k · p теория возмущений - k·p perturbation theory

В физике твердого тела, k · p теория возмущений представляет собой приближенный полуэмпирический подход для расчета зонной структуры (в частности, эффективной массы ) и оптических свойств кристаллических твердых тел. Он произносится как «k dot p», и его также называют «методом k · p ». Эта теория была применена специально в рамках модели Латтингера – Кона (после Хоакина Маздака Латтинджера и Уолтера Кона ) и модели Кейна модель (после Эван О. Кейн ).

• 1 Предпосылки и вывод
  • 1.1 Теорема Блоха и волновые векторы
  • 1.2 Теория возмущений
  • 1.3 Выражение для невырожденной полосы
    • 1.3.1 Эффективная масса
  • Модель 1,4 k · p со спин-орбитальным взаимодействием
  • 1.5 Расчет в вырожденном случае
• 2 См. также
• 3 Примечания и ссылки

Теорема Блоха и волновые векторы

Согласно квантовая механика (в одноэлектронном приближении ) квазисвободные электроны в любом твердом теле характеризуются волновыми функциями, которые являются собственными состояниями следующего стационарного уравнения Шредингера :

$(p\; 2\; 2\; m\; +\; V)\; \psi \; =\; E\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; V\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; =\; E\; \backslash \; psi\}$

где p - квантово-механический оператор импульса, V - потенциал, а m - вакуумная масса электрон. (Это уравнение не учитывает спин-орбитальный эффект ; см. Ниже.)

В кристаллическом твердом теле V является периодической функцией, с та же периодичность, что и у кристаллической решетки . Теорема Блоха доказывает, что решения этого дифференциального уравнения могут быть записаны следующим образом:

$\psi \; n,\; k\; (x)\; =\; eik\; \cdot \; xun,\; k\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; u\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$

, где k - вектор (называемый волновым вектором), n - дискретный индекс (называемый индексом band ), а u n,k- функция с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка.

Для любого заданного n связанные состояния называются полосой. В каждой полосе будет связь между волновым вектором k и энергией состояния E n,k, называемая полосной дисперсией . Вычисление этой дисперсии - одно из основных приложений теории возмущений k · p.

Теория возмущений

Периодическая функция u n,kудовлетворяет следующему уравнению типа Шредингера (просто прямому разложению уравнения Шредингера с волновой функцией типа Блоха):

$ЧАС\; Кун,\; К\; =\; Е\; N,\; Кун,\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; u\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; E\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; u\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{\; k\}\}\}$

где гамильтониан равен

$H\; k\; =\; p\; 2\; 2\; m\; +\; \hslash \; k\; \cdot \; pm\; +\; \hslash \; 2\; k\; 2\; 2\; m\; +\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \{m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{\; 2\}\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; V\}$

Обратите внимание, что k - это вектор, состоящий из трех действительных чисел с размерностями обратной длины, а p - вектор операторов; чтобы быть явным,

$k\; \cdot \; p\; =\; kx\; (-\; i\; \hslash \; \partial \; \partial \; x)\; +\; ky\; (-\; i\; \hslash \; \partial \; \partial \; y)\; +\; kz\; (-\; i\; \hslash \; \partial \; \partial \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; k\_\; \{x\}\; (-\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\})\; +\; k\_\; \{y\}\; (-\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \}\})\; +\; k\_\; \{z\}\; (-\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\})\}$

В любом случае мы запишем этот гамильтониан как сумму двух членов:

$H\; Знак\; равно\; ЧАС\; 0\; +\; ЧАС\; К\; \text{'},\; ЧАС\; 0\; знак\; равно\; п\; 2\; 2\; м\; +\; В,\; ЧАС\; К\text{'}\; =\; \hslash \; 2\; К\; 2\; 2\; м\; +\; \hslash \; К\; \cdot \; pm\; \{\backslash \; Displaystyle\; Н\; =\; Н\_\; \{0\}\; +\; Н\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \}\; \text{'},\; \backslash ;\; \backslash ;\; H\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; V,\; \backslash ;\; \backslash ;\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \{m\}\}\}$

Это выражение является основой для теория возмущений. «Невозмущенный гамильтониан» равен H 0, что фактически равно точному гамильтониану при k = 0 (то есть в гамма-точке ). «Возмущение» - это термин $H\; k\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; \text{'}\}$. Полученный в результате анализ называется «k · p теорией возмущений» из-за члена, пропорционального k · p . Результатом этого анализа является выражение для E n,kи u n,kв терминах энергий и волновых функций при k = 0.

Обратите внимание, что термин «возмущение» $H\; k\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; \text{'}\}$становится все меньше по мере того, как k приближается к нулю. Следовательно, теория возмущений k · p является наиболее точной для малых значений k . Однако, если в пертурбативное разложение включено достаточно членов, то теория может быть достаточно точной для любого значения k во всей зоне Бриллюэна.

