Войти
Гармонический ряд, пронумерованные части 1–5 Play ( помощь информация ). 
В музыке, просто интонация или чисто интонация является попыткой настроиться все музыкальные интервалы как целые числа коэффициентов (например, 3: 2 или 4: 3) частот. Интервал настраивается таким образом, называется чистым, и можно назвать только интервал ; когда он звучит, биения не слышно. Просто интервалы (и аккорды, созданные путем их комбинирования) состоят из элементов единой гармонической серии подразумеваемой основной гармоники.. Например, на схеме ноты G3 и C4 (обозначенные 3 и 4) могут быть настроены как члены гармонического ряда самого низкого C, и в этом случае их частоты будут в 3 и 4 раза больше, чем основная частота и соотношение их интервалов равно 4: 3; они также могут быть настроены по-разному.
В западной музыкальной практике инструменты почти никогда не настраиваются с использованием только чистых интервалов - физика музыки делает это невыполнимым. Некоторые инструменты с фиксированной высотой звука, такие как электрические пианино, обычно настраиваются с использованием одинаковой темперации, в которой все интервалы, кроме октав, состоят из частотных соотношений иррациональных чисел. Акустические пианино обычно настраиваются с немного расширенными октавами и, следовательно, без чистых интервалов.
Системы настройки, которые имеют отношение частот степеней двойки, включают в себя идеальные октавы и, потенциально, октавную транспонируемость.
Пифагорейская настройка, или настройка на 3 предела, также допускает соотношения, включая число 3 и его степени, такие как 3: 2, идеальная квинта, и 9: 4, мажорная девятая часть. Хотя интервал от C до G называется идеальной квинтой для целей музыкального анализа независимо от метода настройки, в целях обсуждения систем настройки музыковеды могут различать идеальную квинту, созданную с использованием соотношения 3: 2, и темперированную квинту с использованием какого-либо другого система, такая как означает один или равный темперамент.
Настройка 5-limit включает в себя соотношения, дополнительно использующие число 5 и его степени, такие как 5: 4, мажорная треть и 15: 8, мажорная седьмая часть. Специализированный термин совершенная треть иногда используется, чтобы отличить соотношение 5: 4 от основных третей, созданных с помощью других методов настройки. В 7-предельных и более высоких системах используются более высокие партиалы в обертонной серии.
Интервал волка интервал которого настройка слишком далеко от всего подобранного эквивалента, как правило, воспринимаются как несогласные и нежелательны.
Запятые - это очень маленькие интервалы, которые возникают в результате незначительных различий между парами простых интервалов. Например, соотношение 5: 4 отличается от пифагорейской (3-предельной) основной трети (81:64) разницей в 81:80, называемой синтонической запятой.
Центы - это мера размера интервала. В 12-тональной равной темперации каждые полушаги составляют 100 центов.
Просто (черное) мажорное и параллельное минорное трезвучие по сравнению с его приближениями равной темперации (серого) внутри хроматического круга. Пифагорейская настройка была приписана Пифагору и Эратосфену более поздними авторами, но, возможно, была проанализирована другими ранними греками или другими ранними культурами. Самое древнее известное описание пифагорейской системы настройки встречается в вавилонских артефактах.
Во втором веке нашей эры Клавдий Птолемей описал 5-предельную диатоническую шкалу в своем влиятельном тексте по теории музыки « Гармоники», которую он назвал «интенсивной диатонической». При заданных соотношениях длин струн 120, 112+1 ⁄ 2, 100, 90, 80, 75, 66+2 ⁄ 3 и 60, Птолемей количественно определил настройку того, что позже будет называться фригийской гаммой (эквивалентной мажорной гамме, начинающейся и заканчивающейся на третьей ноте) - 16:15, 9: 8, 10: 9, 9: 8., 16:15, 9: 8 и 10: 9.
