Группа перестановок

Группа, чьей операцией является композиция перестановок

В математике перестановка группа - это группа G, элементы которой являются перестановками данного набора M и чья групповая операция является композицией перестановок в G (которые рассматриваются как биективные функции из множества M в себя). Группа всех перестановок множества M - это симметрическая группа множества M, часто обозначаемая как Sym (M). Термин группа перестановок, таким образом, означает подгруппу симметрической группы. Если M = {1,2,..., n}, то Sym (M) симметрическая группа из n букв обычно обозначается S n.

По теореме Кэли каждая группа изоморфна некоторой группе перестановок.

Способ, которым элементы группы перестановок переставляют элементы набора, называется ее групповым действием. Групповые действия находят применение в изучении симметрии, комбинаторики и многих других разделов математики, физики и химии.

Популярная головоломка кубик Рубика, изобретенная в 1974 году Эрно Рубиком, использовалась как иллюстрация групп перестановок. Каждое вращение слоя куба приводит к перестановке цветов поверхности и является членом группы. Группа перестановок куба называется группой кубика Рубика.

• 1 Основные свойства и терминология
• 2 Обозначение
• 3 Состав перестановок - групповой продукт
• 4 Нейтральный элемент и обратное
• 5 Примеры
• 6 Групповые действия
• 7 Переходные действия
  • 7.1 Примитивные действия
• 8 Теорема Кэли
• 9 Изоморфизмы групп перестановок
• 10 Олигоморфные группы
• 11 История
• 12 См. Также
• 13 Примечания
• 14 Ссылки
• 15 Дополнительная литература
• 16 Внешние ссылки

Быть частью подгруппы симметричной группы, все, что необходимо для того, чтобы набор перестановок удовлетворял аксиомам группы и был группой перестановок, - это то, что он содержит тождественную перестановку, обратную перестановку каждой содержащейся в ней перестановки и должен быть замкнут при состав его перестановок. Общее свойство конечных групп означает, что конечное непустое подмножество симметрической группы снова является группой тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно операции группы.

степень группы перестановки конечного набора - это количество элементов в наборе. Порядок группы (любого типа) - это количество элементов (количество элементов) в группе. По теореме Лагранжа порядок любой конечной группы перестановок степени n должен делить n! поскольку n- факториал является порядком симметрической группы S n.

Поскольку перестановки являются биекциями набора, они могут быть представлены как Двухстрочная запись Коши. Это обозначение перечисляет каждый из элементов M в первой строке, и для каждого элемента его изображение под перестановкой под ним во второй строке. Если $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$является перестановкой набора $M\; =\; \{x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; \{x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, тогда

$\sigma \; =\; (x\; 1\; x\; 2\; x\; 3\; \cdots \; xn\; \sigma \; (x\; 1)\; \sigma \; (x\; 2)\; \sigma \; (\; x\; 3)\; \cdots \; \sigma \; (xn)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \backslash \; sigma\; (x\_\; \{1\})\; \backslash \; sigma\; (x\_\; \{2\})\; \backslash \; sigma\; (x\_\; \{3\})\; \backslash \; cdots\; \backslash \; sigma\; (x\_\; \{n\})\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Например, конкретная перестановка набора {1,2,3,4, 5} можно записать как:

$\sigma \; =\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 2\; 5\; 4\; 3\; 1);\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 2\; 5\; 4\; 3\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\};\}$

это означает, что σ удовлетворяет σ (1) = 2, σ (2) = 5, σ (3) = 4, σ (4) = 3 и σ (5) = 1. Элементы M не обязательно должны появляться в каком-либо особом порядке в первой строке. Эту перестановку можно также записать как:

$\sigma \; =\; (3\; 2\; 5\; 1\; 4\; 4\; 5\; 1\; 2\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 3\; 2\; 5\; 1\; 4\; \backslash \backslash \; 4\; 5\; 1\; 2\; 3\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Перестановки также часто записываются в циклической нотации (циклическая форма), так что для заданного набора M = {1,2,3,4}, перестановка g элемента M с g (1) = 2, g (2) = 4, g (4) = 1 и g (3) = 3 будет записана как ( 1,2,4) (3), или чаще (1,2,4), так как 3 остается без изменений; если объекты обозначены одиночными буквами или цифрами, можно обойтись без запятых и пробелов, и у нас есть такое обозначение, как (124). Перестановка, записанная выше в 2-строчной записи, будет записана в циклической записи как $\sigma \; =\; (125)\; (34).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; (125)\; (34).\}$

