Бесконечная импульсная характеристика

редактировать
Свойство многих линейных неизменяющихся во времени (LTI) систем

Бесконечная импульсная характеристика (IIR ) является свойством, применяемым ко многим линейным неизменным во времени системам, которые отличаются наличием импульсной характеристики h (t), которая не становится точно нулевой после определенной точки, но продолжается бесконечно. Это контрастирует с системой с конечной импульсной характеристикой (FIR), в которой импульсная характеристика действительно становится точно нулевой в моменты времени t>T для некоторого конечного T, таким образом, имея конечную продолжительность. Типичными примерами линейных систем, не зависящих от времени, являются большинство электронных и цифровых фильтров. Системы с этим свойством известны как БИХ-системы или БИХ-фильтры.

На практике импульсная характеристика даже БИХ-систем обычно приближается к нулю, и ею можно пренебречь после определенного момента. Однако физические системы, которые вызывают реакции IIR или FIR, не похожи, и в этом заключается важность различия. Например, аналоговые электронные фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и / или катушек индуктивности (и, возможно, линейных усилителей), обычно являются БИХ-фильтрами. С другой стороны, фильтры дискретного времени (обычно цифровые фильтры), основанные на линии задержки с ответвлениями, не использующие обратную связь, обязательно являются фильтрами КИХ. Конденсаторы (или катушки индуктивности) в аналоговом фильтре имеют «память», и их внутреннее состояние никогда полностью не расслабляется после импульса (в предположении классической модели конденсаторов и катушек индуктивности, где квантовые эффекты игнорируются). Но в последнем случае, после того как импульс достиг конца линии задержки, система больше не запоминает этот импульс и возвращается в свое исходное состояние; его импульсная характеристика за этой точкой точно равна нулю.

Содержание

  • 1 Реализация и проектирование
  • 2 Получение передаточной функции
  • 3 Стабильность
  • 4 Пример
  • 5 Преимущества и недостатки
  • 6 См. Также
  • 7 Внешние ссылки

Реализация и дизайн

Хотя почти все аналоговые электронные фильтры являются БИХ-фильтрами, цифровые фильтры могут быть БИХ или КИХ. Наличие обратной связи в топологии дискретного фильтра (такой как блок-схема, показанная ниже) обычно создает БИХ-ответ. z-область передаточная функция БИХ-фильтра содержит нетривиальный знаменатель, описывающий эти условия обратной связи. Передаточная функция КИХ-фильтра, с другой стороны, имеет только числитель, как выражено в общей форме, полученной ниже. Все коэффициенты ai {\ displaystyle a_ {i}}a_ {i} с i>0 {\ displaystyle i>0}i>0 (условия обратной связи) равны нулю, а фильтр не имеет конечных полюсов .

Передаточные функции аналоговых электронных фильтров БИХ были тщательно изучены и оптимизированы с учетом их амплитудных и фазовых характеристик. Эти функции непрерывного временного фильтра описаны в области Лапласа. Желаемые решения можно перенести в случай фильтров с дискретным временем, передаточные функции которых выражены в области z, с использованием определенных математических методов, таких как билинейное преобразование, импульсная инвариантность или полюс –Метод согласования нуля. Таким образом, цифровые БИХ-фильтры могут быть основаны на хорошо известных решениях для аналоговых фильтров, таких как фильтр Чебышева, фильтр Баттерворта, и эллиптический фильтр, наследующий характеристики этих решений.

Получение передаточной функции

Цифровые фильтры часто описываются и реализуются в терминах разностного уравнения, которое определяет, как выходной сигнал соотносится с входным сигналом:

y [n] = 1 a 0 (b 0 x [n] + b 1 x [n - 1] + ⋯ + b P x [n - P] - a 1 y [n - 1] - a 2 y [n - 2] - ⋯ - a Q y [n - Q]) {\ displaystyle {\ begin {align} y \ left [n \ right] = {\ frac {1} {a_ {0}}} (b_ { 0} x [n] + b_ {1} x [n-1] + \ cdots + b_ {P} x [nP] \\ - a_ {1} y [n-1] -a_ {2} y [ n-2] - \ cdots -a_ {Q} y [nQ]) \ end {align}}}{\ begin {выровнено} y \ left [n \ right] = {\ frac {1} {a_ {0}}} (b_ {0} x [n ] + b_ {1} x [n-1] + \ cdots + b_ {P} x [nP] \\ - a_ {1} y [n-1] -a_ {2} y [n-2] - \ cdots -a_ {Q} y [nQ]) \ end {align}}

где:

  • P {\ displaystyle \ P}\ P - порядок прямого фильтра
  • bi {\ displaystyle \ b_ {i}}\ b _ {{i}} - коэффициенты прямого фильтра.
  • Q {\ displaystyle \ Q}\ Q - порядок фильтра обратной связи
  • ai { \ displaystyle \ a_ {i}}\ a _ {{i}} - коэффициенты фильтра обратной связи.
  • x [n] {\ displaystyle \ x [n]}\ x [n] - входной сигнал
  • y [ n] {\ displaystyle \ y [n]}\ y [n] - выходной сигнал.

Более сжатая форма разности equ действие:

y [n] = 1 a 0 (∑ i = 0 P bix [n - i] - ∑ j = 1 Q ajy [n - j]) {\ displaystyle \ y [n] = {\ frac {1} {a_ {0}}} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [ni] - \ sum _ {j = 1} ^ {Q} a_ {j } y [nj] \ right)}\ y [n] = {\ frac {1} {a_ {0}}} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [ni] - \ sum _ {j = 1} ^ {Q} a_ {j} y [nj] \ right)

который при перестановке становится:

∑ j = 0 Q ajy [n - j] = ∑ i = 0 P bix [n - i] {\ displaystyle \ \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} y [nj] = \ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [ni]}\ \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} y [nj] = \ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} x [ni]

Чтобы найти Передаточная функция фильтра, мы сначала берем Z-преобразование каждой стороны приведенного выше уравнения, где мы используем свойство time-shift для получения:

∑ J знак равно 0 Q ajz - J Y (Z) знак равно ∑ я знак равно 0 P biz - я X (z) {\ displaystyle \ \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j } Y (z) = \ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ {- i} X (z)}\ sum _ {j = 0} ^ { Q} a_ {j} z ^ {- j} Y (z) = \ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ {- i} X (z)

Мы определяем передаточную функцию следующим образом:

H (z) Знак равно Y (Z) Икс (Z) знак равно ∑ я знак равно 0 P biz - я ∑ J знак равно 0 Q ajz - J {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} H (z) = {\ frac {Y (z) } {X (z)}} \\ = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ {- i}} {\ sum _ {j = 0} ^ { Q} a_ {j} z ^ {- j}}} \ end {align}}}{\ begin {выровнено} H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} \\ = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ {- i}} {\ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {-j}}} \ end {align}}

Учитывая, что в большинстве конструкций БИХ-фильтров Коэффициент ns a 0 {\ displaystyle \ a_ {0}}\ a_ {0} равен 1, передаточная функция БИХ-фильтра принимает более традиционную форму:

H (z) = ∑ i = 0 P biz - я 1 + ∑ J знак равно 1 Q ajz - j {\ displaystyle {\ begin {выровнено} H (z) = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ { -i}} {1+ \ sum _ {j = 1} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}}} \ end {align}}}{\ begin {align} H (z) = {\ frac { \ sum _ {i = 0} ^ {P} b_ {i} z ^ {- i}} {1+ \ sum _ {j = 1} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}}} \ конец {выровнено}}
Пример блок-схемы IIR фильтр. Блок z - 1 {\ displaystyle z ^ {- 1}}z ^ {- 1} представляет собой единичную задержку.