Незападная музыка, особенно построенная на пентатонических гаммах, в основном настраивается с использованием только интонации. В Китае у гуциня есть музыкальная шкала, основанная на позициях гармонических обертонов. Точки на его деке указывают гармонические позиции: 1 ⁄ 8, 1 ⁄ 6, 1 ⁄ 5, 1 ⁄ 4, 1 ⁄ 3, 2 ⁄ 5, 1 ⁄ 2, 3 ⁄ 5, 2 ⁄ 3, 3 ⁄ 4, 4 ⁄ 5, 5 ⁄ 6, 7 ⁄ 8. Индийская музыка имеет обширную теоретическую основу для настройки только на интонацию.
Первичные трезвучия в C Play ( помощь информация ). 
Только что настроенный диатонический звукоряд. Заметные ноты данной шкалы могут быть настроены так, чтобы их частоты образовывали (относительно) небольшие целочисленные отношения.
5-предельная диатоническая мажорная гамма настроена таким образом, что мажорные трезвучия на тонике, субдоминанте и доминанте настроены в пропорции 4: 5: 6, а минорные трезвучия на медианте и субмедианте настроены в пропорции 10: 12:15. Из-за двух размеров целого тона - 9: 8 (основной цельный звук) и 10: 9 (второстепенный цельный звук) - супертонус должен быть микротонально понижен синтонной запятой, чтобы сформировать чистое минорное трезвучие.
5-предельная диатоническая мажорная гамма ( интенсивная диатоническая гамма Птолемея ) до C показана в таблице ниже:
| Примечание | Имя | C | D | E | F | г | А | B | C | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение от C | 1: 1 | 9: 8 | 5: 4 | 4: 3 | 3: 2 | 5: 3 | 15: 8 | 2: 1 | |||||||||
| Гармоника Фундаментальной F | 24 | 27 | 30 | 32 | 36 | 40 | 45 | 48 | |||||||||
| Центов | 0 | 204 | 386 | 498 | 702 | 884 | 1088 | 1200 | |||||||||
| Шаг | Имя | Т | т | s | Т | т | Т | s | |||||||||
| Соотношение | 9: 8 | 10: 9 | 16:15 | 9: 8 | 10: 9 | 9: 8 | 16:15 | ||||||||||
| Центов | 204 | 182 | 112 | 204 | 182 | 204 | 112 | ||||||||||
В этом примере интервал от D до А был бы волк пятый с отношением 40 / 27, около 680 центов, заметно меньше, чем 702 центов чистого 3 / 2 соотношения.
Для правильно настроенного диатонического минорного строя медианта настроена на 6: 5, а субмедиант настроен на 8: 5. Он будет включать настройку 9: 5 для субтона. Например на A:
| Примечание | Имя | А | B | C | D | E | F | г | А | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение от A | 1: 1 | 9: 8 | 6: 5 | 4: 3 | 3: 2 | 8: 5 | 9: 5 | 2: 1 | |||||||||
| Гармонический фундаментальных B ♭ | 120 | 135 | 144 | 160 | 180 | 192 | 216 | 240 | |||||||||
| Центов | 0 | 204 | 316 | 498 | 702 | 814 | 1018 | 1200 | |||||||||
| Шаг | Имя | Т | s | т | Т | s | Т | т | |||||||||
| Соотношение | 9: 8 | 16:15 | 10: 9 | 9: 8 | 16:15 | 9: 8 | 10: 9 | ||||||||||
| Центов | 204 | 112 | 182 | 204 | 112 | 204 | 182 | ||||||||||
Есть несколько способов создать точную настройку двенадцатитоновой шкалы.