Произведение двух перестановок определяется как их композиция как функций, поэтому $\sigma \; \cdot \; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; \backslash \; pi\}$- это функция, которая отображает любой элемент x набора в $\sigma \; (\pi \; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (\; \backslash \; pi\; (x))\}$. Обратите внимание, что крайняя правая перестановка применяется к аргументу первой из-за способа написания приложения функции. Некоторые авторы предпочитают, чтобы первым действовал крайний левый фактор, но для этого перестановки должны быть написаны справа от их аргумента, часто как надстрочный индекс, поэтому перестановка $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$воздействие на элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$приводит к изображению $x\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; sigma\}\}$. Согласно этому соглашению, продукт определяется как $x\; \sigma \; \cdot \; \pi \; =\; (x\; \sigma )\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; \backslash \; pi\}\; =\; (x\; ^\; \{\backslash \; sigma\})\; ^\; \{\backslash \; pi\}\}$. Однако это дает другое правило умножения перестановок. Это соглашение обычно используется в литературе о группах перестановок, но в этой статье используется соглашение, согласно которому сначала применяется самая правая перестановка.

Поскольку композиция двух биекций всегда дает другую биекцию, произведение двух перестановок снова является перестановкой. В двухстрочной записи произведение двух перестановок получается перестановкой столбцов второй (самой левой) перестановки так, чтобы ее первая строка была идентична второй строке первой (самой правой) перестановки. Затем произведение может быть записано как первая строка первой перестановки над второй строкой модифицированной второй перестановки. Например, учитывая перестановки,

$P\; =\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 2\; 4\; 1\; 3\; 5)\; и\; Q\; =\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 5\; 4\; 3\; 2\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 2\; 4\; 1\; 3\; 5\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; Q\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 5\; 4\; 3\; 2\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

QP продукта:

$QP\; =\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 5\; 4\; 3\; 2\; 1)\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 2\; 4\; 1\; 3\; 5)\; =\; (2\; 4\; 1\; 3\; 5\; 4\; 2\; 5\; 3\; 1)\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 2\; 4\; 1\; 3\; 5)\; =\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 4\; 2\; 5\; 3\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; QP\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 5\; 4\; 3\; 2\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 2\; 4\; 1\; 3\; 5\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; end\; 4\; 3\; 3\; 3\; 3\; 3\; 3\; 3\; 1\; 5\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 2\; 4\; 1\; 3\; 5\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 4\; 2\; 5\; 3\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Состав перестановок, когда они есть записанная в циклической форме, получается путем сопоставления двух перестановок (вторая написана слева) и последующего упрощения до непересекающейся формы цикла, если это необходимо. Таким образом, в циклической записи указанное выше произведение будет иметь вид:

$Q\; \cdot \; P\; =\; (15)\; (24)\; \cdot \; (1243)\; =\; (1435).\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash \; cdot\; P\; =\; (15)\; (24)\; \backslash \; cdot\; (1243)\; =\; (1435).\}$

Поскольку композиция функций ассоциативна, то и продукт операция над перестановками: $(\sigma \; \cdot \; \pi )\; \cdot \; \rho \; =\; \sigma \; \cdot \; (\pi \; \cdot \; \rho )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; \backslash \; pi)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rho)\; \}$. Следовательно, произведения двух или более перестановок обычно пишутся без добавления скобок для выражения группировки; они также обычно пишутся без точки или другого знака для обозначения умножения (точки из предыдущего примера были добавлены для выделения, поэтому будет просто записано как $\sigma \; \pi \; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; pi\; \backslash \; rho\}$).

Перестановка идентичности, которая отображает каждый элемент набора на себя, является нейтральным элементом для этого продукта. В двухстрочной записи это

$(1\; 2\; 3\; \cdots \; n\; 1\; 2\; 3\; \cdots \; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; \backslash \; cdots\; n\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; 3\; \backslash \; cdots\; n\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

В циклической записи e = (1) (2) (3)... (n), который по соглашению также обозначается просто (1) или даже ().

