Обратное гамма-распределение

редактировать
Двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей
Обратное гамма-распределение
Функция плотности вероятности Inv gamma pdf.svg
Кумулятивное распределение функция Inv gamma cdf.svg
Параметрыα>0 {\ displaystyle \ alpha>0}\alpha>0 shape (real ). β>0 {\ displaystyle \ beta>0}\beta>0 масштаб (реальный )
Поддержка x ∈ (0, ∞) {\ displaystyle x \ in (0, \ infty) \!}x \ in (0, \ infty) \!
PDF β α Γ (α) x - α - 1 ехр ⁡ (- β Икс) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ бета ^ {\ альфа}} {\ Гамма (\ альфа)}} х ^ {- \ альфа -1} \ ехр \ влево (- {\ гидроразрыва { \ beta} {x}} \ right)}{\ displaystyle {\ frac {\ beta ^ {\ alpha }} {\ Gamma (\ alpha)}} x ^ {- \ alpha -1} \ exp \ left (- {\ frac {\ beta} {x}} \ right)}
CDF Γ (α, β / x) Γ (α) {\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (\ alpha, \ beta / x)} { \ Гамма (\ alpha)}} \!}{\ frac {\ Gamma (\ alpha, \ beta / x)} {\ Gamma (\ alpha)}} \!
Среднее β α - 1 {\ displaystyle {\ frac {\ beta} {\ alpha -1}} \!}{\ frac {\ beta} {\ alpha -1}} \! для α>1 {\ displaystyle \ alpha>1}\alpha>1
Режим β α + 1 {\ displaystyle {\ frac {\ beta} {\ alpha +1}} \!}{ \ frac {\ beta} {\ alpha +1}} \!
Дисперсия β 2 ( α - 1) 2 (α - 2) {\ displaystyle {\ frac {\ beta ^ {2}} {(\ alpha -1) ^ {2} (\ alpha -2)}} \!}{\ frac {\ beta ^ {2} } {(\ альфа -1) ^ {2} (\ альфа -2)}} \! для α>2 {\ displaystyle \ alpha>2}\alpha>2
Асимметрия 4 α - 2 α - 3 {\ displaystyle {\ frac {4 {\ sqrt {\ alpha -2}}} {\ alpha -3}} \!}{\ frac {4 {\ sqrt {\ alpha -2}}} {\ alpha -3}} \! для α>3 {\ displaystyle \ alpha>3}\alpha>3
Пример. эксцесс 6 (5 α - 11) (α - 3) (α - 4) {\ displaystyle {\ frac {6 (5 \, \ alpha -11)} {(\ alpha -3) (\ alpha - 4)}} \!}{\ displaystyle {\ frac {6 (5 \, \ alpha -11)} {(\ alpha -3) (\ alpha -4)}} \!} для α>4 {\ displaystyle \ alpha>4}\alpha>4
Энтропия

α + ln ⁡ (β Γ (α)) - (1 + α) ψ (α) {\ Displaystyle \ альфа \! + \! \ пер (\ бета \ гамма (\ альфа)) \! - \! (1 \! + \! \ альфа) \ psi (\ альфа)}{\ displaystyle \ alpha \! + \! \ Ln (\ beta \ Gamma (\ alpha)) \! - \! (1 \! + \! \ Alpha) \ psi (\ alpha) }

. (см. функция дигамма )
MGF Не существует.
CF 2 (- i β t) α 2 Γ (α) K α (- 4 i β t) {\ displaystyle {\ frac {2 \ left (-i \ beta t \ right) ^ {\! \! {\ Frac {\ alpha} {2}}}} {\ Gamma (\ alpha)}} K _ {\ alpha} \ left ({ \ sqrt {-4i \ beta t}} \ right)}{\ frac {2 \ left (-i \ beta t \ right) ^ {\! \! {\ frac {\ alpha} {2}}}} {\ Gamma (\ alpha)}} K _ {\ alpha} \ left ({\ sqrt {-4i \ beta t}} \ right)

В теории вероятностей и статистике обратное гамма-распределение является двухпараметрическим семейство непрерывных распределений вероятностей на положительной вещественной прямой, которое является распределением обратной величины переменного распределения в соответствии с гамма-распределением. Возможно, основное применение обратного гамма-распределения находится в байесовской статистике, где распределение возникает как маргинальное апостериорное распределение для неизвестной дисперсии нормального распределения, если используется неинформативный предшествующий, и как аналитически поддающийся обработке сопрягающий предшествующий, если требуется информативный предшествующий.

