Цена безразличия

В финансах ценообразование безразличия - это метод ценообразования финансовый ценные бумаги в отношении функции полезности. цена безразличия также известна как резервная цена или частная оценка . В частности, цена безразличия - это цена, при которой агент будет иметь такой же ожидаемый уровень полезности, выполняя финансовую транзакцию, как и не выполняя ее (в противном случае при оптимальной торговле). Обычно цена безразличия представляет собой ценовой диапазон (спред между ценой покупки и продажи ) для конкретного агента; этот ценовой диапазон является примером границ выгодной сделки.

Содержание

• 1 Математика
• 2 Пример
• 3 См. также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Математика

Дана функция полезности $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$и требование $CT\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{T\}\}$с известными выплатами на каком-то терминале время $T,\; \{\backslash \; displaystyle\; T,\}$пусть функция $V:\; R\; \times \; R\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; V:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$определяется как

$V\; (x,\; k)\; =\; sup\; XT\; \in \; A\; (x)\; E\; [u\; (XT\; +\; k\; CT)]\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x,\; k)\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{X\_\; \{T\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; (x)\}\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [u\; \backslash \; left\; (X\_\; \{T\}\; +\; kC\_\; \{T\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \}$,

где $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- начальный запас, $A\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; (x)\}$- это набор всех самофинансируемых портфелей на момент $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, начиная с эндаумента $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, а $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- номер претензии. быть купленным (или проданным). Тогда цена предложения безразличия $vb\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{b\}\; (k)\}$для $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$единиц $CT\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{T\}\}$является решением $V\; (x\; -\; vb\; (k),\; k)\; =\; V\; (x,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (xv\; ^\; \{b\; \}\; (k),\; k)\; =\; V\; (x,\; 0)\}$и цена предложения безразличия $va\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{a\}\; (k)\}$является решением $V\; (x\; +\; va\; (k),\; -\; k)\; =\; V\; (x,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x\; +\; v\; ^\; \{a\}\; (k),\; -\; k)\; =\; V\; (x,\; 0)\}$. Граница цены безразличия - это диапазон $[vb\; (k),\; va\; (k)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [v\; ^\; \{b\}\; (k),\; v\; ^\; \{a\}\; (k)\; \backslash \; right]\}$.

Пример

Рассмотрим рынок с безрисковым активом $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$с $B\; 0\; =\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\; =\; 100\}$и $BT\; =\; 110\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{T\}\; =\; 110\}$, и рискованный актив $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$с $S\; 0\; =\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; =\; 100\}$и $ST\; \in \; \{90,\; 110,\; 130\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{T\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{90,110,130\; \backslash \}\}$каждый с вероятностью $1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; 1/3\}$. Пусть ваша функция полезности определяется как $u\; (x)\; =\; 1\; -\; exp\; \; (-\; x\; /\; 10)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\; =\; 1-\; \backslash \; exp\; (-x\; /\; 10)\}$. Чтобы найти цену безразличия спроса или предложения для одного европейского опциона колл со страйк 110, сначала вычислите $V\; (x,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x,\; 0)\}$.

$V\; (x,\; 0)\; =\; макс\; \alpha \; В\; 0\; +\; \beta \; S\; 0\; знак\; равно\; Икс\; Е\; [1\; -\; ехр\; \; (-.1\; \times \; (\alpha \; BT\; +\; \beta \; ST))]\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (x,\; 0)\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; альфа\; B\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; beta\; S\_\; \{0\}\; =\; x\}\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; [1-\; \backslash \; exp\; (-.\; 1\; \backslash \; times\; (\backslash \; alpha\; B\_\; \{T\}\; +\; \backslash \; beta\; S\_\; \{T\}))]\}$

$=\; max\; \beta \; [1\; -\; 1\; 3\; [ехр\; \; (-\; 1,10\; Икс\; -\; 20\; \beta \; 10)\; +\; ехр\; \; (-\; 1,10\; х\; 10)\; +\; ехр\; \; (-\; 1,10\; х\; +\; 20\; \beta \; 10)]]\; \{\backslash \; Displaystyle\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; beta\; \}\; \backslash \; left\; [1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1.10x-20\; \backslash \; beta\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1.10x\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1.10x\; +\; 20\; \backslash \; beta\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; right]\}$.

