Двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей
В теории вероятностей и статистике обратное гамма-распределение является двухпараметрическим семейство непрерывных распределений вероятностей на положительной вещественной прямой, которое является распределением обратной величины переменного распределения в соответствии с гамма-распределением. Возможно, основное применение обратного гамма-распределения находится в байесовской статистике, где распределение возникает как маргинальное апостериорное распределение для неизвестной дисперсии нормального распределения, если используется неинформативный предшествующий, и как аналитически поддающийся обработке сопрягающий предшествующий, если требуется информативный предшествующий.
Однако байесовцы обычно рассматривают альтернативную параметризацию нормального распределения с точки зрения точности, определяемой как обратная дисперсии, что позволяет использовать гамма-распределение непосредственно в качестве сопряженного априорного значения. Другие байесовцы предпочитают параметризовать обратное гамма-распределение иначе, как масштабированное обратное распределение хи-квадрат.
Содержание
- 1 Характеристика
- 1.1 Функция плотности вероятности
- 1.2 Кумулятивная функция распределения
- 1.3 Моменты
- 1.4 Характеристическая функция
- 2 Свойства
- 3 Связанные распределения
- 4 Выведение из гамма-распределения
- 5 Вхождение
- 6 См. Также
- 7 Ссылки
Характеристика
Функция плотности вероятности
функция плотности вероятности обратного гамма-распределения определяется на support
с shap Параметр e и параметр масштаба . Здесь обозначает гамма-функцию.
в отличие от гамма-распределения, которое содержит в некоторой степени похожее экспоненциальный член, является параметром масштаба, поскольку функция распределения удовлетворяет:
Кумулятивная функция распределения
кумулятивная функция распределения - это регуляризованная гамма-функция
где числитель - это верхняя неполная гамма-функция, а знаменатель - гамма-функция. Многие математические пакеты позволяют прямое вычисление , регуляризованной гамма-функции.
Моменты
n-й момент обратного гамма-распределения задается как
Характеристика функция
в выражении характеристической функции является модифицированной функцией Бесселя 2-го рода.
Свойства
Для и ,
и
информационная энтропия равна
где - дигамма-функция.
Дивергенция Кульбака-Лейблера обратной гаммы (α p, β p) из обратной гаммы (α q, β q) совпадает с KL-дивергенцией гаммы (α p, β p) из гаммы (α q, β q):
где - PDF-файлы Обратные гамма-распределения и являются PDF-файлами гамма-распределений, - это распределенная гамма (α p, β p).
Связанные распределения
- Если , затем
- Если , затем (распределение обратного хи-квадрат )
- Если тогда (масштабированное обратное распределение хи-квадрат )
- Если , затем (распределение Леви )
- Если , затем (Экспоненциальное распределение )
- Если (Гамма-распределение с параметром скорости ), затем (подробности см. в выводе в следующем абзаце)
- Обратите внимание, что если X ~ Gamma (k, θ) (гамма-распределение с параметром масштаба θ), то 1 / X ~ Inv-Gamma (k, θ)
- Обратное гамма-распределение является sp частным случаем типа 5 распределение Пирсона
- A многомерное обобщением обратного гамма-распределения является обратное распределение Уишарта.
- Для распределения суммы независимых инвертированных гамма-переменных см. Витковский ( 2001)
Вывод из гамма-распределения
Пусть , и напомним, что pdf-файл гамма-распределения равен
- , .
Обратите внимание, что - это параметр скорости с точки зрения гамма-распределения.
Определите преобразование . Тогда pdf-файл равен
Обратите внимание, что - это параметр масштаба с точки зрения обратного гамма-распределения.
Возникновение
См. Также
Ссылки
- Hoff, P. (2009). «Первый курс байесовских статистических методов». Спрингер.
- Витковский В. (2001). «Вычисление распределения линейной комбинации инвертированных гамма-переменных». Кибернетика. 37 (1): 79–90. MR 1825758. Zbl 1263.62022.