Стабильность от входа к состоянию

редактировать

Стабильность от входа к состоянию (ISS) - это понятие стабильности, широко используемое для изучения устойчивости нелинейных системы управления с внешними входами. Грубо говоря, система управления является ISS, если она глобально асимптотически устойчива при отсутствии внешних входов и если ее траектории ограничены функцией размера входа для всех достаточно больших времен. Важность ISS обусловлена тем фактом, что эта концепция устранила разрыв между и методами пространства состояний, широко используемыми в сообществе систем управления. Понятие ISS было введено Эдуардо Зонтаг в 1989 году.

Содержание

1 Определение
2 Характеристики свойства стабильности между входом и состоянием
3 Функции ISS-Ляпунова
4 Примеры
5 Соединения систем ISS
- 5.1 Каскадные соединения
- 5.2 Соединения обратной связи
6 Связанные концепции устойчивости
- 6.1 Интегральная ISS (iISS)
- 6.2 Локальная ISS (LISS)
- 6.3 Другие понятия устойчивости
7 ISS систем с запаздыванием
8 ISS других классов систем
9 Ссылки

Определение

Рассмотрим инвариантную во времени систему обыкновенные дифференциальные уравнения вида

x ˙ = f (x, u), x (t) ∈ R n, {\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, u), \ x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (х, и), \ х (т) \ в \ mathbb {R} ^ {n},}

(1)

где $u: R + → R m {\ displaystyle u: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ - измеримый по Лебегу существенно ограниченный внешний вход и $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это непрерывная липшицева функция wr т. первый аргумент равномерно относительно второй. Это гарантирует, что существует единственное абсолютно непрерывное решение системы (1).

Для определения ISS и связанных свойств мы используем следующие классы функций сравнения. Обозначим $K {\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ mathcal {K}}$ набор непрерывно возрастающих функций $γ: R + → R + {\ displaystyle \ gamma: \ mathbb {R } _ {+} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ gamma: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ с $γ (0) = 0 {\ displaystyle \ gamma (0) = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma (0) = 0}$ . Множество неограниченных функций $γ ∈ K {\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ мы обозначаем $K ∞ {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ . Также мы обозначаем $β ∈ KL {\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ , если $β (⋅, t) ∈ K { \ displaystyle \ beta (\ cdot, t) \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ бета (\ cdot, t) \ in {\ mathcal {K}}}$ для всех $t ≥ 0 {\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ и $β (r, ⋅) {\ displaystyle \ beta (r, \ cdot)}$ ${\ displaystyle \ beta (г, \ cdot)}$ непрерывно и строго убывает до нуля для всех $r>0 {\ displaystyle r>0}$ $r>0$ .

Система (1) называется глобально асимптотически устойчивой в нуле (0-GAS), если соответствующая система с нулевым входом

x ˙ = f (x, 0), x ( t) ∈ R N, {\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, 0), \ x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, 0), \ икс (т) \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

(без входов)

глобально асимптотически стабильно, то есть существует $β ∈ KL {\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ так что для всех начальных значений $x 0 {\ displaystyle x _ {0}}$ $x_ {0}$ и всегда $t ≥ 0 {\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ следующая оценка действительна для решений (WithoutInputs )

| x (t) | ≤ β (| x 0 |, t). {\ displaystyle | x (t) | \ leq \ beta (| x_ {0} |, t).}

{\ стиль отображения | х (т) | \ Leq \ бета (| х_ {0 } |, t).}

(GAS-Estimate)

Система (1) называется для ввода -state stable (ISS), если существуют функции $γ ∈ K {\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ и $β ∈ KL {\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ так, чтобы для всех начальных значений $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ , все допустимые входы $u {\ displaystyle u}$ $u$ и все времена $t ≥ 0 {\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ выполняется следующее неравенство

| x (t) | ≤ β (| x 0 |, t) + γ (‖ u ‖ ∞). {\ displaystyle | x (t) | \ leq \ beta (| x_ {0} |, t) + \ gamma (\ | u \ | _ {\ infty}).}

{\ displaystyle | x (t) | \ leq \ beta (| x_ {0} |, t) + \ гамма (\ | u \ | _ {\ infty}).}

(2)

функция $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ в приведенном выше неравенстве называется усилением .