Которая максимизируется, когда $\beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 0\}$, поэтому $V\; (x,\; 0)\; =\; 1\; -\; exp\; \; (-\; 1,10\; x\; 10)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\; x,\; 0)\; =\; 1-\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1.10x\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\}$.

Теперь, чтобы найти цену предложения безразличия, решите для $V\; (x\; -\; vb\; (1),\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (xv\; ^\; \{b\}\; (1),\; 1)\}$

$V\; (x\; -\; vb\; (1),\; 1)\; знак\; равно\; макс\; \alpha \; B\; 0\; +\; \beta \; S\; 0\; знак\; равно\; x\; -\; vb\; (1)\; E\; [1\; -\; exp\; \; (-.1\; \times \; (\alpha \; BT\; +\; \beta \; ST\; +\; CT))]\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (xv\; ^\; \{b\}\; (1),\; 1)\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; alpha\; B\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; beta\; S\_\; \{0\}\; =\; xv\; ^\; \{b\}\; (1)\}\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; [1-\; \backslash \; exp\; (-.1\; \backslash \; times\; (\backslash \; alpha\; B\_\; \{T\}\; +\; \backslash \; beta\; S\_\; \{T\}\; +\; C\_\; \{T\}))]\}$

$=\; max\; \beta \; [1\; -\; 1\; 3\; [exp\; \; (-\; 1.10\; (x\; -\; vb\; (1))\; -\; 20\; \beta \; 10)\; +\; exp\; \; (-\; 1.10\; (x\; -\; vb\; (1))\; 10)\; +\; exp\; \; (-\; 1.10\; (x\; -\; vb\; (1))\; +\; 20\; \beta \; +\; 20\; 10)]]\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; left\; [1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1.10\; (xv\; ^\; \{b\}\; (1))\; -\; 20\; \backslash \; beta\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1.10\; (xv\; ^\; \{b\}\; (1))\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1.10\; (xv\; ^\; \{b\}\; (1))\; +\; 20\; \backslash \; beta\; +20\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; right]\}$

Которая максимизируется, когда $\beta \; =\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$, поэтому $V\; (x\; -\; vb\; (1),\; 1)\; =\; 1\; -\; 1\; 3\; exp\; \; (-\; 1,10\; x\; /\; 10)\; ехр\; \; (1,10\; vb\; (1)\; /\; 10)\; [1\; +\; 2\; ехр\; \; (-\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (xv\; ^\; \{b\}\; (1),\; 1)\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 3\}\}\; \backslash \; exp\; (-1.10x\; /\; 10)\; \backslash \; exp\; (1.10v\; ^\; \{b\}\; (1)\; /\; 10)\; \backslash \; left\; [1\; +\; 2\; \backslash \; exp\; (-1)\; \backslash \; right]\}$.

Следовательно $V\; (x,\; 0)\; =\; V\; (x\; -\; vb\; (1),\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x,\; 0)\; =\; V\; (xv\; ^\; \{b\}\; (1),\; 1)\}$когда $vb\; (1)\; =\; 10\; 1.1\; log\; \; (3\; 1\; +\; 2\; exp\; \; (-\; 1))\; \approx \; 4.97\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{b\}\; (1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{1.1\}\}\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{1\; +\; 2\; \backslash \; exp\; (-1)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; 4,97\}$.

Аналогичным образом решите для $va\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{a\; \}\; (1)\}$, чтобы найти цену предложения безразличия.

См. Также

• Готовность платить
• Готовность принять

Ноты

• Если $[vb\; (k),\; va\; (k)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [v\; ^\; \{b\}\; (k),\; v\; ^\; \{a\}\; (k)\; \backslash \; right]\}$- это границы безразличия цены для требования, тогда по определению $vb\; (k)\; =\; -\; va\; (-\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{b\}\; (k)\; =\; -\; v\; ^\; \{a\}\; (-\; k)\}$.
• Если $v\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (k)\}$- это цена предложения безразличия для претензии и $vsup\; (k),\; vsub\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{sup\}\; (k),\; v\; ^\; \{sub\}\; (k)\}$являются цена суперхеджирования и цены субхеджирования соответственно, тогда $vsub\; (k)\; \le \; v\; (k)\; \le \; vsup\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{sub\}\; (k)\; \backslash \; leq\; v\; (k)\; \backslash \; leq\; v\; ^\; \{\; sup\}\; (k)\}$. Следовательно, на полном рынке цена безразличия всегда равна цене хеджирования претензии.

Ссылки