Фонон

редактировать

Квазичастица механических колебаний

В физике фонон коллективное возбуждение в периодическом упругом расположении атомов или молекул в конденсированных средах, в частности в твердые вещества и некоторые жидкости. Часто обозначаемый квазичастицей, это возбужденное состояние в квантовомеханическом квантовании из мод колебаний для упругих структур взаимодействующих частиц. Фононы можно рассматривать как квантованные звуковые волны, аналогичные фотонам как квантованные световые волны.

Изучение фононов является важной частью физики конденсированного состояния. Они играют важную роль во многих физических свойствах систем конденсированных сред, таких как теплопроводность и электрическая проводимость, а также играют фундаментальную роль в моделях нейтронов. рассеяние и связанные с ним эффекты.

Понятие фононов было введено в 1932 году советским физиком Игорем Таммом. Название фонон происходит от греческого слова φωνή (phonē), которое переводится как звук или голос, потому что длинноволновые фононы порождают звук. Название аналогично слову фотон.

Содержание

1 Определение
2 Динамика решетки
- 2.1 Волны решетки
- 2.2 Одномерная решетка
  - 2.2.1 Классическая обработка
  - 2.2.2 Квантовая обработка
- 2.3 Трехмерная решетка
- 2.4 Дисперсионное соотношение
- 2.5 Интерпретация фононов с использованием методов второго квантования
3 Акустические и оптические фононы
4 Импульс кристалла
5 Термодинамика
- 5.1 Фононное туннелирование
6 Формализм оператора
7 Нелинейность
8 Прогнозируемые свойства
9 См. Также
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Определение

Фонон - это квантово-механическое описание элементарного колебательного движения, в котором решетка атомов или молекул равномерно колеблется с одной частотой. В классической механике это обозначает нормальный режим вибрации. Нормальные режимы важны, потому что любую произвольную вибрацию решетки можно рассматривать как суперпозицию этих элементарных режимов колебаний (см. анализ Фурье ). В то время как нормальные моды являются волнообразным явлением в классической механике, фононы обладают также частицоподобными свойствами, что связано с дуальностью волна-частица квантовой механика.

Динамика решетки

Уравнения в этом разделе не используют аксиомы квантовой механики, а вместо этого используют отношения, для которых существует прямое соответствие в классическая механика.

Например: жесткая правильная, кристаллическая (не аморфная ) решетка состоит из N частиц. Эти частицы могут быть атомами или молекулами. N - большое число, скажем, порядка 10 или порядка числа Авогадро для типичного образца твердого тела. Поскольку решетка жесткая, атомы должны оказывать силы друг на друга, чтобы удерживать каждый атом около своего положения равновесия. Эти силы могут быть силами Ван-дер-Ваальса, ковалентными связями, электростатическим притяжением и другими, все из которых в конечном итоге связаны с электрическими сила. Магнитные и гравитационные силы, как правило, незначительны. Силы между каждой парой атомов могут быть охарактеризованы функцией V потенциальной энергии, которая зависит от расстояния разделения атомов. Потенциальная энергия всей решетки - это сумма всех попарных потенциальных энергий, умноженная на коэффициент 1/2 для компенсации двойного счета:

1 2 ∑ я ≠ j V (ri - rj) {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i \ neq j} V \ left (r_ {i} -r_ {j} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i \ neq j} V \ left (r_ {i} -r_ {j} \ right)}

, где r i - это положение i-го атома, а V - потенциальная энергия между двумя атомами.

Эту задачу многих тел трудно решить явно ни в классической, ни в квантовой механике. Чтобы упростить задачу, обычно вводят два важных приближения. Во-первых, суммирование выполняется только по соседним атомам. Хотя электрические силы в реальных твердых телах простираются до бесконечности, это приближение все еще остается в силе, потому что поля, создаваемые удаленными атомами, эффективно экранируются. Во-вторых, потенциалы V рассматриваются как гармонические потенциалы. Это допустимо, пока атомы остаются близкими к своему положению равновесия. Формально это достигается посредством Тейлора, расширяющего V около его равновесного значения до квадратичного порядка, давая V, пропорциональное смещению x, и силу упругости, просто пропорциональную x. Ошибка игнорирования членов более высокого порядка остается небольшой, если x остается близким к положению равновесия.

Получившуюся решетку можно представить как систему шариков, соединенных пружинами. На следующем рисунке показана кубическая решетка, которая является хорошей моделью для многих типов кристаллических твердых тел. Другие решетки включают линейную цепочку, которая представляет собой очень простую решетку, которую мы вскоре будем использовать для моделирования фононов. (Для других общих решеток см. кристаллическая структура.)

Потенциальная энергия решетки теперь может быть записана как

∑ {ij} (nn) 1 2 m ω 2 (R i - R j) 2. {\ displaystyle \ sum _ {\ {ij \} (\ mathrm {nn})} {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ left (R_ {i} -R_ {j} \ справа) ^ {2}.}

{\ displaystyle \ sum _ {\ {ij \} (\ mathrm {nn})} {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ left (R_ {i } -R_ {j} \ right) ^ {2}.}

Здесь ω - собственная частота гармонических потенциалов, которые считаются одинаковыми, поскольку решетка является регулярной. R i - координата положения i-го атома, которую мы теперь измеряем от его положения равновесия. Сумма по ближайшим соседям обозначается (nn).

Волны решетки

Фонон, распространяющийся через квадратную решетку (смещения атомов сильно преувеличены)

Из-за связей между атомами смещение одного или нескольких атомов из их положений равновесия приводит к возникновению набора колебания волны, распространяющиеся через решетку. Одна такая волна показана на рисунке справа. Амплитуда волны определяется смещениями атомов из их положений равновесия. Отмечена длина волны λ.

Существует минимально возможная длина волны, равная удвоенному равновесному расстоянию a между атомами. Любая длина волны короче, чем эта, может быть отображена на длину волны, превышающую 2a, из-за периодичности решетки. Это можно рассматривать как одно из следствий теоремы выборки Найквиста – Шеннона, точки решетки рассматриваются как «точки выборки» непрерывной волны.

Не все возможные колебания решетки имеют четко определенные длину волны и частоту. Однако нормальные моды действительно обладают четко определенными длинами волн и частотами.

Одномерная решетка

Анимация, показывающая первые 6 нормальных мод одномерной решетки: линейная цепочка частицы. Самая короткая длина волны находится вверху, а все более длинные волны - внизу. В нижних линиях можно увидеть движение волн вправо.

Чтобы упростить анализ, необходимый для трехмерной решетки атомов, удобно смоделировать одномерную решетку или линейную цепочку. Эта модель достаточно сложна, чтобы отображать основные особенности фононов.

Классический подход

Предполагается, что силы между атомами линейны и являются ближайшими соседями, и они представлены упругой пружиной. Предполагается, что каждый атом является точечной частицей, а ядро и электроны движутся пошагово (адиабатическая теорема ):

n - 1 nn + 1 ← a →

··· o +++ +++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++ ++ o ++++++ o ···

→ → → →→

un - 1 unun + 1

где n обозначает n-й атом из общего числа N, a - расстояние между атомами, когда цепь находится в равновесии, а u n - смещение n-го атома из его положения равновесия.

Если C - упругая постоянная пружины, а m - масса атома, то уравнение движения n-го атома будет

- 2 C un + C (un + 1 + un - 1) = md 2 и 2. {\ displaystyle -2Cu_ {n} + C \ left (u_ {n + 1} + u_ {n-1} \ right) = m {\ frac {d ^ {2} u_ {n}} {dt ^ {2 }}}.}

{\ displaystyle - 2Cu_ {n} + C \ left (u_ {n + 1} + u_ {n-1} \ right) = m {\ frac {d ^ {2} u_ {n}} {dt ^ {2}}}. }

Это набор связанных уравнений.

Поскольку ожидается, что решения будут колебательными, новые координаты определяются с помощью дискретного преобразования Фурье, чтобы разделить их.

Положите

un = ∑ N ak / 2 π = 1 NQ keikna. {\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {Nak / 2 \ pi = 1} ^ {N} Q_ {k} e ^ {ikna}.}

{\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {Nak / 2 \ pi = 1} ^ {N} Q_ {k} e ^ {ikna}. }

Здесь na соответствует и переходит в непрерывную переменную x скалярная теория поля. Q k известны как нормальные координаты, моды континуального поля φ k.

Подстановка в уравнение движения дает следующие несвязанные уравнения (это требует значительных манипуляций с использованием соотношений ортонормированности и полноты дискретного Фурье преобразование,

2 C (соз ⁡ ка - 1) Q k = md 2 Q kdt 2. {\ displaystyle 2C (\ cos {ka-1}) Q_ {k} = m {\ frac {d ^ {2 } Q_ {k}} {dt ^ {2}}}.}

{\ displaystyle 2C (\ cos {ka -1}) Q_ {k} = m {\ frac {d ^ {2} Q_ {k}} {dt ^ {2}}}.}

Это уравнения для развязанных гармонических осцилляторов, которые имеют решение: $Q k = A kei ω kt; ω k Знак равно 2 С м (1 - соз ⁡ ка). {\ Displaystyle Q_ {k} = A_ {k} e ^ {i \ omega _ {k} t}; \ qquad \ omega _ {k} = {\ sqrt { {\ frac {2C} {m}} (1- \ cos {ka})}}.}$ ${\ displaystyle Q_ {k} = A_ {k} e ^ {i \ omega _ {k} t}; \ qquad \ omega _ {k} = {\ sqrt {{\ frac {2C} {m}} (1- \ cos {ka})}}.}$

Каждая нормальная координата Q k представляет собой независимую колебательную моду решетки с волновым числом k, которая известна как нормальная мода.

Второе уравнение для ω k известно как дисперсионное соотношение между угловой частотой и волновое число.

в континуальном пределе, a → 0, N → ∞, при фиксированном Na, u n → φ (x), скалярное поле и $ω (k) ∝ ka {\ displaystyle \ omega (k) \ propto ka}$ ${\ displaystyle \ omega (k) \ propto ka}$ . Это составляет классическую бесплатную скалярную теорию поля, набор независимых осцилляторов.