Однако байесовцы обычно рассматривают альтернативную параметризацию нормального распределения с точки зрения точности, определяемой как обратная дисперсии, что позволяет использовать гамма-распределение непосредственно в качестве сопряженного априорного значения. Другие байесовцы предпочитают параметризовать обратное гамма-распределение иначе, как масштабированное обратное распределение хи-квадрат.

Содержание

  • 1 Характеристика
    • 1.1 Функция плотности вероятности
    • 1.2 Кумулятивная функция распределения
    • 1.3 Моменты
    • 1.4 Характеристическая функция
  • 2 Свойства
  • 3 Связанные распределения
  • 4 Выведение из гамма-распределения
  • 5 Вхождение
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки

Характеристика

Функция плотности вероятности

функция плотности вероятности обратного гамма-распределения определяется на support x>0 {\ displaystyle x>0}x>0

f ( Икс; α, β) знак равно β α Γ (α) (1 / x) α + 1 ехр ⁡ (- β / x) {\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} (1 / x) ^ {\ alpha +1} \ exp \ left (- \ beta / x \ right)}{\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} (1 / x) ^ {\ alpha +1} \ exp \ left (- \ beta / x \ right)}

с shap Параметр e α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha и параметр масштаба β {\ displaystyle \ beta}\держать пари a . Здесь Γ (⋅) {\ displaystyle \ Gamma (\ cdot)}\ Gamma (\ cdot) обозначает гамма-функцию.

в отличие от гамма-распределения, которое содержит в некоторой степени похожее экспоненциальный член, β {\ displaystyle \ beta}\держать пари a является параметром масштаба, поскольку функция распределения удовлетворяет:

f (x; α, β) = f (x / β; α, 1) β {\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {f (x / \ beta; \ alpha, 1)} {\ beta}}}{\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {f (x / \ beta; \ alpha, 1)} {\ beta}}}

Кумулятивная функция распределения

кумулятивная функция распределения - это регуляризованная гамма-функция

F (x; α, β) = Γ (α, β x) Γ (α) = Q (α, β x) {\ Displaystyle F (х; \ альфа, \ бета) = {\ гидроразрыва {\ Gamma \ left (\ alpha, {\ frac {\ beta} {x}} \ right)} {\ Gamma (\ alpha)}} = Q \ left (\ alpha, {\ frac {\ beta} {x}} \ right) \!}F (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {\ Gamma \ left ( \ alpha, {\ frac {\ beta} {x}} \ right)} {\ Gamma (\ alpha)}} = Q \ left (\ alpha, {\ frac {\ beta} {x}} \ right) \ !

где числитель - это верхняя неполная гамма-функция, а знаменатель - гамма-функция. Многие математические пакеты позволяют прямое вычисление Q {\ displaystyle Q}Q , регуляризованной гамма-функции.

Моменты

n-й момент обратного гамма-распределения задается как

E [X n] = β n (α - 1) ⋯ (α - n). {\ displaystyle \ mathrm {E} [X ^ {n}] = {\ frac {\ beta ^ {n}} {(\ alpha -1) \ cdots (\ alpha -n)}}.}{\ displaystyle \ mathrm {E} [X ^ {n}] = {\ frac {\ beta ^ {n}} {(\ alpha -1) \ cdots ( \ alpha -n)}}.}

Характеристика функция

K α (⋅) {\ displaystyle K _ {\ alpha} (\ cdot)}K _ {\ alpha} ( \ cdot) в выражении характеристической функции является модифицированной функцией Бесселя 2-го рода.

