Модель Ландау – Лифшица

В физике твердого тела, уравнение Ландау – Лифшица (LLE ), названное в честь Лев Ландау и Евгений Лифшиц, это уравнение в частных производных, описывающее временную эволюцию магнетизма в твердых телах, в зависимости от 1 временной переменной и 1, 2, или 3 пространственных переменных.

• 1 Уравнение Ландау – Лифшица
• 2 Интегрируемые редукции
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

LLE описывает анизотропную магнит. Уравнение описано в (Фаддеев и Тахтаджан 2007, глава 8) следующим образом: Это уравнение для векторного поля S, другими словами, функция на R принимая значения в R . Уравнение зависит от фиксированной симметричной матрицы 3 на 3 J, которая обычно считается диагональной ; то есть $J\; =\; диаг\; \; (J\; 1,\; J\; 2,\; J\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; (J\_\; \{1\},\; J\_\; \{2\},\; J\_\; \{3\})\}$. Он задается уравнением движения Гамильтона для гамильтониана

$H\; =\; 1\; 2\; \int \; [\sum \; i\; (\partial \; S\; \partial \; xi)\; 2\; -\; J\; (S)]\; dx\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; J\; (\backslash \; mathbf\; \{S\})\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; qquad\; (1)\}$

(где J (S ) - квадратичная форма J, примененная к вектору S ), который равен

$\partial \; S\; \partial \; t\; =\; S\; \wedge \; \sum \; i\; \partial \; 2\; S\; \partial \; xi\; 2\; +\; S\; \wedge \; JS.\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; wedge\; J\; \backslash \; mathbf\; \{S\}.\; \backslash \; Qquad\; (2)\}$

В измерениях 1 + 1 это уравнение имеет вид

$\partial \; S\; \partial \; t\; знак\; равно\; S\; \wedge \; \partial \; 2\; S\; \partial \; x\; 2\; +\; S\; JS.\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; частичное\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; wedge\; J\; \backslash \; mathbf\; \{S\}.\; \backslash \; qquad\; (3)\}$

В 2 + 1 измерениях это уравнение принимает вид

$\partial \; S\; \partial \; t\; =\; S\; \wedge \; (\partial \; 2\; S\; \partial \; Икс\; 2\; +\; \partial \; 2\; S\; \partial \; Y\; 2)\; +\; S\; \wedge \; JS\; (4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{S\; \}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; wedge\; J\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; qquad\; (4)\}$

который является (2 + 1) -мерным LLE. Для (3 + 1) -мерного случая LLE имеет вид

$\partial \; S\; \partial \; t\; =\; S\; \wedge \; (\partial \; 2\; S\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; S\; \partial \; y\; 2\; +\; \partial \; 2\; S\; \partial \; z\; 2)\; +\; S\; \wedge \; J\; S.\; (5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\})\; \}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; wedge\; J\; \backslash \; mathbf\; \{S\}.\; \backslash \; qquad\; (5)\}$

В общем случае LLE (2) не интегрируется. Но он допускает две интегрируемые редукции:

а) в размерности 1 + 1, т.е. (3), он интегрируется

б) когда $J\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; 0\}$. В этом случае (1 + 1) -мерная LLE (3) превращается в (см., Например, модель Гейзенберга (классическая) ), которая уже интегрируема.

• Нелинейное уравнение Шредингера
• Модель Гейзенберга (классическая)
• Спиновая волна
• Микромагнетизм
• Уравнение Ишимори
• Магнит
• Ферромагнетизм

• Faddeev, Ludwig D.; Тахтаджан, Леон А. (2007), Гамильтоновы методы в теории солитонов, Classics in Mathematics, Berlin: Springer, pp. X + 592, doi : 10.1007 / 978-3-540- 69969-9, ISBN 978-3-540-69843-2, MR 2348643
• Гуо, Болинг; Дин, Шицзинь (2008), Уравнения Ландау-Лифшица, Границы исследований Китайской академии наук, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
• Косевич AM, Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагничивания. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка, 1988. - 192 с.