Материал Кельвина – Фойгта

редактировать

A Материал Кельвина-Фойгта, также называемый материалом Фойгта, представляет собой вязкоупругий материал, имеющий как эластичность, и вязкость.. Он назван в честь британского физика и инженера лорда Кельвина и в честь немецкого физика Вольдемара Фойгта.

Содержание

1 Определение
2 Эффект внезапного напряжения
3 Динамический модуль
4 Ссылки
5 См. Также

Определение

Модель Кельвина-Фойгта, также называемая моделью Фойгта, может быть представлена чисто вязким демпфером и чисто упругой пружиной, соединенными параллельно, как показано на картинке.

Схематическое изображение модели Кельвина – Фойгта.

Если вместо этого мы соединим эти два элемента последовательно, мы получим модель из материала Максвелла.

Поскольку два компонента модели расположены параллельно, деформации в каждом компоненте идентичны:

ε Total = ε S = ε D. {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {Total}} = \ varepsilon _ {S} = \ varepsilon _ {D}.}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {Total}} = \ varepsilon _ {S} = \ varepsilon _ {D}.}

где индекс D указывает напряжение-деформацию в демпфере, а индекс S указывает напряжение-деформация весной. Точно так же полное напряжение будет суммой напряжений в каждом компоненте:

σ Total = σ S + σ D. {\ displaystyle \ sigma _ {\ text {Total}} = \ sigma _ {S} + \ sigma _ {D}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ text {Total}} = \ sigma _ {S} + \ sigma _ {D}.}

Из этих уравнений мы получаем, что для материала Кельвина-Фойгта напряжение σ, деформация ε и скорость их изменения относительно времени t регулируются уравнениями вида:

σ (t) = E ε (t) + η d ε (t) dt, {\ displaystyle \ sigma (t) = E \ varepsilon (t) + \ eta {\ frac {d \ varepsilon (t)} {dt}},}

\ sigma (t) = E \ varepsilon (t) + \ eta \ frac {d \ varepsilon (t)} {dt},

или в точечной записи:

σ Знак равно E ε + η ε ˙, {\ displaystyle \ sigma = E \ varepsilon + \ eta {\ dot {\ varepsilon}},}

{\ displaystyle \ sigma = E \ varepsilon + \ eta {\ dot {\ varepsilon}},}

где E - модуль упругости, а $η {\ displaystyle \ eta }$ $\ eta$ - вязкость. Уравнение может применяться либо к напряжению сдвига, либо к нормальному напряжению материала.

Эффект внезапного напряжения

Если мы внезапно приложим некоторое постоянное напряжение $σ 0 {\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ $\ sigma _ {0}$ к материалу Кельвина-Фойгта, то деформации будут приближаться к деформации для чистого упругого материала $σ 0 / E {\ displaystyle \ sigma _ {0} / E}$ $\ sigma_0 / E$ с экспоненциальным убыванием разности:

ε (t) знак равно σ 0 Е (1 - е - λ T), {\ displaystyle \ varepsilon (t) = {\ frac {\ sigma _ {0}} {E}} (1-e ^ {- \ lambda t}),}

\ varepsilon (t) = \ frac {\ sigma_0} {E} (1-e ^ {- \ lambda t}),

где t время и $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ скорость релаксации $λ = E η {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {E} { \ eta}}}$ $\ lambda = \ frac {E} {\ eta}$ . И наоборот, значение $τ = η E {\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ eta} {E}}}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ eta} {E}}}$ известно как время задержки.

. Если бы мы освободить материал за время $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ , тогда упругий элемент будет задерживать материал обратно до тех пор, пока деформация не станет нулевой. Замедление подчиняется следующему уравнению:

ε (t>t 1) = ε (t 1) e - λ (t - t 1). {\ displaystyle \ varepsilon (t>t_ {1}) = \ varepsilon (t_ {1}) e ^ {- \ lambda (t-t_ {1})}.}

\varepsilon(t>t_1) = \ varepsilon (t_1) e ^ {- \ lambda (t-t_1)}.

На рисунке показана зависимость безразмерная деформация $E ε (t) σ 0 {\ displaystyle {\ frac {E \ varepsilon (t)} {\ sigma _ {0}}}}$ $\ frac {E \ varepsilon (t)} {\ sigma_0}$ в безразмерном времени $λ t {\ displaystyle \ lambda t}$ $\ lambda t$ . На рисунке нагрузка на материал загружается в момент $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ и снимается в позднее безразмерное время $t 1 ∗ = λ t 1 {\ displaystyle t_ {1} ^ {*} = \ lambda t_ {1}}$ $t_1 ^ * = \ lambda t_1$ .

Зависимость безразмерной деформации от безразмерного времени при постоянном напряжении

Поскольку вся деформация обратима (хотя и не внезапно) материал Кельвина – Фойгта является твердым телом.

Модель Фойгта предсказывает ползучесть более реалистично, чем модель Максвелла, потому что в бесконечном временном ограничении деформация приближается к константе:

Lim T → ∞ ε знак равно σ 0 E, {\ Displaystyle \ Lim _ {т \ к \ infty} \ varepsilon = {\ frac {\ sigma _ {0}} {E}},}

\ lim_ {t \ to \ infty} \ varepsilon = \ frac {\ sigma_0} {E},

, в то время как модель Максвелла предсказывает линейную зависимость между деформацией и временем, что чаще всего не соответствует действительности. Хотя модель Кельвина-Фойгта эффективна для прогнозирования ползучести, она не годится для описания релаксационного поведения после снятия напряженной нагрузки.

Динамический модуль

Комплексный динамический модуль материала Кельвина-Фойгта определяется как:

E ⋆ (ω) = E + i η ω. {\ displaystyle E ^ {\ star} (\ omega) = E + i \ eta \ omega.}

E ^ \ star (\ omega) = E + i \ eta \ omega.

Таким образом, действительная и мнимая составляющие динамического модуля:

E 1 = ℜ [E (ω)] Знак равно E, {\ Displaystyle E_ {1} = \ Re [E (\ omega)] = E,}

E_1 = \ Re [ E (\ omega)] = E,

E 2 = ℑ [E (ω)] = η ω. {\ displaystyle E_ {2} = \ Im [E (\ omega)] = \ eta \ omega.}

E_2 = \ Im [E (\ omega)] = \ eta \ omega.

Обратите внимание, что $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_{1}$ является постоянным, в то время как $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_{2}$ прямо пропорционально частоте (где кажущаяся вязкость, $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ , константа пропорциональности).

Ссылки