Свойства

Для α>0 {\ displaystyle \ alpha>0}\alpha>0 и β>0 {\ displaystyle \ beta>0}\beta>0 ,

E [ln ⁡ (X) ] знак равно пер (β) - ψ (α) {\ displaystyle \ mathbb {E} [\ ln (X)] = \ ln (\ beta) - \ psi (\ alpha) \,}{\ displaystyle \ mathbb {E } [\ ln (X)] = \ ln (\ beta) - \ psi (\ alpha) \,}

и

E [X - 1] = α β, {\ displaystyle \ mathbb {E} [X ^ {- 1}] = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}, \,}{\ displaystyle \ mathbb {E} [X ^ {- 1}] = {\ frac {\ alpha} {\ beta }}, \,}

информационная энтропия равна

H ⁡ (X) = E ⁡ [- ln ⁡ (p (X))] = E ⁡ [- α ln ⁡ (β) + ln ⁡ (Γ (α)) + (α + 1) ln ⁡ (X) + β X] = - α ln ⁡ (β) + ln ⁡ (Γ (α)) + (α + 1) ln ⁡ (β) - (α + 1) ψ ( α) + α = α + ln ⁡ (β Γ (α)) - (α + 1) ψ (α). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {H} (X) = \ operatorname {E} [- \ ln (p (X))] \\ = \ operatorname {E} \ left [- \ alpha \ ln (\ beta) + \ ln (\ Gamma (\ alpha)) + (\ alpha +1) \ ln (X) + {\ frac {\ beta} {X}} \ right] \\ = - \ альфа \ ln (\ beta) + \ ln (\ Gamma (\ alpha)) + (\ alpha +1) \ ln (\ beta) - (\ alpha +1) \ psi (\ alpha) + \ alpha \\ = \ alpha + \ ln (\ beta \ Gamma (\ alpha)) - (\ alpha +1) \ psi (\ alpha). \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ operatorname {H} (X) = \ operatorname {E} [- \ ln (p (X))] \ \ = \ operatorname {E} \ left [- \ alpha \ ln (\ beta) + \ ln (\ Gamma (\ alpha)) + (\ alpha +1) \ ln (X) + {\ frac {\ beta } {X}} \ right] \\ = - \ alpha \ ln (\ beta) + \ ln (\ Gamma (\ alpha)) + (\ alpha +1) \ ln (\ beta) - (\ alpha + 1) \ psi (\ alpha) + \ alpha \\ = \ alpha + \ ln (\ beta \ Gamma (\ alpha)) - (\ alpha +1) \ psi (\ alpha). \ End {align}} }

где ψ (α) {\ displaystyle \ psi (\ alpha)}\ psi (\ alpha) - дигамма-функция.

Дивергенция Кульбака-Лейблера обратной гаммы (α p, β p) из обратной гаммы (α q, β q) совпадает с KL-дивергенцией гаммы (α p, β p) из гаммы (α q, β q):

DKL (α p, β p; α q, β q) = E [журнал ⁡ ρ (X) π (X)] = E [журнал ⁡ ρ (1 / Y) π (1 / Y)] = E [журнал ⁡ ρ G (Y) π G (Y)], {\ displaystyle D _ {\ mathrm {KL}} (\ alpha _ {p}, \ beta _ {p}; \ alpha _ {q}, \ beta _ {q}) = \ mathbb {E} \ left [\ log { \ frac {\ rho (X)} {\ pi (X)}} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ log {\ frac {\ rho (1 / Y)} {\ pi (1 / Y)}} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ log {\ frac {\ rho _ {G} ( Y)} {\ pi _ {G} (Y)}} \ right],}{\ displaystyle D _ {\ mathrm {KL }} (\ alpha _ {p}, \ beta _ {p}; \ alpha _ {q}, \ beta _ {q}) = \ mathbb {E} \ left [\ log {\ frac {\ rho (X)} {\ pi (X)}} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ log {\ frac {\ rho (1 / Y)} {\ pi (1 / Y)}} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ log {\ frac {\ rho _ {G} (Y)} {\ pi _ {G} (Y)}} \ right],}

где ρ, π {\ displaystyle \ rho, \ pi}{\ displaystyle \ rho, \ pi} - PDF-файлы Обратные гамма-распределения и ρ G, π G {\ displaystyle \ rho _ {G}, \ pi _ {G}}{\ displaystyle \ rho _ {G}, \ pi _ {G}} являются PDF-файлами гамма-распределений, Y {\ displaystyle Y}Y - это распределенная гамма (α p, β p).