Пифагорейская настройка может создать двенадцатитонную шкалу, но это достигается за счет использования отношений очень больших чисел, соответствующих естественным гармоникам, очень высоким в гармоническом ряду, которые не часто встречаются в физических явлениях. В этой настройке используются отношения, включающие только степени 3 и 2, создавая последовательность только из пятых или четвертых, как показано ниже:
| Примечание | G ♭ | D ♭ | А ♭ | E ♭ | B ♭ | F | C | г | D | А | E | B | F ♯ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение | 1024: 729 | 256: 243 | 128: 81 | 32:27 | 16: 9 | 4: 3 | 1: 1 | 3: 2 | 9: 8 | 27:16 | 81:64 | 243: 128 | 729: 512 |
| Центов | 588 | 90 | 792 | 294 | 996 | 498 | 0 | 702 | 204 | 906 | 408 | 1110 | 612 |
Коэффициенты вычисляются относительно C ( базовой ноты). Начиная с C, они получаются перемещением шести шагов (по кругу пятых долей ) влево и шести вправо. Каждый шаг состоит из умножения предыдущего шага по 2 / 3 ( по убыванию пятого), 3 / 2 ( по возрастанию пятого), или их инверсиям ( 3 / 4 или 4 / 3).
Между энгармоническими нотами на обоих концах этой последовательности есть отношение высоты тона 3 12/2 19 знак равно 531441/524288, или около 23 центов, известных как пифагорейская запятая. Чтобы получить двенадцатитонную шкалу, один из них произвольно отбрасывается. Двенадцать оставшихся нот повторяются путем увеличения или уменьшения их частот в степени 2 (размер одной или нескольких октав ) для построения гамм с несколькими октавами (например, клавиатура фортепиано). Недостаток настройки Пифагора является то, что один из двенадцати пятых в этом масштабе плохо настроен и, следовательно, непригодная для использования (в волка пятая, либо F ♯ -D ♭, если G ♭ отбрасывается, или B-G ♭, если Р ♯ отбрасывает). Эта двенадцатитональная шкала довольно близка к равной темперации, но не дает большого преимущества для тональной гармонии, потому что только идеальные интервалы (четвертая, пятая и октавная) достаточно просты, чтобы звучать чисто. Основные трети, например, получают довольно нестабильный интервал 81:64, резкий по сравнению с предпочтительным соотношением 5: 4 при соотношении 81:80. Основная причина его использования заключается в том, что его чрезвычайно легко настроить, поскольку его строительный блок, идеальная квинта, является самым простым и, следовательно, наиболее согласным интервалом после октавы и унисона.
Настройка Пифагора может рассматриваться как «трехпредельная» система настройки, потому что отношения могут быть выражены как произведение целых степеней только целых чисел, меньших или равных 3.
Двенадцатитоновая шкала также может быть создана путем сложения гармоник до пятой, а именно путем умножения частоты данной эталонной ноты ( базовой ноты) на степени 2, 3 или 5 или их комбинацию. Этот метод называется пятипределовой настройкой.
Чтобы построить такую двенадцатитонную гамму (используя C в качестве базовой ноты), мы можем начать с построения таблицы, содержащей пятнадцать высот:
| Фактор | 1 ⁄ 9 | 1 ⁄ 3 | 1 | 3 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | D | А | E | B | F ♯ | Примечание |
| 10: 9 | 5: 3 | 5: 4 | 15: 8 | 45:32 | соотношение | |
| 182 | 884 | 386 | 1088 | 590 | центы | |
| 1 | B ♭ | F | C | г | D | Примечание |
| 16: 9 | 4: 3 | 1: 1 | 3: 2 | 9: 8 | соотношение | |
| 996 | 498 | 0 | 702 | 204 | центы | |
| 1 ⁄ 5 | G ♭ | D ♭ | А ♭ | E ♭ | B ♭ | Примечание |
| 64:45 | 16:15 | 8: 5 | 6: 5 | 9: 5 | соотношение | |
| 610 | 112 | 814 | 316 | 1018 | центы |
Множители, перечисленные в первой строке и столбце, являются степенями 3 и 5 соответственно (например, 1 ⁄ 9 = 3 −2). Цвета обозначают пары энгармонических нот с почти одинаковой высотой. Все отношения выражены относительно C в центре этой диаграммы (базовая нота для этой шкалы). Они вычисляются в два этапа:
