Идентичное среднее

редактировать

Идентичное среднее двух положительных вещественные числа x, y определяется как:

I (x, y) = 1 e ⋅ lim (ξ, η) → (x, y) ξ ξ η η ξ - η = lim (ξ, η) → (x, y) ехр ⁡ (ξ ⋅ ln ⁡ ξ - η ⋅ ln ⁡ η ξ - η - 1) = {x, если x = y 1 exxyyx - y else {\ displaystyle {\ begin {align} I ( x, y) = {\ frac {1} {e}} \ cdot \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} {\ sqrt [{\ xi - \ eta}] { \ frac {\ xi ^ {\ xi}} {\ eta ^ {\ eta}}}} \\ [8pt] = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} \ exp \ left ({\ frac {\ xi \ cdot \ ln \ xi - \ eta \ cdot \ ln \ eta} {\ xi - \ eta}} - 1 \ right) \\ [8pt] = {\ begin {случаях } x {\ text {if}} x = y \\ [8pt] {\ frac {1} {e}} {\ sqrt [{xy}] {\ frac {x ^ {x}} {y ^ {y }}}} {\ text {else}} \ end {cases}} \ end {align}}}

\ begin {align} I (x, y) = \ frac {1} {e} \ cdot \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} \ sqrt [\ xi- \ eta] {\ frac {\ xi ^ \ xi} {\ eta ^ \ eta}} \\ [8pt] = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} \ exp \ left (\ frac {\ xi \ cdot \ ln \ xi- \ eta \ cdot \ ln \ eta} {\ xi- \ eta} -1 \ right) \\ [8pt] = \ begin { case} x \ text {if} x = y \\ [8pt] \ frac {1} {e} \ sqrt [xy] {\ frac {x ^ x} {y ^ y}} \ text {else} \ end {cases} \ end {align}

Его можно вывести из теоремы о среднем значении, учитывая секанс графика функции $x ↦ x ⋅ ln ⁡ х {\ Displaystyle х \ mapsto х \ cdot \ ln x}$ $x \ mapsto x \ cdot \ ln x$ . Его можно обобщить на большее количество переменных в соответствии с теоремой о среднем значении для разделенных разностей. Идентификационное среднее - это частный случай среднего по Столярски.

См. Также

Ссылки