DKL (α p, β p; α q, β q) = (α p - α q) ψ (α p) - log ⁡ Γ (α p) + log ⁡ Γ (α q) + α q ( журнал ⁡ β p - журнал ⁡ β q) + α p β q - β p β p. {\ displaystyle {\ begin {align} D _ {\ mathrm {KL}} (\ alpha _ {p}, \ beta _ {p}; \ alpha _ {q}, \ beta _ {q}) = {} (\ alpha _ {p} - \ alpha _ {q}) \ psi (\ alpha _ {p}) - \ log \ Gamma (\ alpha _ {p}) + \ log \ Gamma (\ alpha _ {q}) + \ alpha _ {q} (\ log \ beta _ {p} - \ log \ beta _ {q}) + \ alpha _ {p} {\ frac {\ beta _ {q} - \ beta _ {p }} {\ beta _ {p}}}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} D _ {\ mathrm {KL}} (\ alpha _ {p}, \ beta _ {p} ; \ alpha _ {q}, \ beta _ {q}) = {} (\ alpha _ {p} - \ alpha _ {q}) \ psi (\ alpha _ {p}) - \ log \ Gamma ( \ alpha _ {p}) + \ log \ Gamma (\ alpha _ {q}) + \ alpha _ {q} (\ log \ beta _ {p} - \ log \ beta _ {q}) + \ alpha _ {p} {\ frac {\ beta _ {q} - \ beta _ {p}} {\ beta _ {p}}}. \ end {align}}}

Связанные распределения

  • Если X ∼ Inv-Gamma (α, β) {\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma}} (\ alpha, \ beta)}X \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma}} (\ alpha, \ beta) , затем k X ∼ Inv-Gamma (α, k β) {\ displaystyle kX \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma} } (\ alpha, k \ beta) \,}kX \ sim {\ t_dv {Inv -Гамма}} (\ alpha, k \ beta) \,
  • Если X ∼ Inv-Gamma (α, 1 2) {\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma}} (\ alpha, { \ tfrac {1} {2}})}X \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma}} (\ alpha, {\ tfrac {1} {2}}) , затем X ∼ Inv- χ 2 (2 α) {\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Inv -}} \ chi ^ {2 } (2 \ alpha) \,}X \ sim {\ t_dv {Inv -}} \ chi ^ {2} (2 \ alpha) \, (распределение обратного хи-квадрат )
  • Если X ∼ Inv-Gamma (α 2, 1 2) {\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma }} ({\ tfrac {\ alpha} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}X \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {\ alpha} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}) тогда X ∼ Scaled Inv- χ 2 (α, 1 α) {\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Scaled Inv -}} \ chi ^ {2} (\ альфа, {\ tfrac {1} {\ alpha}}) \,}X \ sim {\ t_dv {Scaled Inv -}} \ chi ^ {2} (\ alpha, {\ tfrac {1} { \ alpha}}) \, (масштабированное обратное распределение хи-квадрат )
  • Если X ∼ Inv-Gamma (1 2, c 2) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}X \ sim {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}}) , затем X ∼ Levy ( 0, c) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (0, c) \,}X \ sim {\ textrm {Levy}} (0, c) \, (распределение Леви )
  • Если X ∼ Inv-Gamma (1, c) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Inv-Gamma}} (1, c)}{\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Inv-Gamma}} (1, c)} , затем 1 X ∼ Exp (c) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {X}} \ sim {\ textrm {Exp}} (c) \,}{\ displaystyle {\ tfrac {1} {X}} \ sim {\ textrm {Exp}} (c) \,} (Экспоненциальное распределение )
  • Если X ∼ Gamma (α, β) {\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Gamma}} (\ alpha, \ beta) \,}X \ sim \ t_dv {Gamma} (\ alpha, \ beta) \, (Гамма-распределение с параметром скорости β {\ displaystyle \ beta}\держать пари a ), затем 1 X ∼ Inv-Gamma (α, β) { \ displaystyle {\ tfrac {1} {X}} \ sim {\ t_dv {Inv-Gamma}} (\ alpha, \ beta) \,}\ tfrac {1} {X} \ sim \ t_dv {Inv-Gamma} (\ alpha, \ beta) \, (подробности см. в выводе в следующем абзаце)
  • Обратите внимание, что если X ~ Gamma (k, θ) (гамма-распределение с параметром масштаба θ), то 1 / X ~ Inv-Gamma (k, θ)
  • Обратное гамма-распределение является sp частным случаем типа 5 распределение Пирсона
  • A многомерное обобщением обратного гамма-распределения является обратное распределение Уишарта.
  • Для распределения суммы независимых инвертированных гамма-переменных см. Витковский ( 2001)