Поскольку биекции имеют обратные, то же самое делают и перестановки, а обратное σ к σ снова перестановка. Явно, когда σ (x) = y, также σ (y) = x. В двухстрочной записи обратное может быть получено путем перестановки двух строк (и сортировки столбцов, если кто-то хочет, чтобы первая строка располагалась в заданном порядке). Например,

$(1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 2\; 5\; 4\; 3\; 1)\; -\; 1\; =\; (2\; 5\; 4\; 3\; 1\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5)\; =\; (1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 5\; 1\; 4\; 3\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \backslash \; 2\; 5\; 4\; 3\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 2\; 5\; 4\; 3\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; 3\; 4\; 5\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; 2\; 2\; \backslash \; 5\; 1\; 4\; 3\; 2\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Чтобы получить инверсию одного цикла, мы меняем порядок его элементов. Таким образом,

$(125)\; -\; 1\; =\; (521)\; =\; (152).\; \{\backslash \; displaystyle\; (125)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; (521)\; =\; (152).\}$

Чтобы получить обратное произведение циклов, мы сначала меняем порядок циклов, а затем берем обратный каждый, как указано выше. Таким образом,

$[(125)\; (34)]\; -\; 1\; =\; (34)\; -\; 1\; (125)\; -\; 1\; =\; (43)\; (521)\; =\; (34)\; (152).\; \{\backslash \; displaystyle\; [(125)\; (34)]\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; (34)\; ^\; \{-\; 1\}\; (125)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; (43)\; (521)\; =\; (34)\; (152).\}$

Имея ассоциативный продукт, единичный элемент и инверсию для всех его элементов, превращает множество всех перестановок M в группу , Sym (M); группа перестановок.

Рассмотрим следующий набор G 1 перестановок набора M = {1, 2, 3, 4}:

• e = (1) (2) (3) (4) = (1)
  • Это тождество, тривиальная перестановка, фиксирующая каждый элемент.
• a = (1 2) (3) (4) = (1 2)
  • Эта перестановка меняет местами 1 и 2 и фиксирует 3 и 4.
• b = (1) (2) (3 4) = (3 4)
  • Подобно предыдущему один, но поменял местами 3 и 4 и зафиксировал остальные.
• ab = (1 2) (3 4)
  • Эта перестановка, которая является композицией двух предыдущих, меняет одновременно 1 на 2, и 3 с 4.

G1образует группу, поскольку aa = bb = e, ba = ab и abab = e. Эта группа перестановок изоморфна, как абстрактная группа, группе Клейна V4.

. В качестве другого примера рассмотрим группу симметрий квадрата. Обозначим вершины квадрата 1, 2, 3 и 4 (против часовой стрелки вокруг квадрата, начиная с 1 в верхнем левом углу). Симметрии определяются образами вершин, которые, в свою очередь, могут быть описаны перестановками. Поворот на 90 ° (против часовой стрелки) вокруг центра квадрата описывается перестановкой (1234). Повороты на 180 ° и 270 ° задаются формулами (13) (24) и (1432) соответственно. Отражение относительно горизонтальной линии, проходящей через центр, равно (12) (34), а соответствующее отражение вертикальной линии равно (14) (23). Отражение около 1,3-диагональной линии равно (24), а отражение от 2,4-диагонали равно (13). Единственная оставшаяся симметрия - это тождество (1) (2) (3) (4). Эта группа перестановок абстрактно известна как группа диэдра порядка 8.

В приведенном выше примере группы симметрии квадрата перестановки «описывают «движение вершин квадрата, индуцированное группой симметрий. Принято говорить, что эти элементы группы «действуют» на множестве вершин квадрата. Эту идею можно уточнить, формально определив действие группы .

. Пусть G будет группой, а M - непустым набором. Действие группы G на M - это функция f: G × M → M такая, что

• f (1, x) = x для всех x в M (1 - это тождество (нейтральный) элемент группы G) и
• f (g, f (h, x)) = f (gh, x) для всех g, h в G и всех x в M.

Это последнее условие также может быть выражено как утверждение, что действие индуцирует гомоморфизм группы из G в Sym (M). Любой такой гомоморфизм называется (перестановочным) представлением G на M.

Для любой группы перестановок действие, которое переводит (g, x) → g (x), называется естественным действием группы G на M. Это действие предполагается, если не указано иное. В примере группы симметрии квадрата действие группы на множестве вершин является естественным действием. Однако эта группа также индуцирует действие на наборе из четырех треугольников в квадрате: t 1 = 234, t 2 = 134, t 3 = 124 и t 4 = 123. Он также действует на две диагонали: d 1 = 13 и d 2 = 24.

