Теорема Якобсона – Бурбаки
редактировать
Теорема используется для распространения теории Галуа на расширения полей, которые требуют не быть отделимым
В алгебре теорема Джекобсона – Бурбаки - это теорема, используемая для расширения теории Галуа на расширения поля, которые не должны быть отделяемый. Он был введен Натаном Джейкобсоном (1944) для коммутативных полей и расширен на некоммутативные поля Якобсоном (1947), и Анри Картан (1947), который приписал результат неопубликованной работе Николя Бурбаки. Расширение теории Галуа на нормальные расширения называется соответствием Якобсона – Бурбаки, которое заменяет соответствие между некоторыми подполями поля и некоторыми подгруппами Группа Галуа по соответствию между некоторыми подгруппами тела тела и некоторыми подалгебрами алгебры.
Из теоремы Джекобсона – Бурбаки следует как обычное соответствие Галуа для подполей расширения Галуа, так и соответствие Галуа Якобсона для подполей чисто неотделимого расширения экспоненты не более 1.
Заявление
Предположим, что L является делительным кольцом. Теорема Джекобсона – Бурбаки утверждает, что существует естественное соответствие 1: 1 между:
- Делительными кольцами K в L конечного индекса n (другими словами, L - конечномерное левое векторное пространство над K).
- K-алгебры с единицей конечной размерности n (как K-векторные пространства), содержащиеся в кольце эндоморфизмов аддитивной группы K.
Кольцо подгрупп и соответствующая подалгебра являются коммутантами друг друга.
Якобсон (1956, глава 7.2) дал расширение на подгруппы тел, которые могут иметь бесконечный индекс, которые соответствуют замкнутым подалгебрам в конечной топологии.
Ссылки
- Картан, Анри (1947), «Принципы теории теории Галуа для коммутационных корпусов без необходимости», Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 224 : 249–251, MR 0020983
- Картан, Анри (1947), «Теория Галуа для некоммутативных корпусов», Научные Анналы École Normale Supérieure, Série 3, 64 : 59–77, doi : 10.24033 / asens.942, ISSN 0012-9593, MR 0023237
- Джейкобсон, Натан (1944), «Теория Галуа чисто неразделимых полей экспоненты один», American Journal of Mathematics, 66(4): 645– 648, doi : 10.2307 / 2371772, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371772, MR 0011079
- Джейкобсон, Натан (1947), «Примечание о делительных кольцах», Американский журнал математики, 69(1): 27–36, doi : 10.2307 / 2371651, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371651, MR 0020981
- Джейкобсон, Натан (1956), Структура колец, American M at Mathematical Society, Colloquium Publications, 37, Providence, RI: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1037-8, MR 0081264
- Джейкобсон, Натан (1964), Лекции по абстрактной алгебре. Том III: Теория полей и теория Галуа, D. Van Nostrand Co., Inc., Принстон, штат Нью-Джерси, Торонто, Онтарио-Лондон-Нью-Йорк, ISBN 978-0 -387-90168-8, MR 0172871
- Креймер, Ф. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press