Войти
Что касается истории математики, итальянская школа алгебраической геометрии относится к работам более полувека или более (расцвет примерно 1885–1935 гг.), Выполненным в международном масштабе в области бирациональной геометрии, особенно на алгебраических поверхностях. От 30 до 40 ведущих математиков внесли большой вклад, около половины из них итальянцы. Руководство упало на группы в Риме в Гвидо Кастельнуовы, Федериго Энрикес и Франческо Севери, которые были вовлечены в некоторых из самых глубоких открытий, а также настройки стиля.
Акцент на алгебраических поверхностях - алгебраических многообразий в размерности два-следуют по существу из полной геометрической теории алгебраических кривых (размер 1). Положение в 1870 было то, что теория кривой была объединена с Брилл-Нётеровский теория теорема Римана-Роха во всех ее уточнений ( с помощью детального геометрии тета-делителем ).
Классификация алгебраических поверхностей была смелая и успешной попыткой повторить деление алгебраических кривых их рода г. Разделение кривых соответствует грубой классификации на три типа: g = 0 ( проекционная линия ); g = 1 ( эллиптическая кривая ); и g gt; 1 ( римановы поверхности с независимыми голоморфными дифференциалами). В случае поверхностей классификация Энриквеса делится на пять аналогичных больших классов, три из которых являются аналогами случаев кривых, а еще два ( эллиптические расслоения и поверхности K3, как их теперь называют) относятся к случаю двумерные абелевы разновидности на «средней» территории. Это был, по существу, звук, прорыв набор прозрений, оправился в современном сложном многообразии языка, Кунихико Кодаирой в 1950 - х годах, и уточнена включить мод р явления от Зариски, в Шафаревича школе и других примерно 1960. форме Римана-Роха Теорема о поверхности также была разработана.
Некоторые доказательства, представленные школой, не считаются удовлетворительными из-за фундаментальных трудностей. К ним относятся частое использование бирациональных моделей в трехмерности поверхностей, которые могут иметь неособые модели только тогда, когда они вложены в многомерное проективное пространство. Чтобы избежать этих проблем, была разработана сложная теория работы с линейной системой делителей (по сути, теория линейных расслоений для гиперплоских секций предполагаемых вложений в проективное пространство). Многие современные методы были обнаружены в зародышевой форме, и в некоторых случаях формулировка этих идей выходила за рамки доступного технического языка.
Согласно Guerraggio amp; Nastasi (стр. 9, 2005), Луиджи Кремона «считается основателем итальянской школы алгебраической геометрии». Позже они объясняют, что в Турине сотрудничество Энрико Д'Овидио и Коррадо Сегре «либо их собственными усилиями, либо усилиями их учеников довело итальянскую алгебраическую геометрию до полной зрелости». Бывший ученик Сегре, как писал Х. Ф. Бейкер (1926, стр. 269), Коррадо Сегре «вероятно, был отцом той замечательной итальянской школы, которая так многого достигла в бирациональной теории алгебраических локусов». По этой теме Бригалья и Силиберто (2004) говорят: «Сегре возглавлял и поддерживал школу геометрии, которую Луиджи Кремона основал в 1860 году». Ссылка на проект « Математическая генеалогия» показывает, что с точки зрения итальянских докторских степеней настоящая продуктивность школы началась с Гвидо Кастельнуово и Федериго Энрикес. В США Оскар Зариски вдохновил многих докторов наук.
В список почета школы вошли следующие итальянцы: Джакомо Альбанезе, Эудженио Бертини, Луиджи Кампеделли, Оскар Кизини, Микеле Де Франчис, Паскуале дель Пеццо, Бениамино Сегре, Франческо Севери, Гвидо Заппа (при участии также Джино Фано, Карло Розати, Джузеппе Торелли, Джузеппе Веронезе ).
В другом месте в нем участвовали Х. Ф. Бейкер и Патрик дю Валь (Великобритания), Артур Байрон Кобл (США), Жорж Эмбер и Шарль Эмиль Пикар (Франция), Люсьен Годо (Бельгия), Герман Шуберт и Макс Нётер, а позже Эрих Келер (Германия), Х. Г. Цойтен (Дания).
Все эти фигуры были вовлечены в алгебраическую геометрию, а не в поиски проективной геометрии как синтетической геометрии, которая в рассматриваемый период была огромной (в объемном выражении), но второстепенной темой (если судить по ее важности как исследования).
Новая алгебраическая геометрия, которая пришла на смену итальянской школе, отличалась также интенсивным использованием алгебраической топологии. Основоположником этого направления был Анри Пуанкаре ; в 1930-х годах его разработали Лефшец, Ходж и Тодд. Современный синтез объединил их работы, работы школы Картана и У. Л. Чоу и Кунихико Кодаира, с традиционным материалом.
В первые годы итальянской школы при Кастельнуово стандарты строгости были такими же высокими, как и в большинстве областей математики. При Энрикесе постепенно стало приемлемым использовать несколько более неформальные аргументы вместо полных строгих доказательств, таких как «принцип непрерывности», гласящий, что то, что верно до предела, истинно до предела, утверждение, которое не имело ни строгого доказательства, ни даже точное заявление. Сначала это не имело большого значения, поскольку интуиция Энрикеса была настолько хороша, что по существу все результаты, которые он утверждал, были на самом деле правильными, и использование этого более неформального стиля аргументации позволило ему получить впечатляющие результаты об алгебраических поверхностях. К сожалению, примерно с 1930 года под руководством Севери стандарты точности еще больше снизились до такой степени, что некоторые из заявленных результатов не просто неадекватно доказывались, но были безнадежно ошибочными. Например, в 1934 году Севери утверждал, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но Мамфорд (1968) показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода, а в 1946 году Севери опубликовал статью, в которой утверждалось, что чтобы доказать, что поверхность степени 6 в трехмерном проективном пространстве имеет не более 52 узлов, но секстика Барта имеет 65 узлов. Севери не согласился с тем, что его аргументы были неадекватными, что привело к некоторым ожесточенным спорам относительно статуса некоторых результатов.
Примерно к 1950 году стало слишком трудно сказать, какие из заявленных результатов были правильными, и неформальная интуитивная школа алгебраической геометрии просто рухнула из-за ее неадекватности. Примерно с 1950 по 1980 год предпринимались значительные усилия, чтобы спасти как можно больше от обломков и преобразовать их в строгий алгебраический стиль алгебраической геометрии, установленный Вейлем и Зариски. В частности, в 1960-х годах Кодаира и Шафаревич и его ученики переписали классификацию Энриквеса алгебраических поверхностей в более строгом стиле, а также распространили ее на все компактные комплексные поверхности, в то время как в 1970-х Фултон и Макферсон поставили классические вычисления теории пересечений на строгие методы. основы.