Обратите внимание, что степени двойки, используемые на втором этапе, можно интерпретировать как возрастающие или убывающие октавы. Например, умножение частоты ноты на 2-6 означает увеличение ее на 6 октав. Более того, каждая строка таблицы может рассматриваться как последовательность пятых долей (восходящая вправо), а каждый столбец - последовательность главных третей (восходящая вверх). Например, в первой строке таблицы есть восходящая квинта от D и A, а другая (с последующей нисходящей октавой) от A до E. Это предлагает альтернативный, но эквивалентный метод вычисления тех же соотношений. Например, можно получить A, начиная с C, перемещая одну ячейку влево и одну вверх в таблице, что означает уменьшение на одну пятую и увеличение на большую треть:
2/3 × 5/4 знак равно 10/12 знак равно 5/6.Поскольку он ниже C, нужно подняться на октаву вверх, чтобы попасть в желаемый диапазон соотношений (от 1: 1 до 2: 1):
5/6 × 2/1 знак равно 10/6 знак равно 5/3.12-тональная шкала получается удалением одной ноты для каждой пары энгармонических нот. Это может быть сделано, по крайней мере, три способами, которые имеют общее удаление G ♭, согласно конвенции, которая была действителен даже для C на основе пифагорейского и четверть-запятой Медиантных чешуек. Обратите внимание на то, что это уменьшенная квинта, примерно на половину октавы, над тоникой C, которая представляет собой дисгармонический интервал; также его соотношение имеет наибольшие значения в числителе и знаменателе среди всех тонов шкалы, что делает его наименее гармоничным: все причины, по которым его следует избегать.
Это только одна из возможных стратегий пятилимитной настройки. Он заключается в отбрасывании первого столбца таблицы (помеченного « 1 ⁄ 9 »). Полученная 12-тональная шкала показана ниже:
| Асимметричная шкала | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Фактор | 1 ⁄ 3 | 1 | 3 | 9 | ||
| 5 | А | E | B | F ♯ | ||
| 5: 3 | 5: 4 | 15: 8 | 45:32 | |||
| 1 | F | C | г | D | ||
| 4: 3 | 1: 1 | 3: 2 | 9: 8 | |||
| 1 ⁄ 5 | D ♭ | А ♭ | E ♭ | B ♭ | ||
| 16:15 | 8: 5 | 6: 5 | 9: 5 | |||
В приведенной выше таблице для построения базовых соотношений используются только малые степени 3 и 5. Однако его можно легко расширить, используя более высокие положительные и отрицательные степени одних и тех же чисел, например 5 2 = 25, 5 −2 = 1 ⁄ 25, 3 3 = 27 или 3 −3 = 1 ⁄ 27. Масштаб с 25, 35 или даже большим шагом может быть получен путем комбинирования этих основных соотношений.
В индийской музыке используется только диатоническая гамма, описанная выше, хотя есть разные возможности, например, для шестой высоты ( Дха), и дальнейшие модификации могут быть внесены во все высоты, кроме Са и Па.
| Примечание | Сб | Re | Ga | Ма | Па | Дха | Ni | Сб |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение | 1: 1 | 9: 8 | 5: 4 | 4: 3 | 3: 2 | 5: 3 или 27:16 | 15: 8 | 2: 1 |
| Центов | 0 | 204 | 386 | 498 | 702 | 884 или 906 | 1088 | 1200 |
В некоторых отчетах об индийской интонационной системе упоминаются 22 шрути. По мнению некоторых музыкантов, у каждого есть шкала, состоящая из 12 высот и десяти дополнительных (тоник, Шаджа ( Са), и чистая квинта, Панчам ( Па), неприкосновенны):
| Примечание | C | D ♭ | D ♭ | D | D | E ♭ | E ♭ | E | E | F | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение | 1: 1 | 256: 243 | 16:15 | 10: 9 | 9: 8 | 32:27 | 6: 5 | 5: 4 | 81:64 | 4: 3 | 27:20 |
| Центов | 0 | 90 | 112 | 182 | 204 | 294 | 316 | 386 | 408 | 498 | 520 |
| F ♯ | F ♯ | г | А ♭ | А ♭ | А | А | B ♭ | B ♭ | B | B | C |
| 45:32 | 729: 512 | 3: 2 | 128: 81 | 8: 5 | 5: 3 | 27:16 | 16: 9 | 9: 5 | 15: 8 | 243: 128 | 2: 1 |
| 590 | 612 | 702 | 792 | 814 | 884 | 906 | 996 | 1018 | 1088 | 1110 | 1200 |
Когда у нас есть два соотношения для данного названия буквы, у нас есть разница в 81:80 (или 22 цента), которая известна как синтоническая запятая. Симметрию можно увидеть, посмотрев на нее со стороны тоники, затем октавы.
(Это всего лишь один пример объяснения шкалы тонов 22-ruti. Есть много разных объяснений.)
Некоторые фиксированные шкалы и системы только интонации, такие как диатоническая шкала выше, создают волчьи интервалы, когда приблизительно эквивалентная плоская нота заменяется резкой нотой, недоступной в гамме, или наоборот. Вышеупомянутая шкала позволяет второстепенному тону находиться рядом с полутоном, что создает неудобное соотношение 32:27 для D – F, и, что еще хуже, минорный тон рядом с четвертым, что дает 40:27 для D – A. Смещение D до 10: 9 облегчает эти трудности, но создает новые: D – G становится 27:20, а D – B становится 27:16. Эта фундаментальная проблема возникает в любой системе настройки, использующей ограниченное количество нот.
Можно иметь больше ладов на гитаре (или клавиш на пианино) для обработки как As, 9: 8 относительно G и 10: 9 относительно G, так что AC можно играть как 6: 5, в то время как AD все еще может быть сыграно 3: 2. 9: 8 и 10: 9 меньше, чем 1 / 53 октавы друг от друга, так что механические и эксплуатационные соображения, которые сделали этот подход крайне редко. И проблема того, как настроить сложные аккорды, такие как C 6add9 (CEGAD), в типичной 5-предельной интонации, остается нерешенной (например, A может быть 4: 3 ниже D (что делает его 9: 8, если G 1) или 4: 3 выше E (то есть 10: 9, если G равно 1), но не оба одновременно, поэтому одна из четвертей в аккорде должна быть расстроенным волчьим интервалом). Наиболее сложные (добавленные и расширенные) аккорды обычно требуют интервалов, превышающих обычные 5-предельные отношения, чтобы звучать гармонично (например, предыдущий аккорд можно настроить на 8: 10: 12: 13: 18, используя ноту A из 13-я гармоника), что подразумевает еще больше клавиш или ладов. Однако лады могут быть удалены полностью - это, к сожалению, делает тонкую аппликатуру многих аккордов чрезвычайно трудной из-за конструкции и механики человеческой руки - а настройка наиболее сложных аккордов одной интонацией обычно неоднозначна.
Некоторые композиторы намеренно используют эти волчьи интервалы и другие диссонирующие интервалы как способ расширить цветовую палитру тона музыкального произведения. Например, в расширенных фортепианных пьесах «Хорошо настроенное фортепиано » Ламонте Янга и «Арфа нового Альбиона » Терри Райли для музыкального эффекта используется комбинация очень согласных и диссонирующих интервалов. В «Revelation» Майкл Харрисон идет еще дальше и использует темп паттернов ударов, образованных некоторыми диссонирующими интервалами, как неотъемлемую часть нескольких движений.
Для многих инструментов с фиксированной высотой звука, настроенных только на интонацию, невозможно изменить тональность без перенастройки инструмента. Например, если фортепьяно настроено только на интонационные интервалы и минимум волчьих интервалов для клавиши G, то только одна другая клавиша (обычно ми-бемоль) может иметь такие же интервалы, а многие клавиши имеют очень диссонирующий звук. и неприятный звук. Это делает модуляцию внутри пьесы или воспроизведение репертуара пьес в разных тональностях практически невозможным.
Синтезаторы оказались ценным инструментом для композиторов, желающих экспериментировать только с интонацией. Их легко перенастроить с помощью микротюнера. Многие коммерческие синтезаторы предоставляют возможность использовать встроенные только интонационные гаммы или создавать их вручную. Венди Карлос использовала систему в своем альбоме 1986 года Beauty in the Beast, где одна электронная клавиатура использовалась для воспроизведения нот, а другая использовалась для мгновенной установки основной ноты, на которую были настроены все интервалы, что позволяло осуществлять модуляцию. В ее лекционном альбоме 1987 года Secrets of Synthesis есть наглядные примеры разницы в звучании между равным темпераментом и простой интонацией.
Адаптивная чистая интонация настраивает высоту звука отдельных нот так, что некоторая степень чистой интонации может быть достигнута с клавишными инструментами независимо от гармонического контекста. Например, чтобы сохранить только интервалы, ля мажорного аккорда фа может быть сыграна с немного другой высотой звука по сравнению с ля мажорного аккорда Ре. Это невозможно с классическими клавишными инструментами, которые назначают фиксированные частоты всем нотам. Однако современные синтезаторы могут оптимизировать интонацию отдельных нот с помощью интеллектуальных алгоритмов во время музыкального исполнения в реальном времени.
Человеческий голос - один из наиболее часто используемых инструментов с гибкой высотой звука. Высота звука может быть изменена без ограничений и отрегулирована в процессе выступления, без необходимости перенастраивать. Хотя явное использование простой интонации вышло из моды одновременно с ростом использования инструментального аккомпанемента (с сопутствующими ему ограничениями по высоте звука), большинство ансамблей а капелла естественно склонны к использованию простой интонации из-за комфорта ее стабильности. Квартеты парикмахерских - хороший тому пример.
Нефреттированные струнные инструменты из семейства скрипичных (скрипка, альт, виолончель и контрабас) довольно гибки в том, как можно регулировать высоту звука. Струнные инструменты, которые не играют с инструментами с фиксированной высотой тона, как правило, регулируют высоту тона ключевых нот, таких как трети и ведущие тона, так, чтобы высота звука отличалась от одинаковой темперации.
У тромбонов есть слайд, позволяющий произвольно настраивать их во время исполнения. Валторны могут быть настроены путем укорочения или удлинения основного настроечного ползунка на задней панели инструмента, с каждым отдельным поворотным или поршневым слайдом для каждого поворотного или поршневого клапана, а также с помощью правой руки внутри раструба для регулировки высоты звука, нажимая на руки глубже, чтобы заострить ноту, или потянув ее, чтобы сгладить ноту во время игры. Некоторые природные рожки также могут регулировать настройку рукой в колоколе, а корнеты с клапанами, трубы, флюгельгорны, саксхорны, тубы Вагнера и тубы имеют общие и постклапанные настроечные слайды, такие как рожки с клапанами.
Духовые инструменты с клапанами склонны к естественной настройке и должны быть настроены на микронастройку, если требуется одинаковый темперамент.
Другие духовые инструменты, хотя и построены в определенном масштабе, могут быть в определенной степени настроены на микронастройку с помощью амбушюра или корректировки аппликатуры.
Композиторы часто накладывают ограничения на то, насколько сложными могут быть отношения. Например, композитор, который предпочитает писать только интонацией с ограничением до 7, не будет использовать соотношения, в которых используются степени простых чисел больше 7. По этой схеме такие соотношения, как 11: 7 и 13: 6, не будут разрешены, потому что 11 и 13 не может быть выражено как степень этих простых чисел ≤ 7 ( т. Е. 2, 3, 5 и 7).
Хотя может показаться, что простая интонация в ее простейшей форме (5-предел) предполагает обязательно тональную логику, это не обязательно так. В некоторой музыке Крейга Грейди и Дэниела Джеймса Вольфа используются только интонационные гаммы, разработанные Эрвом Уилсоном специально для согласной формы атональности, а во многих ранних произведениях Бена Джонстона, таких как Соната для микротонального фортепиано и струнный квартет № 2, для исключения используется сериализм. преобладание тонального центра.
С другой стороны, такие композиторы, как Ла Монте Янг, Бен Джонстон, Джеймс Тенни, Марк Сабат, Вольфганг фон Швайниц, Майкл Харрисон и Кэтрин Лэмб, искали новую добрую тональность и гармонию, основанную на восприятии и переживании звука, которые не только позволяет использовать более знакомые структуры согласных, но также расширяет их за предел 5 в тонкую и разнообразную сеть отношений между тонами.
Юрий Ландман из атонально подготовленной техники игры на гитаре изобрел тональную интонационную гамму, основанную на добавлении третьего моста под струны. Когда этот мост расположен в узловых позициях гармонической последовательности гитарных струн, громкость инструмента увеличивается, и обертон становится четким, имея отношение согласных к комплементарной противоположной струнной партии, создавая гармонический многофонный тон.
Рис. 1: Легенда об авариях Гельмгольца-Эллиса в пределах 23-х баллов. Первоначально система обозначений для описания шкал была изобретена Гауптманом и модифицирована Гельмгольцем (1877); начальная нота предположительно пифагорейская; «+» ставится между, среди прочего, если следующая нота является только мажорной третью вверх, «-», если это только малая треть; наконец, номера нижних индексов помещаются во вторую ноту, чтобы указать, на сколько синтонических запятых (81:80) нужно убрать. Например, пифагорейская мажорная треть на C - это C + E ( Воспроизвести ( справка информация )), а единственная мажорная треть - C + E 1 ( Воспроизвести ( справка информация )). Похожая система была разработана Карлом Эйтцем и использовалась Барбуром (1951), в которой примечания Пифагора начинались с и добавлялись положительные или отрицательные числа в верхнем индексе, указывающие, на сколько запятых (81:80, синтоническая запятая) нужно откорректировать. Например, пифагорова большая треть на C - это C-E 0, а самая большая треть - C-E -1. Расширение этого Пифагора на основе нотации на более высокие простые числа является системой Гельмгольц / Ellis / Wolf / Monzo из ASCII символов и векторов прайма-фактор мощности, описанные в Monzo в Tonalsoft энциклопедии.
Хотя эти системы позволяют точно указывать интервалы и высоту звука в печати, в последнее время некоторые композиторы разработали методы нотной записи для Just Intonation с использованием обычного пятистрочного нотоносца. Джеймс Тенни, среди прочих, предпочитал комбинировать соотношения JI с отклонениями в центах от равной темперированной высоты звука, указанной в легенде или непосредственно в партитуре, что позволяло исполнителям при желании легко использовать электронные устройства настройки.
Начиная с 1960-х годов Бен Джонстон предложил альтернативный подход, переопределив понимание обычных символов (семь «белых» нот, диез и бемоль) и добавив дополнительные случайности, каждая из которых была разработана для расширения обозначения до более высоких пределов простых чисел. Его запись «начинается с итальянских определений интервалов XVI века и продолжается оттуда». Нотация Джонстона основана на диатонической шкале до мажор, настроенной в JI (рис. 4), в которой интервал между D (9: 8 выше C) и A (5: 3 выше C) на одну синтоническую запятую меньше пифагорейского перфекта. пятый 3: 2. Чтобы написать идеальную пятую часть, Джонстон вводит пару символов + и - снова, чтобы представить эту запятую. Таким образом, серия идеальных квинт, начинающаяся с F, продолжится CGD A + E + B +. Три обычные белые ноты AEB настроены как мажорные трети Птолемея (5: 4) над FCG соответственно. Джонстон вводит новые символы для семеричного ( 
amp; 
), недесятичного ( ↑ и ↓), трехдесятичного ( 
amp; 
) и других расширений простых чисел, чтобы создать случайную точную нотацию JI для того, что он назвал "Расширенной простой интонацией" ( рис. 2 и рис. 3). Например, Пифагор основные третий на С С + в то время как только что главная треть СЕ ♮ (рис. 4).
Рис. 2: Штатные обозначения частей 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19 на C с использованием обозначения Джонстона Play ( справка информация ). 
Рис. 3: Только гармонический септаккорд (4: 5: 6: 7: 8) на C Play ( справка информация ) в нотации Джонстона. Размер 7 составляет 968.826 центов: 48.77 центов понизить, чем B ♭ настроенных 9: 5 выше C. В 2000–2004 годах Марк Сабат и Вольфганг фон Швайниц работали в Берлине над разработкой другого метода, основанного на случайности, - расширенной нотации высоты звука Гельмгольца-Эллиса JI. Следуя методу обозначений, предложенному Гельмгольцем в его классике « Об ощущениях тона как физиологической основе теории музыки», включая изобретение Эллиса центов и продолжая шаг Джонстона в «Расширенном JI», Сабат и Швайниц предлагают уникальные символы ( случайные) для каждого простого измерения гармонического пространства. В частности, обычные бемоль, натуральный и диез определяют пифагорейскую серию идеальных квинт. Затем пифагорейские ноты соединяются с новыми символами, которые комбатически изменяют их, чтобы представить различные другие части гармонического ряда (рис. 1). Чтобы облегчить быструю оценку высоты тона, могут быть добавлены показания в центах (например, отклонения вниз ниже и отклонения вверх выше соответствующих случайных значений). Обычно используемое соглашение заключается в том, что центовые отклонения относятся к умеренной высоте тона, подразумеваемой плоским, естественным или острым. Полная легенда и шрифты для обозначений (см. Примеры) имеют открытый исходный код и доступны на веб-сайте Plainsound Music Edition. Например, основная треть Пифагора на C - это CE ♮, а только большая треть - CE ♮ ↓ (см. Рисунок 4 для «комбинированного» символа).
Рис. 4: Сравнение питч-нотации Гельмгольца-Эллиса JI и нотации Джонстона. Неизмененные натуральные символы в Helmholtz-Ellis при желании могут быть опущены. 
Рис.5: Только гармонический тринадцатый аккорд (4: 5: 6: 7: 9: 11: 13) на G в сагиттальной нотации (с мнемоникой) Сагиттальная нотация (от латинского sagitta, «стрелка») - это система случайных чисел, похожих на стрелки, которые указывают на изменение тонов в пифагорейском ряду через запятую простых чисел. Он используется для обозначения как простой интонации, так и одинаковых темпераментов. Размер символа указывает размер изменения.
Большим преимуществом таких систем обозначений является то, что они позволяют точно записать естественный гармонический ряд. В то же время они обеспечивают некоторую степень практичности за счет расширения обозначений персонала, поскольку традиционно обученные исполнители могут опираться на свою интуицию для приблизительной оценки высоты звука. Этому можно противопоставить более абстрактное использование соотношений для представления высоты звука, при котором величина, на которую различаются две высоты звука, и «направление» изменения могут быть не сразу очевидны для большинства музыкантов. Одно предостережение - это требование к исполнителям выучить и усвоить (большое) количество новых графических символов. Однако использование уникальных символов снижает гармоническую неоднозначность и потенциальную путаницу, возникающую при указании только центовых отклонений.
Просто интонация ( справка информация ) Ля мажор, за ней следуют три основных трезвучия, а затем последовательность квинт в простой интонации. Равный темперамент ( справка информация ) Ля-мажор, за которым следуют три основных трезвучия, а затем последовательность квинт в одинаковом темпераменте. Избиение в этом файле может быть более заметным после прослушивания указанного выше файла. Равная темперация и сравнение интонаций ( справка информация ) Пара мажорных третей, за которыми следует пара полных мажорных аккордов. Первые в каждой паре имеют равный темперамент; второй - в интонации. Звук фортепиано. Равная темперация и ровная интонация по сравнению с прямоугольной формой волны ( справка информация ) Пара мажорных аккордов. Первый в равном темпераменте; второй - в интонации. Пара аккордов повторяется с переходом от равной темперации к интонации между двумя аккордами. В аккордах одинаковой темперацииможно услышатьгрубость или биение на частотах около 4 Гц и около 0,8 Гц. В интонационной триаде такой грубости нет. Сигнал прямоугольной формы делает разницу между равнотемперированным и только интонацией более очевидной.