Последовательность чередования

В математике последовательность чередования получается путем объединения двух последовательности через в случайном порядке.

Пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет набором, и пусть $(xi)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{i\})\}$и $(yi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\_\; \{i\})\}$, $i\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots,\}$- две последовательности в $S.\; \{\backslash \; displaystyle\; S.\}$Последовательность чередования определяется как последовательность $x\; 0,\; y\; 0,\; x\; 1,\; y\; 1,\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\},\; x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; dots.\}$Формально это последовательность $(zi),\; i\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; (z\_\; \{i\}),\; i\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$задано как

$zi:\; =\; \{xi\; /\; 2,\; если\; i\; четно,\; y\; (i\; -\; 1)\; /\; 2,\; если\; i\; нечетное.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{i\}:\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; x\_\; \{i\; /\; 2\}\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; i\; \{\backslash \; text\; \{четно,\}\}\; \backslash \backslash \; y\; \_\; \{(i-1)\; /\; 2\; \}\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; i\; \{\backslash \; text\; \{нечетное.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

• Последовательность чередования $(zi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (z\_\; \{i\})\}$является конвергентным тогда и только тогда, когда последовательности $(xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{i\})\}$и $(yi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\_\; \{i\})\}$сходятся и имеют одинаковый предел.
• Рассмотрим два вещественных числа a и b больше нуля и меньше 1. Можно чередовать последовательности цифр a и b, что определит третье число c, также больше нуля и меньше 1. Таким образом получается инъекция от квадрата (0, 1) × (0, 1) до интервала (0, 1). Разные корни вызывают разные инъекции; кривая для двоичных чисел называется кривой Z-порядка или кодом Мортона.

Эта статья включает материал из последовательности Interleave на PlanetMath, которая под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.