Групповой элемент	Действие по треугольникам	Действие по диагоналям
(1)	(1)	(1)
(1234)	(t1t2t3t4)	(d1d2)
(13) (24)	(t1t3) (t 2t4)	(1)
(1432)	(t1t4t3t2)	(d1d2)
(12) (34)	(t1t2) (t 3t4)	(d1d2)
(14) (23)	(t1t4) (t 2t3)	(d1d2)
(13)	(t1t3)	(1)
(24)	(t2t4)	(1)

Действие группы G на множестве M называется транзитивным, если для каждых двух элементов s, t из M существует некоторый элемент группы g такой, что g (s) = t. Эквивалентно, множество M образует единственную орбиту под действием of G. Из примеров выше группа {e, (1 2), (3 4), (1 2) (3 4)} перестановок {1, 2, 3, 4} не транзитивен (ни один элемент группы не принимает от 1 до 3), но группа симметрий квадрата транзитивна по вершинам.

Primitive acti ons

Группа перестановок G, транзитивно действующая на непустом конечном множестве M, является импримитивной, если существует некоторое нетривиальное разбиение множества группы M, которое сохраняется действием G, где «нетривиальное "означает, что раздел не является разделом на наборы singleton или разделом только с одной частью. В противном случае, если G транзитивна, но не сохраняет никакого нетривиального разбиения M, группа G примитивна.

Например, группа симметрий квадрата примитивна по вершинам: если они пронумерованы 1, 2, 3, 4 в циклическом порядке, то разбиение {{1, 3}, {2, 4}} на противоположные пары сохраняется каждым элементом группы. С другой стороны, полная симметрическая группа на множестве M всегда импримитивна.

Любая группа G может действовать на себя (элементы группы рассматриваются как множество M) многими способами. В частности, существует регулярное действие, заданное (левым) умножением в группе. То есть f (g, x) = gx для всех g и x в G. Для каждого фиксированного g функция f g (x) = gx является биекцией на G и, следовательно, перестановкой множество элементов группы G. Каждый элемент группы G можно рассматривать как перестановку таким образом, и поэтому G изоморфна группе перестановок; это содержание теоремы Кэли.

. Например, рассмотрим группу G 1, действующую на множестве {1, 2, 3, 4}, данном выше. Обозначим элементы этой группы через e, a, b и c = ab = ba. Действие G 1 на себя, описанное в теореме Кэли, дает следующее представление перестановки:

fe↦ (e) (a) (b) (c)

fa↦ (ea) (bc)

fb↦ (eb) (ac)

fc↦ (ec) (ab).

Если G и H - две группы перестановок на множествах X и Y с действиями f 1 и f 2 соответственно, тогда мы говорим, что G и H изоморфны перестановкам (или изоморфны как группы перестановок), если существует биективное отображение λ: X → Y и изоморфизм группы ψ: G → H такой, что

λ (f 1 (g, x)) = f 2 (ψ (g), λ (x)) для всех g в G и x в X.

Если X = Y, это эквивалентно тому, что G и H сопряжены как подгруппы в Sym (X). Частный случай, когда G = H и ψ является тождественным отображением, порождает концепцию эквивалентных действий группы.

В примере симметрии квадрата, приведенном выше, естественное действие на множестве {1,2,3,4} эквивалентно действию на треугольниках. Биекция λ между множествами задается выражением i ↦ t i. Естественное действие группы G 1 выше и ее действие на себя (посредством умножения слева) не эквивалентны, поскольку естественное действие имеет неподвижные точки, а второе действие нет.

Когда группа G действует на множестве S, действие может быть естественным образом расширено до декартова произведения S группы S, состоящий из наборов элементов из n элементов S: действие элемента g на набор (s 1,..., s n) определяется как

g (s 1,..., s n) = (g (s 1),..., g (s n)).

Группа G называется олигоморфной, если действие на S имеет только конечное число орбит для любого натурального числа n. (Это происходит автоматически, если S конечно, поэтому этот член обычно представляет интерес, когда S бесконечно.)

Интерес к олигоморфным группам частично основан на их применении к теории моделей, для пример при рассмотрении автоморфизмов в счетно категоричных теориях.

Изучение групп изначально выросло из понимания групп перестановок. Сами перестановки были интенсивно изучены Лагранжем в 1770 году в его работе над алгебраическими решениями полиномиальных уравнений. Эта тема процветала, и к середине 19 века существовала хорошо разработанная теория групп перестановок, систематизированная Камиллой Жорданом в его книге Traité des Substitutions et des Équations Algébriques 1870 года. Книга Джордана, в свою очередь, была основана на на бумагах, которые оставил Эварист Галуа в 1832 году.

Когда Кэли ввел понятие абстрактной группы, не сразу стало ясно, действительно ли это больший набор объектов, чем известные группы перестановок (которые имели определение, отличное от современного). Кэли продолжил доказывать, что эти два понятия эквивалентны в теореме Кэли.

Другой классический текст, содержащий несколько глав о группах перестановок, - это Теория групп конечного порядка Бернсайда 1911 года. Первая половина двадцатого века была периодом спада в изучении теории групп в целом, но интерес к группам перестановок возродил в 1950-х годах Х. Виландт, чьи записи лекций на немецком языке были переизданы как конечные группы перестановок в 1964 году.

• 2-транзитивная группа
• группа перестановок 3-го ранга
• группа Матье

1. ^Также используются обозначения SMи S .
2. ^Ротман 2006, стр. 148, Определение подгруппы
3. ^Ротман 2006, стр. 149, Предложение 2.69
4. ^Вуссинг, Ханс (2007), Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп, Courier Dover Publications, стр. 94, ISBN 9780486458687, Коши использовал свою перестановочную нотацию - в которой аранжировки написаны одна под другой и оба заключены в скобки - впервые в 1815 году.
5. ^особенно, когда интересуют алгебраические свойства перестановки.
6. ^Биггс, Норман Л.; Уайт, А. Т. (1979). Группы подстановок и комбинаторные структуры. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22287-7.
7. ^Ротман 2006, стр. 107 - обратите внимание на сноску на этой странице.
8. ^Диксон и Мортимер 1996, стр. 3 - см. Комментарий после примера 1.2.2
9. ^Кэмерон, Питер Дж. (1999). Группы перестановок. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-65302-9.
10. ^Джеррам, М. (1986). «Компактное представление групп подстановок». J. Алгоритмы. 7 (1): 60–78. doi : 10.1016 / 0196-6774 (86) 90038-6.
11. ^Ротман 2006, стр. 108
12. ^ Диксон и Мортимер 1996, стр. 5
13. ^Артин 1991, стр. 177
14. ^Диксон и Мортимер 1996, стр. 17
15. ^Диксон и Мортимер 1996, стр. 18
16. ^Кэмерон 1994, стр. 228
17. ^Кэмерон, Питер Дж. (1990). Олигоморфные группы подстановок. Серия лекций Лондонского математического общества. 152 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38836-8. Zbl 0813.20002.
18. ^Олигоморфные группы перестановок - препринт Института Исаака Ньютона, Питер Дж. Кэмерон
19. ^Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугальд; Möller, Rögnvaldur G.; Нойман, Питер М. (1998). Замечания о бесконечных группах перестановок. Конспект лекций по математике. 1698 . Берлин: Springer-Verlag. п. 83. ISBN 3-540-64965-4. Zbl 0916.20002.
20. ^Dixon Mortimer 1996, стр. 28
21. ^Кэмерон 1994, стр. 226
22. ^Бернсайд, Уильям (1955) [1911], Теория групп конечного порядка (2-е изд.), Довер
23. ^Виландт, Х. (1964), Конечные группы перестановок, Academic Press

• Артин, Майкл (1991), Алгебра, Прентис-Холл, ISBN 0-13-004763-5
• Кэмерон, Питер Дж. (1994), Комбинаторика: Темы, Методы, алгоритмы, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0
• Dixon, John D.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Graduate Texts in Mathematics 163), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94599-7
• Ротман, Джозеф J. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 0-13-186267-7

• Акос Сересс. Алгоритмы группы перестановок. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Минакси Бхаттачарджи, Дугальд Макферсон, Рёгнвальдур Г. Мёллер и Питер М. Нойман. Заметки о бесконечных группах перестановок. Номер 1698 в конспектах по математике. Springer-Verlag, 1998.
• Питер Дж. Кэмерон. Группы перестановок. LMS Student Text 45. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
• Питер Дж. Кэмерон. Олигоморфные группы перестановок. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

• , Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Александр Хулпке. Библиотека данных GAP «Группы транзитивных перестановок».