}\; 4.3\}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) 1.10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) 4,3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑) 4,3 находится между 10 ↑↑ 65,533 и 10 ↑↑ 65,534

Большие числа:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑ ↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 находится между (10 ↑↑) 2 и (10 ↑↑) 3
• $10\; \uparrow \uparrow \; \uparrow \; 3\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 3\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 1\}$= (10 → 3 → 3)
• $(10\; \uparrow \uparrow )\; 2\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; 11\}$
• $(\; 10\; \uparrow \uparrow )\; 2\; 10\; 10\; 10\; 3.81\; \times \; 10\; 17\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; 10\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash !\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{3.81\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{17\}\}\}\}\}$
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 4\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 4\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{4\}\; 1\}$= (10 → 4 → 3)
• $(10\; \uparrow \uparrow )\; 2\; (10\; \uparrow )\; 497\; (9,73\; \times \; 10\; 32)\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; \backslash \; uparrow)\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{497\}\; (9,73\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{32\})\}$
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 5\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 5\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; вверх\; \backslash \; вверх\; 5\; =\; (10\; \backslash \; вверх\; \backslash \; вверх)\; ^\; \{5\}\; 1\}$= (10 → 5 → 3)
• $10\; \uparrow \uparrow \; \uparrow \; 6\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 6\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 6\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{6\}\; 1\}$= (10 → 6 → 3)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 7\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 7\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 7\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{7\}\; 1\}$= (10 → 7 → 3)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 8\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 8\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 8\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{8\}\; 1\}$= (10 → 8 → 3)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 9\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 9\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 9\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{9\}\; 1\}$= ( 10 → 9 → 3)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 2\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 10\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 10\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 2\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 10\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{10\}\; 1\}$= (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
• Первый член в определении число Грэхема, g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10) находится между (10 ↑↑↑) 2 и (10 ↑↑↑) 3 (см. число Грэма # Величина )
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 3\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 3\; 1\; \{\backslash \; displaysty\; le\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 1\}$= (10 → 3 → 4)
• $4\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\}$= ( 4 → 4 → 4) $\approx \; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 2\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 3\; 154\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; приблизительно\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 154\}$
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 4\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 4\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{4\}\; 1\}$= (10 → 4 → 4)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 5\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 5\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 5\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{5\}\; 1\}$= (10 → 5 → 4)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 6\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 6\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 6\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{6\}\; 1\}$= (10 → 6 → 4)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 7\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 7\; 1\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 7\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; вверх)\; ^\; \{7\}\; 1\; =\}$= (10 → 7 → 4)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 8\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 8\; 1\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 8\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{8\}\; 1\; =\}$= (10 → 8 → 4)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 9\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \; \uparrow )\; 9\; 1\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 9\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{9\}\; 1\; =\}$= (10 → 9 → 4)
• $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 2\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 10\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; 10\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 2\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 10\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{10\}\; 1\}$= (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
• (2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
• (3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
• (10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
• (10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
• (10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → $10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\}\}$) = $10\; \uparrow \; 10\; 10\; 10\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{10\; ^\; \{1\; 0\}\}\; 10\}$
• Второй член в определении числа Грэма, g 2 = 3 ↑ 3>10 ↑ 10.
• (10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → $10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\}\}$)) = $10\; \uparrow \; 10\; \uparrow \; 10\; 10\; 10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{\; 10\; \backslash \; uparrow\; ^\; \{10\; ^\; \{10\}\}\; 10\}\; 10\}$
• g3= (3 → 3 → г 2)>(10 → 10 → g 2 - 1)>(10 → 10 → 3 → 2)
• g4= (3 → 3 → g 3)>(10 → 10 → g 3 - 1)>(10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g9= (3 → 3 → g 8) находится между (10 → 10 → 9 → 2) и (10 → 10 → 10 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 2)
• g10= (3 → 3 → g 9) находится между (10 → 10 → 10 → 2) и (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g63= (3 → 3 → g 62) находится между (10 → 10 → 63 → 2) и (10 → 10 → 64 → 2)
• (10 → 10 → 64 → 2)
• по шкале Грэма. число, g 64
• (10 → 10 → 65 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 3)
• (10 → 10 → 10 → 4)
• (10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 →... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10) где есть (10 → 10 → 10) » 10 "s

Другие обозначения

Некоторые обозначения для очень больших чисел:

• нотация стрелки вверх Ключ / гипероператоры / функция Аккермана, включая тетрация
• нотация со стрелками Конвея
• нотация Штейнхауса-Мозера ; помимо метода построения больших чисел, здесь также используется графическая запись с помощью многоугольников. Альтернативные обозначения, такие как более традиционные обозначения функций, также могут использоваться с теми же функциями.

