Уравнение Кармана – Ховарта

редактировать

Математическое уравнение

В изотропной турбулентности уравнение Кармана – Ховарта (после Теодора фон Кармана и Лесли Ховарта 1938), который выводится из уравнений Навье – Стокса, используется для описания эволюции безразмерной продольной автокорреляции.

Содержание

1 Математическое описание
2 Инвариант Лойцианского
3 Затухание турбулентности
4 См. Также
5 Ссылки

Математическое описание

Рассмотрим двухточечный тензор корреляции скорости для однородной турбулентности

R ij (r, t) = ui (x, t) uj (x + r, t) ¯. {\ Displaystyle R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}}.}

{\ displaystyle R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}}.}

Для изотропной турбулентности этот тензор корреляции может быть выражен в терминах двух скалярных функций, используя инвариантную теорию группы полного вращения, впервые полученную Говардом П. Робертсоном в 1940,

R ij (r, t) = u ′ 2 {[f (r, t) - g (r, t)] rirjr 2 + g (r, t) δ ij}, f (r, t)) Знак равно R 11 u ′ 2, г (р, t) = R 22 u ′ 2 {\ displaystyle R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = u '^ {2} \ left \ {[f ( r, t) -g (r, t)] {\ frac {r_ {i} r_ {j}} {r ^ {2}}} + g (r, t) \ delta _ {ij} \ right \}, \ quad f (r, t) = {\ frac {R_ {11}} {u '^ {2}}}, \ quad g (r, t) = {\ frac {R_ {22}} {u' ^ {2}}}}

R_{ij}(\mathbf {r},t)=u'^{2}\left\{[f(r,t)-g(r,t)]{\frac {r_{i}r_{j}}{r^{2}}}+g(r,t)\delta _{ij}\right\},\quad f(r,t)={\frac {R_{11}}{u'^{2}}},\quad g(r,t)={\frac {R_{22}}{u'^{2}}}

где $u ′ {\ displaystyle u '}$ $u'$ - среднеквадратичная турбулентная скорость, а $u 1, u 2, u 3 {\ displaystyle u_ {1}, \ u_ {2}, \ u_ {3}}$ ${\ displaystyle u_ {1}, \ u_ {2}, \ u_ {3}}$ - турбулентная скорость во всех трех направлениях. Здесь $f (r) {\ displaystyle f (r)}$ $е (г)$ - это продольная корреляция, а $g (r) {\ displaystyle g (r)}$ $g (r)$ - боковая корреляция скорости в двух разных точках. Из уравнения неразрывности получаем

∂ R ij ∂ rj = 0 ⇒ g (r, t) = f (r, t) + r 2 ∂ ∂ rf (r, t) {\ displaystyle {\ frac {\ partial R_ {ij}} {\ partial r_ {j}}} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad g (r, t) = f (r, t) + {\ frac {r} {2}} {\ frac { \ partial} {\ partial r}} f (r, t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial R_ {ij}} {\ partial r_ {j}}} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad g ( r, t) = f (r, t) + {\ frac {r} {2}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} f (r, t)}

Таким образом, $f (r, t) {\ displaystyle f (r, t)}$ ${\ displaystyle f (r, t)}$ однозначно определяет два точечная корреляционная функция. Теодор фон Карман и Лесли Ховарт вывели уравнение эволюции для $f (r, t) {\ displaystyle f (r, t)}$ ${\ displaystyle f (r, t)}$ из уравнение Навье – Стокса as

∂ ∂ t (u ′ 2 f) - u ′ 3 r 4 ∂ ∂ r (r 4 h) = 2 ν u ′ 2 r 4 ∂ ∂ r (r 4 ∂ е ∂ р) {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (u '^ {2} f) - {\ frac {u' ^ {3}} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} (r ^ {4} h) = {\ frac {2 \ nu u '^ {2}} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partial } {\ partial r}} \ left (r ^ {4} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right)}

{\frac {\partial }{\partial t}}(u'^{2}f)-{\frac {u'^{3}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{4}h)={\frac {2\nu u'^{2}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)

где $h (r, t) {\ displaystyle h (r, t)}$ ${\ displaystyle h (r, t)}$ однозначно определяет тензор тройной корреляции

S ij = ∂ ∂ rk (ui (x, t) uk (x, t) uj (x + r, t) ¯ - ui (x, t) uk (x + r, t) uj (x + r, t) ¯). {\ Displaystyle S_ {ij} = {} {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {k}}} \ left ({\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {k}) (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} - {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ { k} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} \ right).}

{\ displaystyle S_ {ij} = {} {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {k}}} \ слева ({\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {k} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} - {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {k} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t) u_ {j} ( \ mathbf {x} + \ mathbf {r}, t)}} \ right).}

Инвариант Лойцианского

LG Лойцианский получил интегральный инвариант затухания турбулентности, взяв четвертый момент уравнения Кармана – Ховарта 1939 года, т. Е.

∂ ∂ t (u ′ 2 ∫ 0 ∞ r 4 fdr) = [2 ν u ′ 2 r 4 ∂ f ∂ r + u ′ 3 r 4 h] 0 ∞. {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (u '^ {2} \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {4} f \ dr \ right) = \ left [2 \ nu u '^ {2} r ^ {4} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} + u' ^ {3} r ^ {4} h \ right] _ {0} ^ {\ infty}.}

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u'^{2}\int _{0}^{\infty }r^{4}f\ dr\right)=\left[2\nu u'^{2}r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}+u'^{3}r^{4}h\right]_{0}^{\infty }.

Если $f (r) {\ displaystyle f (r)}$ $е (г)$ распадается быстрее, чем $r - 3 {\ displaystyle r ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle r ^ {- 3}}$ as $r → ∞ {\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ $r \ rightarrow \ infty$ , а также в этом пределе, если предположить, что $r 4 h {\ displaystyle r ^ { 4} h}$ ${\ displaystyle r ^ {4} h}$ исчезает, у нас есть величина,

Λ = u ′ 2 ∫ 0 ∞ r 4 fdr = constant {\ displaystyle \ Lambda = u '^ {2} \ int _ {0 } ^ {\ infty} r ^ {4} f \ dr = \ mathrm {constant}}

\Lambda =u'^{2}\int _{0}^{\infty }r^{4}f\ dr=\mathrm {constant}

который инвариантен. Лев Ландау и Евгений Лифшиц показали, что этот инвариант эквивалентен сохранению углового момента. Однако Ян Праудман и У. Рид показал, что этот инвариант не всегда выполняется, поскольку $lim r → ∞ (r 4 h) {\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} (r ^ {4} h)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} (r ^ {4} h)}$ в общем случае не равна нулю, по крайней мере, в начальный период распада. В 1967 году Филип Саффман показал, что этот интеграл зависит от начальных условий и интеграл может расходиться при определенных условиях.

Затухание турбулентности

Для течений с преобладанием вязкости во время затухания турбулентности уравнение Кармана – Ховарта сводится к уравнению теплопроводности, если пренебречь тензором тройной корреляции, т. е.