Очевидно, что система ISS является 0-GAS, а также стабильной BIBO (если поставить вывод равным состоянию системы). Обратное утверждение в общем неверно.

Также можно доказать, что если $| u (t) | → 0 {\ displaystyle | u (t) | \ к 0}$ ${\ displaystyle | u (t) | \ к 0}$ , как $t → ∞ {\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ , затем $| x (t) | → 0 {\ displaystyle | x (t) | \ to 0}$ ${\ displaystyle | x (t) | \ to 0}$ , $t → ∞ {\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ .

Характеристики свойства стабильности от ввода к состоянию

Для понимание ISS, ее переформулировки с точки зрения других свойств устойчивости имеют большое значение.

Система (1) называется глобально стабильной (GS), если существует $γ, σ ∈ K {\ displaystyle \ gamma, \ sigma \ in {\ mathcal { K}}}$ ${\ displaystyle \ gamma, \ sigma \ in {\ mathcal {K}}}$ такой, что $∀ x 0 {\ displaystyle \ forall x_ {0}}$ ${\ displaystyle \ forall x_ {0}}$ , $∀ u {\ displaystyle \ forall u}$ ${\ displaystyle \ forall u}$ и $∀ t ≥ 0 {\ displaystyle \ forall t \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ forall t \ geq 0}$ он считает, что

| x (t) | ≤ σ (| x 0 |) + γ (‖ u ‖ ∞). {\ displaystyle | x (t) | \ leq \ sigma (| x_ {0} |) + \ gamma (\ | u \ | _ {\ infty}).}

{\ displaystyle | x (t) | \ leq \ sigma (| x_ {0} |) + \ gamma (\ | и \ | _ {\ infty}).}

(GS)

Система (1) удовлетворяет свойству асимптотического усиления (AG), если существует $γ ∈ K {\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ : $∀ x 0 {\ displaystyle \ forall x_ {0}}$ ${\ displaystyle \ forall x_ {0}}$ , $∀ u {\ displaystyle \ forall u}$ ${\ displaystyle \ forall u}$ считается, что

lim sup t → ∞ | x (t) | ≤ γ (‖ u ‖ ∞). {\ displaystyle \ limsup _ {t \ to \ infty} | x (t) | \ leq \ gamma (\ | u \ | _ {\ infty}).}

{\ displaystyle \ limsup _ {t \ to \ infty} | x (t) | \ leq \ gamma (\ | u \ | _ {\ infty}).}

(AG)

Следующие утверждения эквивалент: 1. (1) - это ISS

2. (1) - это GS и имеет свойство AG

3. (1) является 0-GAS и имеет свойство AG

Доказательство этого результата, а также многих других характеристик ISS можно найти в статьях и

функциях ISS-Ляпунова.

Важный инструмент для проверки МКС.

Гладкая функция $V: R n → R + {\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ называется функцией МКС-Ляпунова для (1), если $∃ ψ 1, ψ 2 ∈ K ∞ {\ displaystyle \ exists \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \ in {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ exists \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \ in {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ , $χ ∈ K {\ displaystyle \ chi \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ чи \ ин {\ mathcal {K}}}$ и положительно определенная функция $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , такое, что:

ψ 1 (| x |) ≤ V (x) ≤ ψ 2 (| x |), ∀ x ∈ R n {\ displaystyle \ psi _ {1} (| x |) \ leq V (x) \ leq \ psi _ {2} (| x |), \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ psi _ {1} (| x |) \ leq V (x) \ leq \ psi _ {2} (| х |), \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