Выражение для невырожденной полосы

Для невырожденной полосы (т. е. полосы, которая имеет энергию, отличную от энергии при k = 0 от любой другой полосы), с экстремумом при k = 0, и без спин-орбитальной связи результат теории возмущений k · p (до низшего нетривиального порядка ):

$ООН,\; К\; знак\; равно\; ООН,\; 0\; +\; \hslash \; м\; \sum \; N\; \text{'}\ne \; N\; ⟨UN,\; 0\; |\; К\; \cdot \; p\; |\; un\text{'},\; 0\; \prime \; E\; n,\; 0\; -\; E\; n\; \text{'},\; 0\; un\text{'},\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; u\_\; \{n,\; 0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{m\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \text{'}\backslash \; neq\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; u\_\; \{n,\; 0\}\; |\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; |\; u\_\; \{n\; \text{'},\; 0\}\; \backslash \; rangle\}\; \{E\_\; \{n,\; 0\}\; -E\_\; \{n\text{'},\; 0\}\}\}\; u\_\; \{n\; \text{'},\; 0\}\}$

$E\; n,\; k\; =\; E\; n,\; 0\; +\; \hslash \; 2\; k\; 2\; 2\; m\; +\; \hslash \; 2\; m\; 2\; \sum \; n\; \prime \; \ne \; n\; |\; ⟨un,\; 0\; |\; k\; \cdot \; p\; |\; un\; \prime ,\; 0⟩\; |\; 2\; E\; n,\; 0\; -\; E\; n\; \prime ,\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; E\_\; \{n,\; 0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{м\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \text{'}\backslash \; neq\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; langle\; u\_\; \{n,\; 0\}\; |\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; |\; u\_\; \{n\text{'},\; 0\}\; \backslash \; rangle\; |\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{E\_\; \{n,\; 0\}\; -E\_\; \{n\; \text{'},\; 0\}\}\}\}$

Поскольку k является вектором действительных чисел (а не вектором более сложных линейных операторов), матричный элемент в этих выражениях можно переписать как:

$⟨un,\; 0\; |\; k\; \cdot \; p\; |\; u\; n\; \prime ,\; 0⟩\; =\; k\; \cdot \; ⟨u\; n,\; 0\; |\; p\; |\; un\; \text{'},\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; u\_\; \{n,\; 0\}\; |\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; |\; u\_\; \{n\text{'},\; 0\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; langle\; u\_\; \{n,\; 0\}\; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; |\; u\_\; \{n\; \text{'},\; 0\}\; \backslash \; rangle\}$

Следовательно, можно вычислить энергию при любом k, используя только несколько неизвестных параметров, а именно E n, 0 и $⟨un,\; 0\; |\; p\; |\; u\; n\; \prime ,\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; u\_\; \{n,\; 0\}\; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; |\; u\_\; \{n\; \text{'},\; 0\}\; \backslash \; rangle\}$. Последние называются «оптическими матричными элементами» и тесно связаны с дипольными моментами перехода . Эти параметры обычно выводятся из экспериментальных данных.

На практике сумма по n часто включает только ближайшую одну или две полосы, поскольку они, как правило, являются наиболее важными (из-за знаменателя). Однако для повышения точности, особенно при больших k, необходимо включить больше полос, а также больше членов в пертурбативное разложение, чем написано выше.

Эффективная масса

Используя приведенное выше выражение для зависимости дисперсии энергии, можно найти упрощенное выражение для эффективной массы в зоне проводимости полупроводника. Чтобы аппроксимировать дисперсионное соотношение в случае зоны проводимости, возьмите энергию E n0 как минимальную энергию зоны проводимости E c0 и включите в суммирование только члены с энергиями, близкими к валентной максимум полосы, где разница энергий в знаменателе наименьшая. (Эти члены вносят наибольший вклад в суммирование.) Затем этот знаменатель аппроксимируется как ширина запрещенной зоны E g, что приводит к выражению энергии:

$E\; c\; (k)\; \approx \; E\; c\; 0\; +\; (\; \hslash \; k)\; 2\; 2\; m\; +\; \hslash \; 2\; E\; gm\; 2\; n\; |\; ⟨U\; c,\; 0\; |\; k\; \cdot \; p\; |\; u\; n,\; 0⟩\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{c\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{k\}\})\; \backslash \; приблизительно\; E\_\; \{c0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; hbar\; k)\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{\{E\_\; \{g\}\}\; m\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{|\; \backslash \; langle\; u\_\; \{c,\; 0\}\; |\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; |\; u\_\; \{\; n,\; 0\}\; \backslash \; rangle\; |\; ^\; \{2\}\}\}$

Тогда эффективная масса в направлении ℓ равна:

$1\; m\; \ell \; =\; 1\; \hslash \; 2\; \sum \; m\; \cdot \; \partial \; 2\; E\; c\; (k)\; \partial \; k\; \ell \; \partial \; km\; \approx \; 1\; м\; +\; 2\; E\; gm\; 2\; \sum \; m,\; n\; ⟨uc,\; 0\; |\; p\; \ell \; |\; u\; n,\; 0⟩\; ⟨u\; n,\; 0\; |\; п\; м\; |\; uc,\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{m\}\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; =\; \{\{1\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \{\{\; \backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; E\_\; \{c\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{k\}\})\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; partial\; k\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; partial\; k\_\; \{m\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{E\_\; \{g\}\; m\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m,\; \backslash \; n\}\; \{\backslash \; langle\; u\_\; \{c,\; 0\}\; |\; p\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; |\; u\_\; \{n,\; 0\}\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; langle\; u\_\; \{n,\; 0\}\; |\; p\_\; \{m\}\; |\; u\_\; \{c,\; 0\}\; \backslash \; rangle\}\}$

Игнорирование деталей матричных элементов приводит к ключевым последствиям: эффективная масса меняется в зависимости от наименьшая запрещенная зона и стремится к нулю, когда щель становится равной нулю. Полезное приближение для матричных элементов в прямозонных полупроводниках:

$2\; E\; g\; m\; 2\; \sum \; m,\; n\; |\; ⟨U\; c,\; 0\; |\; p\; \ell \; |\; u\; n,\; 0⟩\; |\; |\; ⟨U\; c,\; 0\; |\; п\; м\; |\; u\; n,\; 0⟩\; |\; \approx \; 20\; е\; В\; 1\; м\; E\; g,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{E\_\; \{g\}\; m\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m,\; \backslash \; n\}\; \{|\; \backslash \; langle\; u\_\; \{c,\; 0\}\; |\; p\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; |\; u\_\; \{n,\; 0\}\; \backslash \; rangle\; |\}\; \{|\; \backslash \; langle\; u\_\; \{c,\; 0\}\; |\; p\_\; \{m\}\; |\; u\_\; \{n,\; 0\}\; \backslash \; rangle\; |\}\; \backslash \; приблизительно\; 20\; \backslash \; mathrm\; \{eV\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{mE\_\; \{g\}\}\}\; \backslash ,\}$

, который применяется в пределах 15% или лучше к большинству полупроводников групп IV, III-V и II-VI.

В отличие от этого В этом простом приближении в случае энергии валентной зоны необходимо ввести спин-орбитальное взаимодействие (см. ниже), и нужно отдельно рассматривать еще много зон. Расчет представлен в Yu и Cardona. В валентной зоне мобильные носители - это дырки. Было обнаружено, что есть два типа дыр, названные тяжелыми и легкими, с анизотропными массами.

модель k · p со спин-орбитальным взаимодействием

Включая спин-орбитальное взаимодействие, уравнение Шредингера для u:

$H\; kun,\; k\; =\; E\; п,\; кун,\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; u\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; E\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; u\_\; \{n,\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}$

где

$ЧАС\; К\; знак\; равно\; п\; 2\; 2\; м\; +\; \hslash \; мк\; \cdot \; п\; +\; \hslash \; 2\; к\; 2\; 2\; м\; +\; V\; +\; \hslash \; 4\; м\; 2\; с\; 2\; (\nabla \; V\; \times \; (п\; +\; \hslash \; к))\; \cdot \; \sigma \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{m\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; V\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{4m\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; (\backslash \; nabla\; V\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbf\; \{\; p\}\; +\; \backslash \; hbar\; \backslash \; mathbf\; \{k\}))\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$

где $\sigma \; \to \; =\; (\sigma \; x,\; \sigma \; y,\; \sigma \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\; \backslash \; sigma\}\}\; =\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{x\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{z\})\}$- вектор, состоящий из трех матриц Паули. Этот гамильтониан можно подвергнуть тому же анализу теории возмущений, что и выше.

Расчет в вырожденном случае

Для вырожденных или почти вырожденных полос, в частности, валентных зон в некоторых материалах, таких как арсенид галлия, уравнения могут быть проанализированы методами теории вырожденных возмущений. К моделям этого типа относятся «модель Латтинджера – Кона » (также известная как «модель Кона – Латтинджера») и «модель Кейна ".

Как правило, эффективный гамильтониан $H\; eff\; \{\; \backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{eff\}\}\}$, и для первого порядка его матричные элементы могут быть выражены как

$H\; k,\; mneff\; =\; ⟨um,\; 0\; |\; H\; 0\; |\; un,\; 0⟩\; +\; К\; \cdot \; ⟨um,\; 0\; |\; \nabla \; К\; ЧАС\; к\; \text{'}|\; un,\; 0⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\},\; mn\}\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{eff\}\}\; =\; \backslash \; langle\; u\_\; \{m,\; 0\}\; |\; H\_\; \{0\}\; |\; u\_\; \{n,\; 0\}\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; langle\; u\_\; \{m,\; 0\}\; |\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \}\; \text{'}|\; u\_\; \{n,\; 0\}\; \backslash \; rangle\}$

После решения получаются волновые функции и энергетические зоны.