Косвенная служебная функция

В экономика, функция косвенной полезности потребителя $v\; (p,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (p,\; w)\}$дает максимально достижимую для потребителя утилита при столкновении с вектором $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$цен на товары и величиной доход $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$. Он отражает как предпочтения потребителей, так и рыночные условия.

Эта функция называется косвенной, потому что потребители обычно думают о своих предпочтениях с точки зрения того, что они потребляют, а не цен. Косвенная полезность потребителя $v\; (p,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (p,\; w)\}$может быть вычислена на основе его функции полезности $u\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x),\}$определяется по векторам $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$количеств потребляемых товаров, сначала вычисляя наиболее предпочтительный доступный набор, представленный вектором $x\; (p,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (p,\; w)\}$путем решения задачи максимизации полезности и, во-вторых, вычисления полезности $u\; (x\; (p,\; w))\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x\; (p,\; w))\}$потребитель является производным от этого пакета. Результирующая функция косвенной полезности равна

$v\; (p,\; w)\; =\; u\; (x\; (p,\; w)).\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (p,\; w)\; =\; u\; (x\; (p,\; w)).\}$

Непрямая функция полезности:

• Непрерывная на R+× R+, где n - количество товаров;
• Снижение цен;
• Строгое увеличение дохода;
• Однородный с нулевой степенью по ценам и доходу; если цены и доход умножаются на заданную константу, тот же самый набор потребления представляет собой максимум, поэтому оптимальная полезность не изменяется;
• квазивыпуклый в (p, w).

Более того, Личность Роя гласит, что если v (p, w) дифференцируемо в $(p\; 0,\; w\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (p\; ^\; \{0\},\; w\; ^\; \{0\})\}$и $\partial \; v\; (p,\; w)\; \partial \; вес\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\; (p,\; w)\}\; \{\backslash \; partial\; w\}\}\; \backslash \; neq\; 0\}$, тогда

$-\; \partial \; v\; (p\; 0,\; w\; 0)\; /\; (\partial \; pi)\; \partial \; v\; (p\; 0,\; w\; 0)\; /\; \partial \; w\; =\; xi\; (p\; 0,\; w\; 0),\; i\; =\; 1,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\; (p\; ^\; \{0\},\; w\; ^\; \{0\})\; /\; (\backslash \; partial\; p\_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; partial\; v\; (p\; ^\; \{0\},\; w\; ^\; \{0\})\; /\; \backslash \; partial\; w\}\}\; =\; x\_\; \{i\}\; (p\; ^\; \{0\},\; w\; ^\; \{0\}),\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; n.\}$

Косвенная полезность и расходы

Функция косвенной полезности является обратной функцией функции расходов, когда цены остаются постоянными. Т.е. для каждого вектора цен $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и уровня полезности $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$:

$v\; (p,\; e\; (p,\; u))\; \equiv \; u\; \{\; \backslash \; displaystyle\; v\; (p,\; e\; (p,\; u))\; \backslash \; Equiv\; u\}$

См. также

• Полярная форма Гормана
• Функция спроса Хикса
• Функция ценности

Ссылки

Далее чтение

• Корнс, Ричард (1992). «Индивидуальное поведение потребителей: прямые и косвенные функции полезности». Двойственность и современная экономика. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 31–62. ISBN 0-521-33601-5.
• Jehle, G.A. ; Рени, П. Дж. (2011). Продвинутая микроэкономическая теория (третье изд.). Харлоу: Прентис Холл. С. 28–33. ISBN 978-0-273-73191-7.
• Люенбергер, Дэвид Г. (1995). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 103–107. ISBN 0-07-049313-8.
• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д. ; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 56–57. ISBN 0-19-507340-1.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория: основные принципы и расширения (второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. С. 57–59. ISBN 0-03-020831-9.