и $∀ x ∈ R N, ∀ u ∈ R m {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \; \ forall u \ in \ mathbb {R} ^ {m} }$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \; \ forall u \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ содержит:

| х | ≥ χ (| U |) ⇒ ∇ В ⋅ е (х, и) ≤ - α (| х |), {\ Displaystyle | х | \ GEQ \ чи (| и |) \ \ Rightarrow \ \ набла V \ CDOT f (x, u) \ leq - \ alpha (| x |),}

{\ displaystyle | x | \ geq \ chi (| u |) \ \ Rightarrow \ \ набла В \ cdot е (х, и) \ leq - \ альфа (| х |),}

Функция $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ чи$ называется усиление Ляпунова .

Если система (1) не имеет входных данных (т. е. $u display 0 {\ displaystyle u \ Equiv 0}$ ${\ displaystyle u \ Equiv 0}$ ), то последнее значение сводится к условию

∇ V ⋅ f ( Икс, и) ≤ - α (| Икс |), ∀ Икс ≠ 0, {\ Displaystyle \ набла V \ CDOT F (х, и) \ Leq - \ альфа (| х |), \ \ forall х \ neq 0,}

{\ displaystyle \ nabla V \ cdot f (x, u) \ leq - \ alpha (| x |), \ \ forall x \ neq 0,}

который говорит нам, что $V {\ displaystyle V}$ $V$ является «классической» функцией Ляпунова.

Важным результатом Э. Зонтага и Я. Ванга является что система (1) является ISS тогда и только тогда, когда для нее существует гладкая функция ISS-Ляпунова.

Примеры

Рассмотрим систему

x ˙ = - x 3 + ux 2. {\ displaystyle {\ dot {x}} = - x ^ {3} + ux ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = - x ^ {3} + ux ^ {2}.}

Определите кандидатную функцию ISS-Ляпунова $V: R → R + {\ displaystyle V: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ по $V (x) = 1 2 x 2, ∀ x ∈ R. {\ Displaystyle V (x) = {\ frac {1} {2}} x ^ {2}, \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle V (x) = {\ frac {1} {2}} x ^ {2}, \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R}.}$

$V ˙ (x) = ∇ V ⋅ (- х 3 + ux 2) = - x 4 + ux 3. {\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = \ nabla V \ cdot (-x ^ {3} + ux ^ {2}) = - x ^ {4} + ux ^ {3}.}$ ${\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = \ nabla V \ cdot (-x ^ {3} + ux ^ {2}) = - x ^ {4} + ux ^ {3}.}$

Выберите усиление Ляпунова $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ чи$ на

χ (r): = 1 1 - ϵ r {\ displaystyle \ chi (r): = {\ frac { 1} {1- \ epsilon}} r}

{\ displaystyle \ chi (r): = {\ frac {1} {1- \ epsilon}} r}

Тогда получаем, что для $x, u: | х | ≥ χ (| u |) {\ displaystyle x, u: \ | x | \ geq \ chi (| u |)}$ ${ \ displaystyle x, u: \ | x | \ geq \ chi (| u |)}$ удерживает

V ˙ (x) ≤ - | х | 4 + (1 - ϵ) | х | 4 = - ϵ | х | 4. {\ displaystyle {\ dot {V}} (x) \ leq - | x | ^ {4} + (1- \ epsilon) | x | ^ {4} = - \ epsilon | x | ^ {4}.}

{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) \ leq - | x | ^ {4} + (1- \ epsi lon) | x | ^ {4} = - \ epsilon | x | ^ {4}.}

Это показывает, что $V {\ displaystyle V}$ $V$ является функцией ISS-Ляпунова для рассматриваемой системы с коэффициентом усиления Ляпунова $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ чи$ .

Взаимосвязи Системы ISS

Одной из основных особенностей структуры ISS является возможность исследования свойств устойчивости взаимосвязей устойчивых систем, находящихся между входом и состоянием.