Квантовая обработка

Одномерная квантово-механическая гармоническая цепочка состоит из N одинаковых атомов. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, которая позволяет фононам возникать из нее. Формализм этой модели легко обобщается для двух и трех измерений.

В некотором отличие от предыдущего раздела, положения масс обозначены не u i, а вместо этого x 1, x 2 …, как измерено из их положений равновесия (т.е. x i = 0, если частица i находится в своем положении равновесия). В двух или более измерениях x i равны векторные величины. Гамильтониан для этой системы равен

H = ∑ i = 1 N pi 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ {ij} (nn) (xi - xj) 2 {\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ sum _ {\ {ij \} (\ mathrm {nn})} \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i = 1 } ^ {N} {\ frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ sum _ {\ {ij \} ( \ mathrm {nn})} \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) ^ {2}}

где m - масса каждого атом (при условии, что он одинаков для всех), а x i и p i - операторы позиции и импульса соответственно для i-го атома и суммы производится по ближайшим соседям (nn). Однако можно ожидать, что в решетке также могут появиться волны, которые ведут себя как частицы. Принято иметь дело с волнами в пространстве Фурье, которое использует нормальные моды из волнового вектора в качестве переменных вместо координат частиц. Количество нормальных мод такое же, как и количество частиц. Однако пространство Фурье очень полезно, учитывая периодичность системы.

Может быть введен набор из N «нормальных координат» Q k, определенных как дискретных преобразований Фурье x k и N «сопряженные импульсы» Π k, определяемые как преобразования Фурье для p k:

Q k = 1 N leikalxl Π k = 1 N ∑ le - ikalpl. {\ displaystyle {\ begin {align} Q_ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {ikal} x_ {l} \\\ Pi _ { k} = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {- ikal} p_ {l}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} Q_ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {ikal} x_ {l} \\\ Pi _ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {- ikal} p_ {l}. \ end {align}}}

Величина k n оказывается волновым числом фонона, т.е. 2π, деленным на длину волны.

. Этот выбор сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов

[xl, pm] = i ℏ δ l, m [Q k, Π k ′] = 1 N ∑ l, meikale - ik ′ am [xl, pm] = i ℏ N ∑ leial (k - k ′) = i ℏ δ К, k ′ [Q K, Q k ′] = [Π K, Π K ′] = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ left [x_ {l}, p_ {m} \ right] = i \ hbar \ delta _ {l, m} \\\ left [Q_ {k}, \ Pi _ {k '} \ right] = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {l, m} e ^ {ikal} e ^ {- ik'am} \ left [x_ {l}, p_ {m} \ right] \\ = {\ frac {i \ hbar} {N}} \ sum _ { l} e ^ {ial \ left (k-k '\ right)} = i \ hbar \ delta _ {k, k'} \\\ left [Q_ {k}, Q_ {k '} \ right] = \ left [\ Pi _ {k}, \ Pi _ {k '} \ right] = 0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}

Из общего результата

∑ lxlxl + m = 1 N ∑ kk ′ Q k Q k ′ ∑ leial (k + k ′) ei amk ′ знак равно ∑ К Q К Q - keiamk ∑ lpl 2 = ∑ К Π К Π - к {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {l} x_ {l} x_ {l + m} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {kk '} Q_ {k} Q_ {k'} \ sum _ {l} e ^ {ial \ left (k + k '\ right)} e ^ {iamk' } = \ sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} e ^ {iamk} \\\ sum _ {l} {p_ {l}} ^ {2} = \ sum _ {k} \ Pi _ {k} \ Pi _ {- k} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}

Член потенциальной энергии равен

1 2 m ω 2 ∑ j (xj - xj + 1) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ К Q К Q - К (2 - Эйка - е - Ика) = 1 2 ∑ км ω К 2 Q К Q - К {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} м \ omega ^ {2} \ сумма _ {j} \ left (x_ {j} -x_ {j + 1} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} (2-e ^ {ika} -e ^ {- ika}) = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {k} m {\ omega _ {k} } ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k}}

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ sum _ {j} \ left (x_ {j} -x_ {j + 1} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} \ sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} (2-e ^ {ika} -e ^ {- ika}) = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {k} m {\ omega _ {k}} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k}}

где

ω k = 2 ω 2 (1 - cos ⁡ ka) = 2 ω | sin ⁡ k a 2 | {\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ sqrt {2 \ omega ^ {2} \ left (1- \ cos {ka} \ right)}} = 2 \ omega \ left | \ sin {\ frac {ka } {2}} \ right |}

{\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ sqrt {2 \ omega ^ {2} \ left (1- \ cos {ka} \ right)} } = 2 \ omega \ left | \ sin {\ frac {ka} {2}} \ right |}

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

H = 1 2 m ∑ k (Π k Π - k + m 2 ω k 2 Q k Q - k) { \ Displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ sum _ {k} \ left (\ Pi _ {k} \ Pi _ {- k} + m ^ {2} \ omega _ {k} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m} } \ sum _ {k} \ left (\ Pi _ {k} \ Pi _ {- k} + m ^ {2} \ omega _ {k} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} \ right)}

Связи между переменными позиции были изменены; если бы Q и Π были эрмитовскими (а это не так), преобразованный гамильтониан описал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты накладываются периодические граничные условия, определяющие (N + 1) -й атом как эквивалент первого атома. Физически это соответствует соединению цепочки на концах. Результирующее квантование:

k = k n = 2 π n N a для n = 0, ± 1, ± 2,… ± N 2. {\ displaystyle k = k_ {n} = {\ frac {2 \ pi n} {Na}} \ quad {\ t_dv {for}} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ pm {\ frac {N} {2}}. \}

{\ displaystyle k = k_ {n} = {\ frac {2 \ pi n} {Na}} \ quad {\ t_dv {for}} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ pm {\ frac {N} {2}}. \}

Верхняя граница для n определяется минимальной длиной волны, которая в два раза больше шага решетки a, как обсуждалось выше.

Собственные значения или уровни энергии гармонического осциллятора для моды ω k :

E n = (1 2 + n) ℏ ω kn = 0, 1, 2, 3… {\ displaystyle E_ {n} = \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) \ hbar \ omega _ {k} \ qquad n = 0,1,2,3 \ ldots}

{\ displaystyle E_ {n} = \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) \ hbar \ omega _ {k} \ qquad n = 0,1, 2,3 \ ldots}

Уровни равномерно расположены в следующем порядке:

1 2 ℏ ω, 3 2 ℏ ω, 5 2 ℏ ω ⋯ {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega, \ {\ tfrac {3 } {2}} \ hbar \ omega, \ {\ tfrac {5} {2}} \ hbar \ omega \ \ cdots}

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega, \ {\ tfrac {3} {2}} \ hbar \ omega, \ {\ tfrac {5} {2 }} \ hbar \ omega \ \ cdots}

, где 1 / 2ħω - энергия нулевой точки квантовый гармонический осциллятор.

точное количество энергии ħω должно быть подано в решетку гармонического осциллятора, чтобы подтолкнуть его к следующему энергетическому уровню. По сравнению со случаем фотона, когда электромагнитное поле квантовано, квант колебательной энергии называется фононом.

Все квантовые системы одновременно проявляют волнообразные и корпускулярные свойства. Частично-подобные свойства фонона лучше всего понять с помощью методов второго квантования и операторных техник, описанных ниже.

Трехмерная решетка

Это можно обобщить на трехмерная решетка. Волновое число k заменяется трехмерным волновым вектором k. Кроме того, каждый k теперь связан с тремя нормальными координатами.

Новые индексы s = 1, 2, 3 обозначают поляризацию фононов. В одномерной модели движение атомов ограничивалось движением вдоль линии, поэтому фононы соответствовали продольным волнам. В трех измерениях вибрация не ограничивается направлением распространения и также может возникать в перпендикулярных плоскостях, как поперечные волны. Это приводит к появлению дополнительных нормальных координат, которые, как показывает форма гамильтониана, мы можем рассматривать как независимые разновидности фононов.

Дисперсионное соотношение

Дисперсионные кривые в линейной двухатомной цепочке

Оптические и акустические колебания в линейной двухатомной цепочке.

Дисперсионное соотношение ω = ω (k ) для некоторых волн соответствующие колебаниям решетки в GaAs.

Для одномерного переменного массива двух типов ионов или атомов с массой m 1, m 2 периодически повторяющихся на расстоянии a, соединенные пружинами жесткости пружины K, возникают два режима вибрации:

ω ± 2 = K (1 м 1 + 1 м 2) ± K (1 м 1 + 1 м 2) 2-4 sin 2 ⁡ ka 2 м 1 м 2, {\ displaystyle \ omega _ {\ pm} ^ {2} = K \ left ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}) } \ right) \ pm K {\ sqrt {\ left ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) ^ {2} - { \ frac {4 \ sin ^ {2} {\ frac {ka} {2}}} {m_ {1} m_ {2}}}}},}

{\ displaystyle \ omega _ {\ pm} ^ {2} = K \ left ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) \ pm K {\ sqrt {\ left ({\ frac {1 } {m_ {1}}} + {\ frac {1 } {m_ {2}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {4 \ sin ^ {2} {\ frac {ka} {2}}} {m_ {1} m_ {2}}}} },}

где k - волновой вектор вибрации, связанной с ее длина волны на $k = 2 π λ {\ displaystyle k = {\ tfrac {2 \ pi} {\ lambda}}}$ ${ \ Displaystyle к = {\ tfrac {2 \ pi} {\ lambda}}}$ .

Связь между частотой и волновым вектором, ω = ω (k), известна как дисперсионное соотношение. Знак плюс означает так называемый оптический режим, а знак минус - акустический режим. В оптическом режиме два соседних разных атома движутся друг против друга, а в акустическом - вместе.

Скорость распространения акустического фонона, которая также является скоростью звука в решетке, определяется наклоном уравнения акустической дисперсии, ∂ω k / ∂k (см. групповая скорость.) При низких значениях k (т. Е. Длинных волнах) дисперсионное соотношение почти линейно, а скорость звука приблизительно равна ωa, независимо от частоты фонона. В результате пакеты фононов с разными (но длинными) длинами волн могут распространяться на большие расстояния по решетке, не распадаясь на части. Это причина того, что звук распространяется через твердые тела без значительных искажений. Такое поведение не работает при больших значениях k, то есть на коротких длинах волн, из-за микроскопических деталей решетки.