Эти обозначения по существу являются функциями целочисленных переменных, которые очень быстро увеличиваются с этими целыми числами. Все быстрее растущие функции можно легко построить рекурсивно, применяя эти функции с большими целыми числами в качестве аргумента.

Функция с вертикальной асимптотой бесполезна при определении очень большого числа, хотя функция растет очень быстро: нужно определить аргумент, очень близкий к асимптоте, т.е. использовать очень маленькое число, и построить что эквивалентно построению очень большого числа, например ответный.

Нижеследующее иллюстрирует влияние базы, отличной от 10, базы 100. Это также иллюстрирует представление чисел и арифметику.

$100\; 12\; =\; 10\; 24\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; ^\; \{12\}\; =\; 10\; ^\; \{24\}\}$, с основанием 10 показатель степени удваивается.

$100\; 100\; 12\; =\; 10\; 2\; *\; 10\; 24\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; ^\; \{100\; ^\; \{12\}\}\; =\; 10\; ^\; \{2\; *\; 10\; ^\; \{24\}\}\}$, то же самое.

$100\; 100\; 100\; 12\; \approx \; 10\; 10\; 2\; \ast \; 10\; 24\; +\; 0.30103\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; ^\; \{100\; ^\; \{100\; ^\; \{12\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{2\; *\; 10\; ^\; \{24\}\; +0.30103\}\; \}\}$, самый высокий показатель почти удвоен (увеличен на log 10 2).

• $100\; \uparrow \uparrow \; 2\; =\; 10\; 200\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 2\; =\; 10\; ^\; \{200\}\}$
• $100\; \uparrow \uparrow \; 3\; =\; 10\; 2\; \times \; 10\; 200\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3\; =\; 10\; ^\; \{2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{200\}\}\}$
• $100\; \uparrow \uparrow \; 4\; =\; (10\; \uparrow )\; 2\; (2\; \times \; 10\; 200\; +\; 0,3)\; =\; (10\; \uparrow )\; 2\; (2\; \times \; 10\; 200)\; =\; (10\; \uparrow )\; 3\; 200,3\; =\; (10\; \uparrow )\; 4\; 2,3\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 4\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; (2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{200\}\; +0,3)\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{2\}\; (2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{200\})\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{3\}\; 200.3\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{4\}\; 2.3\}$
• (таким образом, если n большое, кажется справедливым сказать, что $100\; \uparrow \uparrow \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\}$"приблизительно равно" $10\; \uparrow \uparrow \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\}$)
• $100\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 2\; =\; (10\; \uparrow )\; 98\; (2\; \times \; 10\; 200)\; =\; (10\; \uparrow )\; 100\; 2,3\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 2\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{98\}\; (2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{200\})\; =\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{\; 100\}\; 2.3\}$
• $100\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 3\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \; (10\; \uparrow )\; 98\; (2\; \times \; 10\; 200)\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \; (10\; \uparrow )\; 100\; 2.3\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; вверх\; 3\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{98\}\; (2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{200\})\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{100\}\; 2.3\}$
• (сравните ; таким образом, если n большое, кажется справедливым сказать, что $100\; \uparrow \uparrow \uparrow \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\}$"приблизительно равно" $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\}$)
• $100\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 2\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 98\; (10\; \uparrow )\; 100\; 2.3\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 2\; =\; (\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{98\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{100\}\; 2.3\}$(сравните $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 2\; =\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 8\; (10\; \uparrow )\; 10\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 2\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{8\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{10\}\; 1\}$)
• $100\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 3\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \; \uparrow \; (10\; \uparrow \uparrow )\; 98\; (10\; \uparrow )\; 100\; 2.3\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{98\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{100\}\; 2.3\}$(сравните $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; 3\; =\; 10\; \uparrow \uparrow \uparrow \; (10\; \uparrow \uparrow )\; 8\; (10\; \uparrow )\; 10\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 3\; =\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{8\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{10\}\; 1\}$)
• $100\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; n\; =\; (10\; \uparrow \; \uparrow \uparrow )\; n\; -\; 2\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 98\; (10\; \uparrow )\; 100\; 2,3\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n-2\}\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{98\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{100\}\; 2.3\; \}$(сравните $10\; \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \; n\; =\; (10\; \uparrow \uparrow \uparrow )\; n\; -\; 2\; (10\; \uparrow \uparrow )\; 8\; (10\; \uparrow )\; 10\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; n\; =\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{n-2\}\; (10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{8\}\; (10\; \backslash \; uparrow)\; ^\; \{10\}\; 1\}$; если n большое, это "приблизительно" равно)

Для числа $10\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{n\}\}$, изменение n на одну единицу изменяет результат в 10 раз. В том числе, как $10\; 6,2\; \times \; 10\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash !\; 6.2\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{3\}\}\}$, где 6.2 - результат правильного округления с использованием значащих цифр res, истинное значение показателя может быть на 50 меньше или на 50 больше. Следовательно, результат может быть множителем $10\; 50\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{50\}\}$слишком большим или слишком маленьким. Это очень низкая точность, но для такого большого числа это можно считать справедливым (ошибка при большом количестве может быть «относительно маленькой» и, следовательно, приемлемой).

Для очень больших чисел

В случае аппроксимации очень большого числа, относительная ошибка может быть большой, но все же может быть смысл, в котором мы хотим считать «близкими цифрами. по величине ». Например, рассмотрим

$10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\}\}$и $10\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{9\}\}$

Относительная ошибка:

$1.\; -\; 10\; 9\; 10\; 10\; =\; 1\; -\; 1\; 10\; =\; 90\%\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{9\}\}\; \{10\; ^\; \{10\}\}\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{10\}\}\; =\; 90\; \backslash \%\}$

большая относительная ошибка. Однако мы можем учитывать относительную ошибку в логарифмах ; в данном случае логарифмы (с основанием 10) равны 10 и 9, поэтому относительная ошибка логарифмов составляет всего 10%.

Дело в том, что экспоненциальные функции значительно увеличивают относительные ошибки - если a и b имеют небольшую относительную ошибку,

$10\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{a\}\}$и $10\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{b\}\}$

относительная ошибка больше, и

$10\; 10\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{a\}\}\}$и $10\; 10\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{b\}\}\}$

будет иметь еще большую относительную ошибку. Тогда возникает вопрос: на каком уровне повторных логарифмов мы хотим сравнивать два числа? В некотором смысле мы можем рассмотреть

$10\; 10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\}\}\}$и $10\; 10\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{9\}\}\; \}$

, чтобы быть "близкими по величине". Относительная ошибка между этими двумя числами велика, а относительная ошибка между их логарифмами все еще велика; однако относительная ошибка в их логарифмах, повторяемых второй итерацией, невелика:

$log\; 10\; \; (log\; 10\; \; (10\; 10\; 10))\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (\backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (10\; ^\; \{10\; ^\; \{10\}\}))\; =\; 10\}$и $журнал\; 10\; \; (журнал\; 10\; \; (10\; 10\; 9))\; =\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (\backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (10\; ^\; \{10\; ^\; \{9\}\}))\; =\; 9\}$

Такие сравнения повторных логарифмов обычные, например, в аналитической теории теории теории чисел.

Приближенная арифметика

Существуют некоторые общие правила, касающиеся обычных арифметических операций, выполняемых с очень большими числами:

• Сумма и произведение двух очень больших чисел «приблизительно» равны большему.
• $(10\; a)\; 10\; b\; Знак\; равно\; 10\; a\; 10\; b\; =\; 10\; 10\; b\; +\; журнал\; 10\; \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; (10\; ^\; \{a\})\; ^\; \{\backslash ,\; \backslash !\; 10\; ^\; \{b\}\}\; =\; 10\; ^\; \{a10\; ^\; \{b\}\}\; =\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{b\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; a\}\}\}$

Следовательно:

• Очень большое число в очень большой степени "приблизительно" равно большему из двух значений: первое значение и 10 в степени второй. Например, для очень большого n мы имеем $nn\; \approx \; 10\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{n\}\; \backslash \; приблизительно\; 10\; ^\; \{n\}\}$(см., Например, вычисление мега ), а также $2\; n\; \approx \; 10\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\}\; \backslash \; приблизительно\; 10\; ^\; \{n\}\}$. Таким образом, $2\; \uparrow \uparrow \; 65536\; \approx \; 10\; \uparrow \uparrow \; 65533\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 65536\; \backslash \; примерно\; 10\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; 65533\}$, см. таблицу.