Рассмотрим систему, заданную как

{x ˙ i = f i (x 1,…, x n, u), i = 1,…, n. {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dot {x}} _ {i} = f_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u), \ \ i = 1, \ ldots, n. \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dot {x}} _ {i} = f_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u), \\ i = 1, \ ldots, n. \ end {array}} \ right.}

(WholeSys)

Здесь $u ∈ L ∞ (R +, R m) {\ displaystyle u \ in L _ {\ infty} (\ mathbb {R} _ {+}, \ mathbb {R} ^ {m})}$ ${\ displaystyle u \ in L _ {\ infty} (\ mathbb {R} _ {+}, \ mathbb {R} ^ {m})}$ , $xi (t) ∈ R pi {\ displaystyle x_ {i} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {p_ {i}}}$ ${\ displaystyle x_ {i} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {p_ {i}}}$ и $fi {\ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ непрерывны по Липшицу в $xi {\ displaystyle x_ { i}}$ $x_ {i}$ равномерно по отношению к входам от $i {\ displaystyle i}$ $я$ -ой подсистемы.

Для $i {\ displaystyle i}$ $я$ -й подсистемы (WholeSys ) определение функции ISS-Ляпунова можно записать следующим образом.

Гладкая функция $V i: R pi → R + {\ displaystyle V_ {i}: \ mathbb {R} ^ {p_ {i}} \ to \ mathbb {R} _ {+ }}$ ${\ displaystyle V_ {i}: \ mathbb {R} ^ {p_ {i}} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ - функция ISS-Ляпунова (ISS-LF) для $i {\ displaystyle i}$ $я$ -й подсистемы (WholeSys ), если существуют функции $ψ i 1, ψ i 2 ∈ K ∞ {\ displaystyle \ psi _ {i1}, \ psi _ {i2} \ in {\ mathcal {K}} _ { \ infty}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {i1}, \ psi _ { i2} \ in {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ , $χ ij, χ i ∈ K {\ displaystyle \ chi _ {ij}, \ chi _ {i} \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {ij}, \ chi _ {i} \ in {\ mathcal {K}}}$ , $j = 1,…, n {\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ $j = 1, \ ldots, n$ , $j ≠ i {\ displaystyle j \ neq i}$ $j \ neq i$ , $χ ii: = 0 {\ displaystyle \ chi _ {ii}: = 0}$ ${\ displaystyle \ chi _ {ii}: = 0}$ и положительно определенная функция $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {{i}}$ , такая что:

ψ i 1 (| xi |) ≤ V i (xi) ≤ ψ я 2 (| xi |), ∀ xi ∈ R pi {\ displaystyle \ psi _ {i1} (| x_ {i} |) \ leq V_ {i} (x_ {i}) \ leq \ psi _ { i2} (| x_ {i} |), \ quad \ forall x_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {p_ {i}}}

{\ displaystyle \ psi _ {i1} (| x_ {i} |) \ leq V_ {i} (x_ {i}) \ leq \ psi _ {i2} (| x_ {i} |), \ quad \ forall x_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {p_ {i}}}

и $∀ xi ∈ R pi, ∀ u ∈ Р м {\ displaystyle \ forall x_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {p_ {i}}, \; \ forall u \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ forall x_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {p_ {i}}, \; \ forall u \ in \ mathbb {R } ^ {m}}$ выполняется

V i (x i) ≥ max {max j = 1 n χ i j (V j (x j)), χ i (| u |)} ⇒ V i (x i) ⋅ f i (x 1,…, x n, u) ≤ - α i (V i (x i)). {\ displaystyle V_ {i} (x_ {i}) \ geq \ max \ {\ max _ {j = 1} ^ {n} \ chi _ {ij} (V_ {j} (x_ {j})), \ chi _ {i} (| u |) \} \ \ Rightarrow \ \ nabla V_ {i} (x_ {i}) \ cdot f_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u) \ leq - \ alpha _ {i} (V_ {i} (x_ {i})).}

{\ displaystyle V_ {i} (x_ {i}) \ geq \ max \ {\ max _ {j = 1} ^ {n} \ chi _ {ij} (V_ {j} (x_ { j})), \ chi _ {i} (| u |) \} \ \ Rightarrow \ \ nabla V_ {i} (x_ {i}) \ cdot f_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u) \ leq - \ alpha _ {i} (V_ {i} (x_ {i})).}

Каскадные соединения

Каскадные соединения - это особый тип межсоединений, где динамика $i {\ displaystyle i}$ $я$ -я подсистема не зависит от состояний подсистем $1,…, i - 1 {\ displaystyle 1, \ ldots, i-1}$ ${\ displaystyle 1, \ ldots, i-1}$ . Формально каскадное соединение можно записать как

{x ˙ i = f i (x i,…, x n, u), i = 1,…, n. {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dot {x}} _ {i} = f_ {i} (x_ {i}, \ ldots, x_ {n}, u), \ \ i = 1, \ ldots, n. \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dot {x }} _ {i} = f_ {i} (x_ {i}, \ ldots, x_ {n}, u), \\ i = 1, \ ldots, n. \ end {array}} \ right.}

Если все подсистемы указанной выше системы являются ISS, то все каскадные соединения также являются ISS,.

В отличие от каскадов систем ISS, каскадное соединение систем 0-GAS, как правило, не является 0-GAS. Следующий пример иллюстрирует этот факт. Рассмотрим систему, заданную формулой

{x ˙ = - x + y x 2, y ˙ = - y. {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dot {x}} = - x + yx ^ {2}, \\ {\ dot {y}} = - y. \ end {array }} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dot {x}} = - x + yx ^ {2}, \\ {\ dot {y}} = - y. \ end {array}} \ right.}

(Ex_GAS)

Обе подсистемы этой системы являются 0-GAS, но для достаточно больших начальных состояний $(x 0, y 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0})$ и в течение определенного конечного времени $t ∗ {\ displaystyle t ^ {*}}$ $t ^ {*}$ удерживает $x (t) → ∞ { \ displaystyle x (t) \ to \ infty}$ ${\ displaystyle x (t) \ to \ infty}$ для $t → t ∗ {\ displaystyle t \ to t ^ {*}}$ ${\ displaystyle t \ to t ^ {*}}$ , то есть система (Ex_GAS ) отображается и, следовательно, не является 0-GAS.

Взаимосвязи с обратной связью

Структура взаимосвязей подсистем характеризуется внутренними коэффициентами Ляпунова $χ i j {\ displaystyle \ chi _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ чи _ {ij}}$ . Вопрос, является ли соединение (WholeSys ) ISS, зависит от свойств оператора усиления $Γ: R + n → R + n {\ displaystyle \ Gamma: \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma: \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ определяется

Γ (s) : = (max j = 1 n χ 1 j (sj),…, max j = 1 n χ nj (sj)), s ∈ R + n. {\ Displaystyle \ Gamma (s): = \ left (\ max _ {j = 1} ^ {n} \ chi _ {1j} (s_ {j}), \ ldots, \ max _ {j = 1} ^ {n} \ chi _ {nj} (s_ {j}) \ right), \ s \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}.}

{\ displaystyle \ Gamma (s): = \ left (\ max _ {j = 1} ^ {n} \ chi _ {1j} (s_ {j}), \ ldots, \ max _ {j = 1} ^ {n} \ chi _ {nj} (s_ {j}) \ right), \ s \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}.}

Следующая теорема о малом усилении устанавливает достаточное условие для ISS взаимосвязи систем ISS. Пусть $V i {\ displaystyle V_ {i}}$ $V_ {i}$ будет функцией ISS-Ляпунова для $i {\ displaystyle i}$ $я$ -й подсистемы (WholeSys) с соответствующим усилением $χ ij {\ displaystyle \ chi _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ чи _ {ij}}$ , $i = 1,…, n {\ displaystyle i = 1, \ ldots, n }$ $я = 1, \ ldots, n$ . Если нелинейное условие малого усиления

