Механизм Кельвина – Гельмгольца

Механизм Кельвина – Гельмгольца астрономический процесс, который происходит, когда поверхность звезды или планеты охлаждается. Охлаждение вызывает падение внутреннего давления, и в результате звезда или планета сжимаются. Это сжатие, в свою очередь, нагревает ядро ​​звезды / планеты. Этот механизм очевиден на Юпитере и Сатурне и на коричневых карликах, центральные температуры которых недостаточно высоки для ядерного синтеза. Подсчитано, что через этот механизм Юпитер излучает больше энергии, чем получает от Солнца, но Сатурн не может. Последний процесс заставляет Юпитер сжиматься со скоростью два сантиметра каждый год.

Механизм был первоначально предложен Кельвином и Гельмгольцем в конце девятнадцатого века для объяснения источник энергии Солнца. К середине девятнадцатого века было принято сохранение энергии, и одним из следствий этого закона физики стало то, что Солнце должно иметь какой-то источник энергии, чтобы продолжать светить. Поскольку ядерные реакции были неизвестны, основным кандидатом на роль источника солнечной энергии было гравитационное сжатие.

Однако вскоре сэр Артур Эддингтон и другие признали, что общее количество энергии, доступное через этот механизм, позволяло Солнцу светить только миллионы лет, а не миллиарды лет. что геологические и биологические свидетельства указывают на возраст Земли. (Сам Кельвин утверждал, что Земле миллионы, а не миллиарды лет.) Истинный источник энергии Солнца оставался неопределенным до 1930-х годов, когда Ганс Бете показал ядерный синтез.

Энергия, генерируемая сжатием Кельвина – Гельмгольца

Было высказано предположение, что гравитационная потенциальная энергия от сжатия Солнца может быть его источником энергии. Чтобы рассчитать общее количество энергии, которое будет высвобождено Солнцем в таком механизме (при условии однородной плотности ), оно было аппроксимировано идеальной сферой, состоящей из концентрических оболочек. Тогда гравитационная потенциальная энергия может быть найдена как интеграл по всем оболочкам от центра до внешнего радиуса.

Гравитационная потенциальная энергия из механики Ньютона определяется как:

$U\; =\; -\; G\; m\; 1\; m\; 2\; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\}\},\}$

где G - гравитационная постоянная, а две массы в данном случае - это масса тонких оболочек шириной dr и масса внутри радиуса r так как один интегрирует между нулем и радиусом всей сферы. Это дает:

$U\; =\; -\; G\; \int \; 0\; R\; m\; (r)\; 4\; \pi \; r\; 2\; \rho \; rdr,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -G\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{R\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\; (r)\; 4\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\; dr,\}$

где R - внешний радиус сферы, а m (r) - масса, содержащаяся внутри радиуса r. Преобразуя m (r) в произведение объема и плотности, чтобы удовлетворить интегралу,

$U\; =\; -\; G\; \int \; 0\; R\; 4\; \pi \; r\; 3\; \rho \; 4\; \pi \; r\; 2\; \rho \; 3\; rdr\; =\; -\; 16\; 15\; G\; \pi \; 2\; \rho \; 2\; R\; 5.\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; =\; -G\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{R\}\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{3\}\; \backslash \; rho\; 4\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\}\; \{3r\}\}\; \backslash ,\; dr\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{15\}\}\; G\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; R\; ^\; \{5\}.\}$

Пересчет массы сферы дает полную гравитационную потенциальную энергию как

$U\; =\; -\; 3\; GM\; 2\; 5\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3GM\; ^\; \{2\}\}\; \{5R\}\}.\}$

Согласно теореме вириала, полная энергия гравитационно связанных систем в равновесии составляет половину усредненная по времени потенциальная энергия,

$U\; r\; =\; |\; ⟨U⟩\; |\; 2\; =\; 3\; г\; М\; 2\; 10\; р.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; langle\; U\; \backslash \; rangle\; |\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3GM\; ^\; \{2\}\}\; \{10R\}\}.\}$

Хотя однородная плотность неверна, можно получить приблизительную оценку ожидаемого возраста нашей звезды по порядку величины, вставив известные значения для массы и радиуса Солнца, а затем разделив на известные светимость Солнца (обратите внимание, что это будет включать другое приближение, так как выходная мощность Солнца не всегда была постоянной):

$U\; r\; L\; \odot \; \approx \; 1,1\; \times \; 10\; 41\; Дж\; 3,9\; \times \; 10\; 26\; Вт\; \approx \; 8\; 900\; 000\; лет,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{r\}\}\}\; \{L\; \_\; \{\backslash \; odot\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1,1\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{41\}\; ~\; \{\backslash \; text\; \{J\}\; \}\}\; \{3,9\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{26\}\; ~\; \{\backslash \; text\; \{W\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 8\; \backslash ,\; 900\; \backslash ,\; 000\; ~\; \{\backslash \; text\; \{years\}\},\}$

где $L\; \odot \; \{\; \backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; odot\}\}$- яркость Солнца. Несмотря на то, что он давал достаточно энергии на значительно более длительный срок, чем многие другие физические методы, такие как химическая энергия, это значение явно было недостаточно долгим из-за геологических и биологических свидетельств того, что Земле миллиарды лет. В конце концов было обнаружено, что термоядерная энергия отвечает за выходную мощность и длительное время жизни звезд.

Ссылки