Для кристалла, который имеет как минимум два атома в его примитивной ячейке, дисперсионные соотношения демонстрируют два типа фононов, а именно, оптические и акустические моды, соответствующие верхней синей и нижней красной кривой. на диаграмме соответственно. По вертикальной оси отложена энергия или частота фонона, а по горизонтальной оси - волновой вектор . Границы в −π / a и π / a являются границами первой зоны Бриллюэна. Кристалл с N ≥ 2 различными атомами в примитивной ячейке демонстрирует три акустические моды: одну продольную акустическую моду и две поперечные акустические моды. Число оптических мод составляет 3N - 3. На нижнем рисунке показаны дисперсионные соотношения для нескольких фононных мод в GaAs в зависимости от волнового вектора k в основных направлениях <336.>своей зоны Бриллюэна.

Многие кривые дисперсии фононов были измерены с помощью неупругого рассеяния нейтронов.

Физика звука в жидкостях отличается от физики звука в твердых телах, хотя оба являются волнами плотности: звуковые волны в жидкостях имеют только продольные компоненты, тогда как звуковые волны в твердых телах имеют продольные и поперечные компоненты. Это связано с тем, что жидкости не могут выдерживать напряжения сдвига (но см. вязкоупругие жидкости, которые применимы только к высоким частотам).

Интерпретация фононов с использованием методов второго квантования

Выведенный выше гамильтониан может выглядеть как классическая гамильтонова функция, но если его интерпретировать как оператор, то он описывает квантовая теория поля невзаимодействующих бозонов. Метод второго квантования, аналогичный методу оператора лестницы, используемому для квантовых гармонических осцилляторов, является средством извлечения энергии собственных значений без прямого решение дифференциальных уравнений. Учитывая гамильтониан, $H {\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ , а также сопряженную позицию, $Q k {\ displaystyle Q_ {k}}$ $Q_ {k}$ и сопряженный импульс $Π k {\ displaystyle \ Pi _ {k}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {k} }$ , определенных в разделе квантовой обработки выше, мы можем определить операторы создания и уничтожения :

bk = м ω К 2 ℏ (Q К + им ω К Π - К) {\ displaystyle b_ {k} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega _ {k}} {2 \ hbar}}} \ left (Q_ {k} + {\ frac {i} {m \ omega _ {k}}} \ Pi _ {- k} \ right)}

{\ displaystyle b_ {k} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega _ {k}} {2 \ hbar}}} \ left (Q_ {k} + {\ frac {i} {m \ omega _ {k}}} \ Pi _ {- k} \ right)}

bk † = m ω k 2 ℏ ( Q - К - им ω К Π К) {\ displaystyle {b_ {k}} ^ {\ dagger} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega _ {k}} {2 \ hbar}}} \ left ( Q _ {- k} - {\ frac {i} {m \ omega _ {k}}} \ Pi _ {k} \ right)}

{\ displaystyle {b_ {k}} ^ {\ dagger} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega _ {k}} {2 \ hbar}}} \ left (Q _ {- k} - {\ frac {i} {m \ omega _ {k}}} \ Pi _ {k} \ right)}

Следующие коммутаторы легко получить, подставив в канонический соотношение коммутации :

[bk, bk ′ †] = δ k, k ′, [bk, bk ′] = [bk †, bk ′ †] = 0 {\ displaystyle \ left [b_ {k}, {b_ { k '}} ^ {\ dagger} \ right] = \ delta _ {k, k'}, \ quad {\ Big [} b_ {k}, b_ {k '} {\ Big]} = \ left [{ b_ {k}} ^ {\ dagger}, {b_ {k '}} ^ {\ d agger} \ right] = 0}

\left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0

Используя это, операторы b k и b k могут быть инвертированы, чтобы переопределить сопряженные положение и импульс как:

Q k знак равно ℏ 2 м ω К (bk † + b - k) {\ displaystyle Q_ {k} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega _ {k}}}} \ left ({b_ {k }} ^ {\ dagger} + b _ {- k} \ right)}

{\ displaystyle Q_ {k} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega _ {k}}}} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} + b _ {- k} \ right)}

Π k = i ℏ m ω k 2 (bk † - b - k) {\ displaystyle \ Pi _ {k} = i {\ sqrt {\ frac {\ hbar m \ omega _ {k}} {2}}} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} -b _ {- k} \ right) }

{\ displaystyle \ Pi _ {k} = i {\ sqrt {\ frac {\ hbar m \ omega _ {k}} {2}}} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} -b _ {- k} \ right)}

Прямая замена этих определений для $Q k {\ displaystyle Q_ {k}}$ $Q_ {k}$ и $Π k {\ displaystyle \ Pi _ {k}}$ $\ Pi _ {k}$ в гамильтониан пространства волновых векторов, как он определен выше, а затем упрощение приводит к тому, что гамильтониан принимает форму:

H = ∑ k ℏ ω k (bk † bk + 1 2) {\ displaystyle {\ mathcal {H} } = \ sum _ {k} \ hbar \ omega _ {k} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} b_ {k} + {\ tfrac {1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H }} = \ sum _ {k} \ hbar \ omega _ {k} \ left ({b_ {k}} ^ {\ dagger} b_ {k} + {\ tfrac {1} {2}} \ right)}

Это известно как метод второго квантования, также известный как формулировка числа занятости, где n k = b kbk- это занятость по номеру. Это можно увидеть как сумму N независимых гамильтонианов осциллятора, каждый с уникальным волновым вектором, и совместимых с методами, используемыми для квантового гармонического осциллятора (обратите внимание, что n k равно эрмитову ).. Когда гамильтониан может быть записан как сумма коммутирующих субгамильтонианов, собственные состояния энергии будут задаваться произведениями собственных состояний каждого из отдельных субгамильтонианов. Соответствующий энергетический спектр затем определяется суммой индивидуальных собственных значений субгамильтонианов.

Как и в случае квантового гармонического осциллятора, можно показать, что b k и b k соответственно создают и разрушают одиночное возбуждение поля, фонон, с энергией ω k.

С помощью этого метода можно вывести три важных свойства фононов. Во-первых, фононы - это бозоны, поскольку любое количество идентичных возбуждений может быть создано повторным применением оператора создания b k. Во-вторых, каждый фонон - это «коллективная мода», вызванная движением каждого атома в решетке. Это можно увидеть из того факта, что операторы создания и уничтожения, определенные здесь в импульсном пространстве, содержат суммы по операторам положения и импульса каждого атома при записи в пространстве позиций (см. пространство позиций и пространство импульсов ). Наконец, используя корреляционную функцию положение-положение , можно показать, что фононы действуют как волны смещения решетки.

Этот метод легко обобщается на три измерения, где гамильтониан принимает вид :

H = ∑ k ∑ s = 1 3 ℏ ω k, s (bk, s † bk, s + 1 2). {\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {k} \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ hbar \, \ omega _ {k, s} \ left ({b_ {k, s }} ^ {\ dagger} b_ {k, s} + {\ tfrac {1} {2}} \ right).}

{\ displ aystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {k} \ sum _ {s = 1} ^ {3} \ hbar \, \ omega _ {k, s} \ left ({b_ {k, s}} ^ {\ dagger} b_ {k, s} + {\ tfrac {1} {2}} \ right).}

Что можно интерпретировать как сумму 3N независимых гамильтонианов осцилляторов, по одному для каждого волнового вектора. и поляризация.

Акустические и оптические фононы

Твердые тела с более чем одним атомом в самой маленькой элементарной ячейке обладают двумя типами фононов: акустическими фононами и оптическими фононами.

Акустические фононы - это когерентные движения атомов решетки из их положений равновесия. Если смещение происходит в направлении распространения, то в одних областях атомы будут ближе, в других - дальше друг от друга, как в звуковой волне в воздухе (отсюда и название акустической). Смещение перпендикулярно направлению распространения сравнимо с волнами на струне. Если длина волны акустических фононов стремится к бесконечности, это соответствует простому перемещению всего кристалла и требует нулевой энергии деформации. Акустические фононы демонстрируют линейную зависимость между частотой и волновым вектором фонона для длинных волн. Частоты акустических фононов стремятся к нулю с увеличением длины волны. Продольные и поперечные акустические фононы часто обозначаются сокращенно как LA и TA фононы соответственно.

Оптические фононы - это движения атомов в решетке в противофазе, когда один атом движется влево, а его сосед - вправо. Это происходит, если основа решетки состоит из двух и более атомов. Они называются оптическими, потому что в ионных кристаллах, таких как хлорид натрия, флуктуации смещения создают электрическую поляризацию, которая взаимодействует с электромагнитным полем. Следовательно, они могут быть возбуждены инфракрасным излучением, электрическое поле света будет перемещать каждый положительный ион натрия в направлении поля, а каждый отрицательный ион хлорида - в другом направлении, заставляя кристалл вибрировать..

Оптические фононы имеют ненулевую частоту в центре зоны Бриллюэна и не демонстрируют дисперсии вблизи этого длинноволнового предела. Это связано с тем, что они соответствуют режиму вибрации, при котором положительные и отрицательные ионы в соседних узлах решетки колеблются друг против друга, создавая изменяющийся во времени электрический дипольный момент. Оптические фононы, которые таким образом взаимодействуют со светом, называются активными в инфракрасном диапазоне. Оптические фононы, которые являются комбинационно-активными, могут также косвенно взаимодействовать со светом посредством комбинационного рассеяния. Оптические фононы часто обозначают аббревиатурой LO и TO фононы для продольной и поперечной мод соответственно; расщепление между частотами LO и TO часто точно описывается соотношением Лиддана – Сакса – Теллера.

При экспериментальном измерении энергии оптических фононов частоты оптических фононов иногда задаются в виде спектральных волновых чисел, где символ ω представляет обычную частоту (не угловую частоту) и выражается в единицах см. Значение получается делением частоты на скорость света в вакууме. Другими словами, волновое число в сантиметрах соответствует обратной величине длины волны фотона в вакууме, который имеет ту же частоту, что и измеренный фонон.

Импульс кристалла

k-векторы, превышающие первую зону Бриллюэна (красный), не несут больше информации, чем их аналоги (черный) в первой зоне Бриллюэна.

По аналогии с фотонами и волны материи, фононы обрабатывались волновым вектором k, как если бы он имел импульс ħk, однако это не совсем правильно, потому что ħk на самом деле не является физическим импульсом; его называют импульсом кристалла или псевдомоментом. Это связано с тем, что k определяется только до сложения постоянных векторов (векторов обратной решетки и их целые кратные). Например, в одномерной модели нормальные координаты Q и Π определены так, что

Q k = d e f Q k + K; Π К знак равно def Π К + К {\ Displaystyle Q_ {k} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} Q_ {k + K}; \ quad \ Pi _ {k} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ Pi _ {k + K}}

{\ displaystyle Q_ {k} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} Q_ {k + K}; \ quad \ Pi _ {k} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ Pi _ {k + K}}

где

K = 2 n π a {\ displaystyle K = {\ frac {2n \ pi} {a}}}

{\ displaystyle K = {\ frac {2n \ pi} {a}}}

для любого целого n. Таким образом, фонон с волновым числом k эквивалентен бесконечному семейству фононов с волновыми числами k ± 2π / a, k ± 4π / a и т. Д. Физически векторы обратной решетки действуют как дополнительные порции импульса, которые решетка может передавать фонону. Блоховские электроны подчиняются аналогичному набору ограничений.

Зоны Бриллюэна, (а) в квадратной решетке и (б) в гексагональной решетке

Обычно удобно рассматривать фононные волновые векторы k, которые имеют наименьшую величину | k | в их «семье». Набор всех таких волновых векторов определяет первую зону Бриллюэна. Дополнительные зоны Бриллюэна могут быть определены как копии первой зоны, сдвинутые на некоторый вектор обратной решетки.

Термодинамика

термодинамические свойства твердого тела напрямую связаны с его фононной структурой. Полный набор всех возможных фононов, которые описываются соотношением дисперсии фононов, объединяются в так называемую фононную плотность состояний, которая определяет теплоемкость кристалла. По характеру этого распределения в теплоемкости преобладает высокочастотная часть распределения, тогда как теплопроводность в основном является результатом низкочастотной области.

При абсолютном нуле температуры, кристаллическая решетка находится в своем основном состоянии и не содержит фононов. Решетка с ненулевой температурой имеет энергию, которая не является постоянной, но колеблется случайным образом около некоторого среднего значения. Эти флуктуации энергии вызваны случайными колебаниями решетки, которую можно рассматривать как газ фононов. Поскольку эти фононы генерируются температурой решетки, их иногда называют тепловыми фононами.

Тепловые фононы могут создаваться и разрушаться случайными флуктуациями энергии. На языке статистической механики это означает, что химический потенциал добавления фонона равен нулю. Такое поведение является продолжением гармонического потенциала в ангармонический режим. Поведение тепловых фононов подобно фотонному газу, создаваемому электромагнитным резонатором, в котором фотоны могут излучаться или поглощаться стенками резонатора. Это сходство не случайно, поскольку оказывается, что электромагнитное поле ведет себя как набор гармонических осцилляторов, вызывая излучение черного тела. Оба газа подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна : в тепловом равновесии и в гармоническом режиме вероятность обнаружения фононов или фотонов в заданном состоянии с заданной угловой частотой равна:

n (ω k, s) знак равно 1 ехр ⁡ (ℏ ω К, ск BT) - 1 {\ displaystyle n \ left (\ omega _ {k, s} \ right) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ dfrac {\ hbar \ omega _ {k, s}} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) -1}}}

{\ displaystyle n \ left ( \ omega _ {k, s} \ right) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ dfrac {\ hbar \ omega _ {k, s}} {k _ {\ mathrm {B}} T} } \ right) -1}}}

где ω k, s - частота фононов (или фотонов) в состоянии, k B - это постоянная Больцмана, а T - температура.

Фононное туннелирование

Было показано, что фононы демонстрируют квантовое туннелирование (или фононное туннелирование), когда через зазоры шириной до нанометра тепло может течь через фононы, которые «туннель» между двумя материалами. Этот тип теплопередачи работает на расстояниях, слишком больших для проводимости, но слишком малых для излучения, и поэтому не может быть объяснен классическими моделями теплопередачи.

Операторный формализм

Фононный гамильтониан задается следующим образом:

H = 1 2 ∑ α (p α 2 + ω α 2 q α 2 - ℏ ω α) {\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha} \ left (p _ {\ alpha} ^ {2} + \ omega _ {\ alpha} ^ {2} q _ {\ alpha} ^ {2} - \ hbar \ omega _ {\ alpha} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ tfrac {1} {2}} \ su m _ {\ alpha} \ left (p _ {\ alpha} ^ {2} + \ omega _ {\ alpha} ^ {2} q _ {\ alpha} ^ {2} - \ hbar \ omega _ {\ alpha} \ справа)}

В терминах операторов создания и уничтожения они задаются как

H = ∑ α ℏ ω α a α † a α {\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {\ alpha} \ hbar \ omega _ {\ alpha} {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} a _ {\ alpha }}

{\ displaystyle {\ mathcal {H }} = \ sum _ {\ alpha} \ hbar \ omega _ {\ alpha} {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} a _ {\ alpha}}

Здесь, выражая гамильтониан в операторном формализме, мы не приняли во внимание член 1 / 2ħω q как, учитывая континуум или бесконечная решетка, члены 1 / 2ħω q в сумме дают бесконечный член. Следовательно, он «перенормирован » путем установки коэффициента 1 / 2ħω q равным 0, утверждая, что мы измеряем разницу в энергии, а не ее абсолютное значение. Следовательно, фактор 1 / 2ħω q отсутствует в операторном формализованном выражении для гамильтониана.