Γ (s) ≱ s, ∀ s ∈ R + n ∖ {0} {\ displaystyle \ Gamma (s) \ not \ geq s, \ \ forall \ s \ в \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ backslash \ left \ {0 \ right \}}

{\ displaystyle \ Gamma ( s) \ not \ geq s, \ \ forall \ s \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ backslash \ left \ {0 \ right \}}

(SGC)

выполняется, тогда все межсоединение является ISS,.

Условие малого усиления (SGC ) выполняется, если и только если для каждого цикла в $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ (то есть для всех $(k 1,..., kp) ∈ {1,..., n} p {\ displaystyle (k_ {1},..., k_ {p}) \ in \ {1,..., n \} ^ {p}}$ ${\ displaystyle (k_ {1},..., k_ {p}) \ in \ {1,..., п \} ^ {p}}$ , где $k 1 = kp {\ displaystyle k_ {1} = k_ {p}}$ ${\ displaystyle k_ {1} = k_ {p}}$ ) и для всех $s>0 {\ displaystyle s>0}$ $s>0$ выполняется

γ k 1 k 2 ∘ γ k 2 k 3 ∘… ∘ γ kp - 1 kp (s) < s. {\displaystyle \gamma _{k_{1}k_{2}}\circ \gamma _{k_{2}k_{3}}\circ \ldots \circ \gamma _{k_{p-1}k_{p}}(s)

{\ displaystyle \ gamma _ {k_ {1} k_ {2}} \ circ \ gamma _ {k_ {2} k_ {3}} \ circ \ ldots \ circ \ gamma _ {k_ {p- 1} k_ {p}} (s) <s.}

Условие малого усиления в этой форме называется также циклическим условием малого усиления.

Связанные концепции устойчивости

Интегральная ISS (iISS)

Система (1) называется интегральной стабильной по входу в состояние (ISS), если существуют функции $α, γ ∈ K {\ displaystyle \ alpha, \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ и $β ∈ KL {\ displaystyle \ beta \ in { \ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ так, чтобы для всех ini стандартные значения $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ , все допустимые входные данные $u {\ displaystyle u}$ $u$ и все времена $t ≥ 0 { \ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ выполняется неравенство

α (| x (t) |) ≤ β (| x 0 |, t) + ∫ 0 t γ (| u (s) |) d s. {\ Displaystyle \ альфа (| х (т) |) \ Leq \ бета (| х_ {0} |, т) + \ int _ {0} ^ {т} \ гамма (| и (s) |) DS. }

{\ displaystyle \ alpha (| x (t) |) \ leq \ beta (| x_ {0} |, t) + \ int _ {0} ^ {t} \ gamma (| u (s) |) ds.}

(3)

В отличие от систем ISS, если система является интегральной ISS, ее траектории могут быть неограниченными даже для ограниченных входов. Чтобы увидеть это, положите $α (r) = γ (r) = r {\ displaystyle \ alpha (r) = \ gamma (r) = r}$ ${\ displaystyle \ alpha (r) = \ gamma (r) = r}$ для всех $r ≥ 0 { \ displaystyle r \ geq 0}$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ и возьмите $u ≡ c = const {\ displaystyle u \ Equiv c = const}$ ${ \ Displaystyle и \ эквив с = константа}$ . Тогда оценка (3) принимает вид

| x (t) | ≤ β (| Икс 0 |, T) + ∫ 0 tcds = β (| x 0 |, t) + ct, {\ displaystyle | x (t) | \ Leq \ beta (| x_ {0} |, t) + \ int _ {0} ^ {t} cds = \ beta (| x_ {0} |, t) + ct,}

{\ displaystyle | x (t) | \ leq \ beta (| x_ {0} |, т) + \ int _ {0} ^ {t} cds = \ beta (| x_ {0} |, t) + ct,}

, а правая часть увеличивается до бесконечности при $t → ∞ {\ displaystyle t \ to \ infty}$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ .

Как и в рамках ISS, методы Ляпунова играют центральную роль в теории IISS.

Гладкая функция $V: R n → R + {\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ называется функцией ИССИ-Ляпунова для (1), если $∃ ψ 1, ψ 2 ∈ K ∞ {\ displaystyle \ exists \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \ in {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ exists \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \ in {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ , $χ ∈ K {\ displaystyle \ chi \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ чи \ ин {\ mathcal {K}}}$ и положительно определенная функция $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , такое, что:

ψ 1 (| x |) ≤ V (x) ≤ ψ 2 (| x |), ∀ x ∈ R n {\ displaystyle \ psi _ {1} (| x |) \ leq V (x) \ leq \ psi _ {2} (| x |), \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ psi _ {1} (| x |) \ leq V (x) \ leq \ psi _ {2} (| х |), \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

V ˙ = ∇ V ⋅ f (x, u) ≤ - α (| x |) + γ (| u |). {\ displaystyle {\ dot {V}} = \ nabla V \ cdot f (x, u) \ leq - \ alpha (| x |) + \ gamma (| u |).}

{\ displaystyle {\ dot {V}} = \ nabla V \ cdot f (x, u) \ leq - \ alpha (| x |) + \ гамма (| u |).}

Важный результат из-за D. Angeli, E. Sontag и Y. Wang считают, что система (1) является интегральной ISS тогда и только тогда, когда для нее существует функция iISS-Ляпунова.

Обратите внимание, что в приведенной выше формуле $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ предполагается только положительно определенным. Несложно доказать, что если $V {\ displaystyle V}$ $V$ является функцией iISS-Ляпунова с $α ∈ K ∞ {\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {K} } _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ альфа \ in {\ mathcal {K}} _ {\ infty}}$ , тогда $V {\ displaystyle V}$ $V$ на самом деле является функцией ISS-Ляпунова для системы (1).

Это, в частности, показывает, что каждая система ISS является составной ISS. Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример. Рассмотрим систему

x ˙ = - arctg ⁡ x + u. {\ displaystyle {\ dot {x}} = - \ arctan {x} + u.}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = - \ arctan { x} + u.}

Эта система не является ISS, так как для достаточно больших входных данных траектории неограниченны. Однако это интегральная ISS с функцией ИССИ-Ляпунова $V {\ displaystyle V}$ $V$ , определенной как

V (x) = x arctan ⁡ x. {\ displaystyle V (x) = x \ arctan {x}.}

{\ displaystyle V (x) = x \ arctan {x}.}

Локальная ISS (LISS)

Важную роль также играют локальные версии свойства ISS. Система (1) называется локально ISS (LISS), если существует константа $ρ>0 {\ displaystyle \ rho>0}$ $\rho>0$ и функции

$γ ∈ K {\ displaystyle \ in {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ и $β ∈ KL {\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {K}} {\ mathcal {L}}}$ так, чтобы для всех $x 0 ∈ R n: | x 0 | ≤ ρ {\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \; | x_ {0} | \ leq \ rho}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R} ^ { n}: \; | x_ {0} | \ leq \ rho}$ , все допустимые входы $u: ‖ u ‖ ∞ ≤ ρ {\ displaystyle u: \ | u \ | _ {\ infty} \ leq \ rho}$ ${\ displaystyle u: \ | u \ | _ {\ infty} \ leq \ rho}$ и все время $t ≥ 0 {\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ , выполняется

| x (t) | ≤ β (| x 0 |, t) + γ (‖ u ‖ ∞), {\ Displaystyle | х (т) | \ Leq \ бета (| х_ {0} |, т) + \ гамма (\ | и \ | _ {\ infty}).}

{\ displaystyle | x (t) | \ leq \ beta (| x_ {0} |, t) + \ гамма (\ | u \ | _ {\ infty}).}

(4)

Интересным наблюдением является то, что 0-GAS подразумевает LISS.

Другие понятия стабильности

Многие другие понятия устойчивости ISS были введены: инкрементные ISS, (ISDS), (ISpS), (IOS) и т. д.

ISS систем с выдержкой времени

Рассмотрим инвариантную во времени систему с выдержкой времени

х ˙ (t) = f (xt, u (t)), t>0. {\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x ^ {t}, u (t)), \ quad t>0.}

${\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.$

(TDS)

Здесь $xt C ([- θ, 0]; RN) {\ displaystyle x ^ {t} \ in C ([- \ theta, 0]; \ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ displaystyle x ^ {t} \ in C ([- \ theta, 0]; \ mathbb {R} ^ {N})}$ - это состояние системы (TDS ) в момент $t {\ displaystyle t}$ $t$ , $xt (τ) = x (t + τ), τ ∈ [- θ, 0] {\ displaystyle x ^ {t} (\ tau) = x (t + \ tau), \ \ tau \ in [- \ theta, 0]}$ ${\ displaystyle x ^ {t} (\ tau) = x (t + \ tau), \ \ tau \ in [- \ theta, 0]}$ и $f: C ( [- θ, 0]; RN) × R m {\ displaystyle f: C ([- \ theta, 0]; \ mathbb {R} ^ {N}) \ times \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle f: C ([- \ theta, 0]; \ mathbb {R} ^ {N}) \ times \ mathbb {R} ^ {m}}$ удовлетворяет определенным предположениям, чтобы гарантировать существование и уникальность решений системы (TDS ).

System (TDS ) является ISS тогда и только тогда, когда существуют функции $β ∈ KL {\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {KL}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in{\ mathcal {KL}}}$ и $γ ∈ K { \ Displaystyle \ gamma \ в {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in {\ mathcal {K}}}$ такое, что для каждого $ξ ∈ C ([- θ, 0], RN) {\ displaystyle \ xi \ in C (\ left [- \ theta, 0 \ right], \ mathbb { R} ^ {N})}$ ${\ displaystyle \ xi \ in C (\ left [- \ theta, 0 \ right], \ mathbb {R} ^ {N})}$ , каждый допустимый ввод $u {\ displaystyle u}$ $u$ и для всех $t ∈ R + {\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} _ {+}}$ , он утверждает, что

| x (t) | ≤ β (‖ ξ ‖ [- θ, 0], t) + γ (‖ u ‖ ∞). {\ Displaystyle \ влево | Икс (т) \ вправо | \ Leq \ бета (\ влево \ | \ хи \ вправо \ | _ {\ влево [- \ тета, 0 \ вправо]}, т) + \ гамма (\ left \ | u \ right \ | _ {\ infty}).}

{\ displaystyle \ left | x (t) \ right | \ leq \ beta (\ left \ | \ xi \ right \ | _ {\ left [- \ theta, 0 \ right]}, t) + \ gamma (\ left \ | u \ right \ | _ {\ infty}).}

(ISS-TDS)

В теории МКС для систем с запаздыванием были предложены два различных достаточных условия типа Ляпунова: через МКС Ляпунова -Функции Разумихина и функционалы Ляпунова-Красовского. По поводу обратных теорем Ляпунова для систем с запаздыванием см.

ИСС других классов систем

Устойчивость систем от входа к состоянию, основанная на инвариантных во времени обыкновенных дифференциальных уравнениях, является достаточно развитой теорией. Однако теория ISS для других классов систем также исследуется: изменяющиеся во времени системы ODE, гибридные системы. В последнее время также были предложены некоторые обобщения концепций МКС на бесконечномерные системы.