Стабильность

Передаточная функция позволяет судить, есть ли система стабильна с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO). Чтобы быть конкретным, критерий устойчивости BIBO требует, чтобы ROC системы включал единичный круг. Например, для причинной системы все полюса передаточной функции должны иметь абсолютное значение меньше единицы. Другими словами, все полюса должны быть расположены внутри единичного круга на плоскости z {\ displaystyle z}z .

Полюса определяются как значения z {\ displaystyle z}z , которые составляют знаменатель H (z) {\ displaystyle H (z)}H (z) равно 0:

0 = ∑ j = 0 Q ajz - j {\ displaystyle \ 0 = \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j} }\ 0 = \ sum _ {j = 0} ^ {Q} a_ {j} z ^ {- j}

Очевидно, если aj ≠ 0 {\ displaystyle a_ {j} \ neq 0}a_ {j} \ neq 0 , то полюса не расположены в начале координат z {\ displaystyle z}z -плоскость. В этом отличие от фильтра FIR, где все полюса расположены в начале координат, и поэтому он всегда стабилен.

БИХ-фильтры иногда предпочтительнее КИХ-фильтров, потому что БИХ-фильтр может обеспечить гораздо более резкую переходную область спада, чем КИХ-фильтр того же порядка.

Пример

Пусть передаточная функция H (z) {\ displaystyle H (z)}H (z) фильтра дискретного времени быть задано следующим образом:

H (z) = B (z) A (z) = 1 1 - az - 1 {\ displaystyle H (z) = {\ frac {B (z)} {A (z)} } = {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}H (z) = {\ frac {B (z)} {A (z)}} = {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}

определяется параметром a {\ displaystyle a}a , вещественным числом с 0 < | a | < 1 {\displaystyle 0<|a|<1}0 <| a | <1 . H (z) {\ displaystyle H (z)}H (z) является устойчивым и причинным с полюсом в a {\ displaystyle a}a . Можно показать, что импульсный отклик временной области определяется следующим образом:

h (n) = anu (n) {\ displaystyle h (n) = a ^ {n} u (n)}h (n) = a ^ {n} u (n)

где u (n) {\ displaystyle u (n)}u (n) - это функция единичного шага. Видно, что h (n) {\ displaystyle h (n)}h (n) не равно нулю для всех n ≥ 0 {\ displaystyle n \ geq 0}n \ geq 0 , таким образом, импульсный отклик продолжается бесконечно.

Пример БИХ-фильтра

Преимущества и недостатки

Основным преимуществом цифровых БИХ-фильтров перед КИХ-фильтрами является их эффективность в реализации, чтобы соответствовать спецификации в отношении полосы пропускания, полосы задерживания, пульсации и / или откат. Такой набор спецификаций может быть выполнен с помощью БИХ-фильтра более низкого порядка (Q в приведенных выше формулах), чем требовалось бы для КИХ-фильтра, отвечающего тем же требованиям. Если реализовано в сигнальном процессоре, это означает соответственно меньшее количество вычислений на временной шаг; вычислительная экономия часто является довольно большим фактором.

С другой стороны, FIR-фильтры проще спроектировать, например, для соответствия конкретному требованию частотной характеристики. Это особенно верно, когда требование не является одним из обычных случаев (верхний проход, нижний проход, режектор и т. Д.), Которые были изучены и оптимизированы для аналоговых фильтров. Также КИХ-фильтры можно легко сделать так, чтобы они имели линейную фазу (постоянная групповая задержка в зависимости от частоты) - свойство, которое нелегко реализовать с использованием БИХ-фильтров и только в качестве приближения (например, с фильтром Бесселя ). Другой проблемой, связанной с цифровыми БИХ-фильтрами, является возможность поведения предельного цикла в режиме ожидания из-за системы обратной связи в сочетании с квантованием.

См. Также

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-24 14:38:37
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте