Математическое уравнение
В изотропной турбулентности уравнение Кармана – Ховарта (после Теодора фон Кармана и Лесли Ховарта 1938), который выводится из уравнений Навье – Стокса, используется для описания эволюции безразмерной продольной автокорреляции.
Содержание
- 1 Математическое описание
- 2 Инвариант Лойцианского
- 3 Затухание турбулентности
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
Математическое описание
Рассмотрим двухточечный тензор корреляции скорости для однородной турбулентности
Для изотропной турбулентности этот тензор корреляции может быть выражен в терминах двух скалярных функций, используя инвариантную теорию группы полного вращения, впервые полученную Говардом П. Робертсоном в 1940,
где - среднеквадратичная турбулентная скорость, а - турбулентная скорость во всех трех направлениях. Здесь - это продольная корреляция, а - боковая корреляция скорости в двух разных точках. Из уравнения неразрывности получаем
Таким образом, однозначно определяет два точечная корреляционная функция. Теодор фон Карман и Лесли Ховарт вывели уравнение эволюции для из уравнение Навье – Стокса as
где однозначно определяет тензор тройной корреляции
Инвариант Лойцианского
LG Лойцианский получил интегральный инвариант затухания турбулентности, взяв четвертый момент уравнения Кармана – Ховарта 1939 года, т. Е.
Если распадается быстрее, чем as , а также в этом пределе, если предположить, что исчезает, у нас есть величина,
который инвариантен. Лев Ландау и Евгений Лифшиц показали, что этот инвариант эквивалентен сохранению углового момента. Однако Ян Праудман и У. Рид показал, что этот инвариант не всегда выполняется, поскольку в общем случае не равна нулю, по крайней мере, в начальный период распада. В 1967 году Филип Саффман показал, что этот интеграл зависит от начальных условий и интеграл может расходиться при определенных условиях.
Затухание турбулентности
Для течений с преобладанием вязкости во время затухания турбулентности уравнение Кармана – Ховарта сводится к уравнению теплопроводности, если пренебречь тензором тройной корреляции, т. е.
При подходящих граничных условиях решение указанной выше уравнение имеет вид
так, что
См. также
- (Анизотропное обобщение соотношения Кармана – Ховарта Андреем Монином)
- уравнение Бэтчелора – Чандрасекара (однородная осесимметричная турбулентность)
- (соотношение Кармана – Ховарта для скалярного уравнения переноса)
- (инвариант флуктуаций плотности в изотропной однородной турбулентности)
Ссылки