Вывод из гамма-распределения

Пусть X ∼ Gamma (α, β) {\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Gamma}} (\ alpha, \ beta)}{\ displaystyle X \ sim {\ t_dv {Gamma}} (\ alpha, \ beta)} , и напомним, что pdf-файл гамма-распределения равен

f X (x) = β α Γ (α) x α - 1 e - β x {\ displaystyle f_ {X } (x) = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} x ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta x}}{\ displaystyle f_ { X} (x) = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} x ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta x}} , x>0 { \ displaystyle x>0}x>0 .

Обратите внимание, что β {\ displaystyle \ beta}\держать пари a - это параметр скорости с точки зрения гамма-распределения.

Определите преобразование Y = g (X) = 1 X {\ displaystyle Y = g (X) = {\ tfrac {1} {X}}}{\ displaystyle Y = g (X) = {\ tfrac {1} {X}}} . Тогда pdf-файл Y {\ displaystyle Y}Y равен

f Y (y) = f X (g - 1 (y)) | d d y g - 1 (y) | = β α Γ (α) (1 y) α - 1 exp ⁡ (- β y) 1 y 2 = β α Γ (α) (1 y) α + 1 exp ⁡ (- β y) = β α Γ ( α) (Y) - α - 1 ехр ⁡ (- β Y) {\ Displaystyle {\ begin {align} f_ {Y} (y) = f_ {X} \ left (g ^ {- 1} (y) \ right) \ left | {\ frac {d} {dy}} g ^ {- 1} (y) \ right | \\ [6pt] = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ left ({\ frac {1} {y}} \ right) ^ {\ alpha -1} \ exp \ left ({\ frac {- \ beta} {y}} \ right) { \ frac {1} {y ^ {2}}} \\ [6pt] = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ left ({\ frac {1} {y}} \ right) ^ {\ alpha +1} \ exp \ left ({\ frac {- \ beta} {y}} \ right) \\ [6pt] = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ left (y \ right) ^ {- \ alpha -1} \ exp \ left ({\ frac {- \ beta} {y}} \ right) \\ [ 6pt] \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Y} (y) = f_ {X} \ left (g ^ {- 1} (y) \ right) \ left | {\ frac {d} {dy}} g ^ { -1} (y) \ right | \\ [6pt] = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ left ({\ frac {1} {y}} \ right) ^ {\ alpha -1} \ exp \ left ({\ frac {- \ beta} {y}} \ right) {\ frac {1} {y ^ {2}}} \\ [6pt] = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ left ({\ frac {1} {y}} \ right) ^ {\ alpha +1} \ exp \ left ( {\ frac {- \ beta} {y}} \ right) \\ [6pt] = {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ left (y \ right) ^ {- \ alpha -1} \ exp \ left ({\ frac {- \ beta} {y}} \ right) \\ [6pt] \ end {align}}}

Обратите внимание, что β {\ displaystyle \ beta}\держать пари a - это параметр масштаба с точки зрения обратного гамма-распределения.

Возникновение

См. Также

Ссылки

  • Hoff, P. (2009). «Первый курс байесовских статистических методов». Спрингер.
  • Витковский В. (2001). «Вычисление распределения линейной комбинации инвертированных гамма-переменных». Кибернетика. 37 (1): 79–90. MR 1825758. Zbl 1263.62022.
Последняя правка сделана 2021-05-24 05:40:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте