Передискретизация складного ножа

редактировать

Статистический метод

В статистика, складной нож - это resampli Метод ng особенно полезен для оценки дисперсии и смещения. Складной нож предшествует другим распространенным методам передискретизации, таким как bootstrap. Складной нож оценщик параметра находится путем систематического исключения каждого наблюдения из набора данных и вычисления оценки, а затем нахождения среднего значения этих вычислений. Для выборки размером $n {\ displaystyle n}$ $n$ оценка складного ножа определяется путем агрегирования оценок каждого $(n - 1) {\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ - подвыборка.

Техника складного ножа была разработана Морисом Кенуйем (1924–1973) в 1949 году и усовершенствована в 1956. Джон Тьюки расширил эту технику в 1958 году и предложил название «складной нож», потому что, как и физический складной нож (компактный складной нож), это грубый и готовый инструмент, который может импровизировать решение множества проблем, даже хотя конкретные проблемы могут быть более эффективно решены с помощью специального инструмента.

складной нож - это линейная аппроксимация бутстрапа.

Содержание

1 Оценка
2 Оценка и коррекция смещения
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Оценка

Оценка параметра складным ножом может быть найдена путем оценки параметра для каждой подвыборки без i-го наблюдения. Например, если оцениваемым параметром является среднее значение x для генеральной совокупности, мы вычисляем среднее значение $x ¯ i {\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ ${\ bar {x}} _ {i}$ для каждой подвыборки. состоящий из всех, кроме i-й точки данных:

x ¯ i = 1 n - 1 ∑ j = 1, j ≠ inxj, i = 1,…, n. {\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i} = {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} x_ {j}, \ quad \ quad i = 1, \ dots, n.}

{\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i} = {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} x_ {j}, \ quad \ quad i = 1, \ dots, n.}

Эти n оценок формируют оценку распределения выборочной статистики, если она была вычислена по большому количеству выборок. В частности, среднее значение этого выборочного распределения является средним из этих n оценок:

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x ¯ i. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {x}} _ {i}.}

{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {x}} _ {i}.}

Один может явно показать, что эта $x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ равна обычной оценке $1 n ∑ i = 1 nxi {\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ , поэтому действительная точка появляется в моменты, превышающие среднее значение. Оценка дисперсии оценщика складным ножом может быть рассчитана на основе дисперсии этого распределения $x ¯ i {\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ ${\ bar {x}} _ {i}$ :

Var ⁡ (x ¯) = n - 1 n ∑ i = 1 n (x ¯ i - x ¯) 2 = 1 n (n - 1) ∑ i = 1 n (xi - x ¯) 2. {\ displaystyle \ operatorname {Var} ({\ bar {x}}) = {\ frac {n-1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} ({\ bar {x}} _ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2} = {\ frac {1} {n (n-1)}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Var} ({\ bar {x}}) = {\ frac {n-1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} ( {\ bar {x}} _ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2} = {\ frac {1} {n (n-1)}} \ sum _ {i = 1} ^ { n} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}.}

Оценка и коррекция смещения

Метод складного ножа можно использовать для оценки смещения оценщика, рассчитанного для всей выборки. Скажем, $θ ^ {\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$ $\hat{\theta}$ - вычисляемая оценка интересующего параметра на основе всех $n {\ displaystyle {n}}$ ${n}$ наблюдения. Пусть

θ ^ (.) = 1 n ∑ i = 1 n θ ^ (i) {\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {\ mathrm {(.)}} = {\ Frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ hat {\ theta}} _ {(i)}}

{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {\ mathrm {(.)}} = {\ Frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ шляпа {\ theta}} _ {(i)}}

где $θ ^ (i) {\ displaystyle {\ hat { \ theta}} _ {(i)}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {(i)}}$ - оценка интереса, основанная на выборке с удаленным i-м наблюдением и $θ ^ (.) {\ displaystyle {\ hat { \ theta}} _ {\ mathrm {(.)}}}$ ${\ hat {\ theta}} _ {{\ mathrm {(.)}}}$ - это среднее значение этих оценок «без учета единого значения». Оценка смещения складного ножа для $θ ^ {\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$ $\hat{\theta}$ определяется по формуле:

bias ^ (θ) = (n - 1) (θ ^ (.) - θ ^) {\ displaystyle {\ widehat {\ text {bias}}} _ {\ mathrm {(\ theta)}} = (n-1) ({\ hat {\ theta}} _ { \ mathrm {(.)}} - {\ hat {\ theta}})}

{\ displaystyle {\ widehat {\ text {bias}}} _ {\ mathrm {(\ theta)}} = (n -1) ({\ hat {\ theta}} _ {\ mathrm {(.)}} - {\ hat {\ theta}})}

, и результирующая оценка складного ножа со скорректированным смещением $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ t heta$ определяется как :

θ ^ jack = θ ^ - смещение ^ (θ) = n θ ^ - (n - 1) θ ^ (.) {\ Displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {\ text {jack}} = {\ hat {\ theta}} - {\ widehat {\ text {bias}}} _ {\ mathrm {(\ theta)}} = n {\ hat {\ theta}} - (n-1) {\ hat {\ theta}} _ {\ mathrm {(.)}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {\ text {jack}} = {\ hat {\ theta}} - {\ widehat {\ text {bias}}} _ {\ mathrm {(\ theta)}} = n {\ hat {\ theta}} - (n-1) {\ hat {\ theta}} _ {\ mathrm {(.)}} }

Это устраняет смещение в частном случае, когда смещение составляет $O (n - 1) {\ displaystyle O (n ^ {- 1})}$ $O (n ^ {- 1})$ и удаляет его в $O (n - 2) {\ displaystyle O (n ^ {- 2})}$ ${\ displaystyle O (n ^ {- 2}) }$ в других случаях.

См. Также

Ошибка исключения одного элемента

Примечания

Ссылки

Кэмерон, Адриан; Триведи, Правин К. (2005). Микроэконометрика: методы и приложения. Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521848053. CS1 maint: ref = harv (link )
Efron, Bradley ; Stein, Charles (май 1981). "Оценка дисперсии складным ножом". Аналы статистики. 9 (3): 586–596. doi : 10.1214 / aos / 1176345462. JSTOR 2240822. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Эфрон, Брэдли (1982). Складной нож, бутстрап и другие планы повторной выборки. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 9781611970319. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Кенуй, Морис Х. (сентябрь 1949 г.). «Проблемы с выборкой с плоскости». Анналы математической статистики. 20 (3): 355–375. doi : 10.1214 / aoms / 1177729989. JSTOR 2236533.
Кенуй, Морис Х. (1956). «Заметки о предвзятости в оценке». Biometrika. 43 (3-4): 353–360. doi : 10.1093 / biomet / 43.3-4.353. JSTOR 2332914.
Тьюки, Джон У. (1958). "B ias и уверенность в не совсем больших выборках (аннотация) ». Анналы математической статистики. 29 (2): 614. doi :10.1214/aoms/1177706647.