Учитывая строго возрастающую целочисленную последовательность / функцию $f\; 0\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; (n)\}$(n≥1), мы можем производить быстрорастущую последовательность $f\; 1\; (n)\; =\; f\; 0\; n\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (n)\; =\; f\_\; \{0\}\; ^\; \{n\}\; (n)\}$(где верхний индекс n обозначает функциональную мощность n ). Это можно повторить любое количество раз, положив $fk\; (n)\; =\; fk\; -\; 1\; n\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{k\}\; (n)\; =\; f\_\; \{k-1\}\; ^\; \{n\}\; (n)\}$, каждая последовательность растет намного быстрее, чем предыдущая. Тогда мы бы смогли определить $f\; \omega \; (n)\; =\; fn\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; (n)\; =\; f\_\; \{n\}\; (n)\}$, который растет намного быстрее, чем любой $fk\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{k\}\}$для конечного k (здесь ω - первое бесконечное порядковое число, представляющее предел всех конечных чисел k). Это основа для быстрорастущая иерархия функций, в которой индекс индексции расширяется на все более крупные порядковые номера.

Например, начиная с f 0 (n) = n + 1:

• f1(n) = f 0 (n) = n + n = 2n
• f2(n) = f 1 (n) = 2n>(2 ↑) n для n ≥ 2 (с использованием обозначения стрелки Ключена вверх )
• f3(n) = f 2 (n)>(2 ↑) n ≥ 2 ↑ n для n ≥ 2
• fk + 1 (n)>2 ↑ n для n ≥ 2, k < ω
• fω(n) = f n (n)>2 ↑ n>2 ↑ (n + 3) - 3 = A (n, n) для n ≥ 2, где A - функция Аккермана ( из которых f ω - унарная версия)
• fω + 1 (64)>f ω (6)>Число Грэма (= g 64 в соответствии, указанная как g 0 = 4, g k + 1 = 3 ↑ 3)
  • Далее следует указанная f ω (n)>2 ↑ n>3 ↑ 3 + 2, и, следовательно, f ω(gk+ 2)>g k + 1 + 2
• fω(n)>2 ↑ n = (2 → n → n-1) = (2 → n → n-1 → 1) (с использованием ения обозначенной стрелки Конвея )
• fω + 1 (n) = f ω (n)>(2 → n → n-1 → 2) (потому что если g k (n) = X → n → k, то X → n → k + 1 = g k (1))
• fω + k (n)>(2 → n → n-1 → k + 1)>(n → n → k)
• fω2(n) = f ω + n (n)>(n → n → n) = (n → n → n → 1)
• fω2 + k (n)>(n → n → n → k)
• fω3(n)>(n → n → n → n)
• fωk(n)>(n → n →... → n → n) (цепочка k + 1 n)
• fω(n) = f ωn (n)>(п → п →... → n → n) (Цепочка из n + 1 n)

Функция Σ занятый бобр является примером функции, которая растет быстрее любой вычислимая функция. Его ценность даже при относительно небольшом вводе огромна. Значения Σ (n) для n = 1, 2, 3, 4 равны 1, 4, 6, 13 (последовательность A028444 в OEIS ). Σ (5) неизвестно, но определенно ≥ 4098. Σ (6) не менее 3,5 × 10.

Хотя все числа, описанные выше, очень большие, все они однозначно конечные. Некоторые области математики определяют бесконечные и трансфинитные числа. Например, aleph-null - это мощность из бесконечного набора из натуральных чисел и aleph-one - следующее по величине кардинальное число. $c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{c\}\}\}$- мощность действительного числа. Утверждение, что $c\; =\; \aleph \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{c\}\}\; =\; \backslash \; aleph\; \_\; \{1\}\}$, как известно гипотеза континуума.

Большое количество людей занимало центральное место в «мышлении, основанном на статистике», которое стало «повсеместным в современном обществе ». Начиная с 17 века теории вероятностей, статистика развивалась и стала неотъемлемой частью правительственных знаний и власти. Существует сложная «взаимность между современными правительствами и математическими артефактами, которые диктуют обязанности государства и измеряют его успехи». Эти инструменты включают экономику, математическую статистику, медицинскую статистику, вероятность, психологию, социологию и опросы. Это привело к применению эконометрики в наше время.

Иллинойс Сенатор Эверетт Дирксен, как известно, сказал: «Здесь миллиард, миллиард вот, довольно скоро, вы говорите о настоящих деньгах». нет, считается, что он сделал это во время появления на «Вечернее шоу» с Джонни Карсоном в главной роли. (См. викицитаты Эверетта Дирксена.)

• Арифметика произвольной точности
• Список арифметических произвольной точности
• Гипотеза больших чисел Дирака
• Экспоненциальная рост
• Быстрорастущая иерархия функций
• Googol
• Googolplex
• Число Грэма
• История больших чисел
• Человеческий масштаб
• Наибольшее число
• Закон больших чисел
• Мириады (10 000) в Восточной Азии
• Имена больших чисел
• Сила двойки
• Сила 10
• Тетрация