. Основное состояние, также называемое «вакуумным состоянием », является состояние, не состоящее из фононов. Следовательно, энергия основного состояния равна 0. Когда система находится в состоянии | n 1n2n3…⟩, мы говорим, что имеется n α фононов типа α, где n α - число заполнения фононов. Энергия одиночного фонона типа α определяется как ħω q, а полная энергия общей фононной системы выражается как n 1ħω1+ n 2ħω2+…. Поскольку нет перекрестных членов (например, n 1ħω2), говорят, что фононы не взаимодействуют. Действие операторов рождения и уничтожения определяется выражением:

a α † | n 1… n α - 1 n α n α + 1…⟩ = n α + 1 | n 1…, n α - 1, (n α + 1), n ​​α + 1…⟩ {\ displaystyle {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} {\ Big |} n_ {1} \ ldots n_ { \ alpha -1} n _ {\ alpha} n _ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} {\ Big |} n_ {1} \ ldots, n _ {\ alpha -1}, (n _ {\ alpha} +1), n ​​_ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle}}

{\ displaystyle {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} {\ Big |} n_ {1} \ ldots n _ {\ alpha -1} n _ {\ alpha} n _ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} {\ Big |} n_ {1} \ ldots, n _ {\ alpha -1}, ( n _ {\ alpha} +1), n ​​_ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle}}

и,

a α | n 1… n α - 1 n α n α + 1…⟩ = n α | n 1…, n α - 1, (n α - 1), n ​​α + 1,…⟩ {\ displaystyle a _ {\ alpha} {\ Big |} n_ {1} \ ldots n _ {\ alpha -1} n_ {\ alpha} n _ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle} = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} {\ Big |} n_ {1} \ ldots, n _ {\ alpha -1}, (n _ {\ alpha} -1), n ​​_ {\ alpha +1}, \ ldots {\ Big \ rangle}}

{\ displaystyle a _ {\ alpha} {\ Big |} n_ {1} \ ldots n _ {\ alpha -1} n _ {\ alpha} n _ {\ alpha +1} \ ldots {\ Big \ rangle} = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} {\ Big |} n_ {1} \ ldots, n _ {\ alpha -1}, ( n _ {\ alpha} -1), n ​​_ {\ alpha +1}, \ ldots {\ Big \ rangle}}

Оператор создания α создает фонон типа α, а a α аннигилирует единицу. Следовательно, они являются операторами рождения и уничтожения фононов соответственно. Аналогично случаю квантового гармонического осциллятора, мы можем определить оператор числа частиц как

N = ∑ α a α † a α. {\ displaystyle N = \ sum _ {\ alpha} {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} a _ {\ alpha}.}

{\ displaystyle N = \ sum _ {\ alpha} {a _ {\ alpha}} ^ {\ dagger} a _ {\ alpha}.}

Числовой оператор коммутирует со строкой произведений операторов создания и уничтожения, если и только если количество операторов создания равно количеству операторов уничтожения.

Поскольку можно показать, что фононы симметричны относительно обмена (то есть | α, β⟩ = | β, α⟩), они считаются бозонами.

Нелинейностью

Поскольку как и фотоны, фононы могут взаимодействовать посредством параметрического преобразования с понижением частоты и образовывать сжатые когерентные состояния.

Прогнозируемые свойства

Недавние исследования показали, что фононы и ротоны могут иметь массу, которой нельзя пренебречь, и на них действует сила тяжести, как и на стандартные частицы. В частности, предсказано, что фононы обладают своего рода отрицательной массой и отрицательной гравитацией. Это можно объяснить тем, как известно, что фононы путешествуют быстрее в более плотных материалах. Поскольку часть материала, указывающая на источник гравитации, находится ближе к объекту, на этом конце он становится более плотным. Исходя из этого, предполагается, что фононы будут отклоняться, поскольку он обнаруживает разницу в плотности, проявляя качества отрицательного гравитационного поля. Хотя эффект был бы слишком мал для измерения, возможно, что будущее оборудование может привести к успешным результатам.

Было также предсказано, что фононы будут играть ключевую роль в сверхпроводимости в материалах и в предсказании сверхпроводящих соединений.

В 2019 году исследователи смогли выделить отдельные фононы без уничтожив их впервые.

См. также

Физический портал

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Вибрациями решетки.

Цитаты, относящиеся к Фонону на Wikiquote
Объяснение: Фононы, MIT News, 2010.
Оптические и акустические моды
Фононы в одномерном микрожидкостном кристалле [1] и [2] с фильмы в [3].