IEEE 754-1985 был отраслевым стандартом для представления чисел с плавающей запятой в компьютерах, официально принятым в 1985 году и замененным в 2008 году IEEE 754-2008, а затем снова в 2019 году второстепенной редакцией IEEE 754-2019. В течение 23 лет это был наиболее широко используемый формат для вычислений с плавающей запятой. Он был реализован программно в виде библиотек с плавающей запятой и аппаратно в инструкциях многих процессоров и FPU. Первой интегральной схемой, реализовавшей проект того, что должно было стать IEEE 754-1985, была Intel 8087.
IEEE 754-1985 представляет числа в двоичном формате, предоставляя определения для четырех уровней точности, из которых наиболее часто используются два:
Уровень | Ширина | Диапазон с полной точностью | Точность |
---|---|---|---|
Одинарная точность | 32 бит | От ± 1,18 × 10 - 38 до ± 3,4 × 10 38 | Приблизительно 7 десятичных цифр |
Двойная точность | 64 бит | От ± 2,23 × 10 - 308 до ± 1,80 × 10 308 | Приблизительно 16 десятичных цифр |
Стандарт также определяет представления для положительной и отрицательной бесконечности, « отрицательный ноль », пять исключений для обработки недопустимых результатов, таких как деление на ноль, специальные значения, называемые NaN, для представления этих исключений, денормальные числа для представления чисел, меньших, чем показано выше, и четыре округления. режимы.
Числа с плавающей запятой в формате IEEE 754 состоят из трех полей: бит знака, смещенная экспонента и дробь. Следующий пример иллюстрирует значение каждого из них.
Десятичное число 0,15625 10, представленное в двоичном формате, равно 0,00101 2 (то есть 1/8 + 1/32). (Нижние индексы указывают основание числа.) Аналогично экспоненциальному представлению, где числа записываются так, чтобы слева от десятичной точки была одна ненулевая цифра, мы переписываем это число так, чтобы оно содержало один бит слева от " двоичная точка ». Мы просто умножаем на соответствующую степень 2, чтобы компенсировать сдвиг битов влево на три позиции:
Теперь мы можем считать дробь и показатель степени: дробь равна 0,01 2, а показатель степени равен −3.
Как показано на рисунках, три поля в представлении этого числа в стандарте IEEE 754:
IEEE 754 добавляет смещение к экспоненте, так что во многих случаях числа можно удобно сравнивать с помощью того же оборудования, которое сравнивает целые числа с дополнением до 2 со знаком. При использовании смещенной экспоненты меньшее из двух положительных чисел с плавающей запятой будет «меньше» большего, следуя тому же порядку, что и для целых чисел со знаком и величиной. Если два числа с плавающей запятой имеют разные знаки, сравнение знака и величины также работает со смещенными показателями. Однако, если оба числа с плавающей запятой со смещенной экспонентой отрицательны, то порядок должен быть изменен на противоположный. Если бы показатель степени был представлен, скажем, числом с дополнением до 2, сравнение, чтобы увидеть, какое из двух чисел больше, было бы не столь удобным.
Бит 1 в начале опускается, поскольку все числа, кроме нуля, начинаются с 1; ведущая 1 является неявной и на самом деле не нуждается в хранении, что дает дополнительную точность «бесплатно».
Цифра ноль представлена особым образом:
Представления чисел, описанные выше, называются нормализованными, что означает, что неявная ведущая двоичная цифра - это 1. Чтобы уменьшить потерю точности при возникновении потери значимости, IEEE 754 включает возможность представлять дроби, меньшие, чем это возможно в нормализованном представлении, путем выполнения неявная ведущая цифра a 0. Такие числа называются денормальными. Они не включают в себя столько значащих цифр, как нормализованное число, но они допускают постепенную потерю точности, когда результат арифметической операции не совсем равен нулю, но слишком близок к нулю, чтобы быть представленным нормализованным числом.
Денормальное число представлено смещенным показателем степени всех 0 битов, который представляет показатель степени -126 с одинарной точностью (не -127) или -1022 с двойной точностью (не -1023). Напротив, наименьшая смещенная экспонента, представляющая нормальное число, равна 1 (см. Примеры ниже).
Поле смещенной экспоненты заполняется всеми 1 битами, чтобы указать либо бесконечность, либо недопустимый результат вычисления.
Положительная и отрицательная бесконечность представлены таким образом:
Некоторые операции арифметики с плавающей запятой недопустимы, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Достижение недопустимого результата называется исключением с плавающей запятой. Исключительный результат представлен специальным кодом, который называется NaN, что означает « не число ». Все NaN в IEEE 754-1985 имеют следующий формат:
Точность определяется как минимальная разница между двумя последовательными представлениями мантиссы; таким образом, это функция только мантиссы; в то время как разрыв определяется как разница между двумя последовательными числами.
Числа с одинарной точностью занимают 32 бита. С одинарной точностью:
Некоторые примеры значений диапазона и разрыва для заданных показателей с одинарной точностью:
Фактическая экспонента (объективная) | Exp (необъективно) | Минимум | Максимум | Зазор |
---|---|---|---|---|
−1 | 126 | 0,5 | ≈ 0,999999940395 | ≈ 5.96046e-8 |
0 | 127 | 1 | ≈ 1,9999999880791 | ≈ 1,19209e-7 |
1 | 128 | 2 | ≈ 3.999999761581 | ≈ 2.38419e-7 |
2 | 129 | 4 | ≈ 7.999999523163 | ≈ 4,76837e-7 |
10 | 137 | 1024 | ≈ 2047.999877930 | ≈ 1.22070e-4 |
11 | 138 | 2048 | ≈ 4095.999755859 | ≈ 2.44141e-4 |
23 | 150 | 8388608 | 16777215 | 1 |
24 | 151 | 16777216 | 33554430 | 2 |
127 | 254 | ≈ 1.70141e38 | ≈ 3,40282e38 | ≈ 2,02824e31 |
Например, 16 777 217 нельзя закодировать как 32-битное число с плавающей запятой, так как оно будет округлено до 16 777 216. Это показывает, почему арифметика с плавающей запятой не подходит для бухгалтерского программного обеспечения. Однако все целые числа в пределах представимого диапазона, которые являются степенью двойки, могут быть сохранены в 32-битном веществе с плавающей запятой без округления.
Числа двойной точности занимают 64 бита. С двойной точностью:
Некоторые примеры значений диапазона и разрыва для заданных показателей с двойной точностью:
Фактическая экспонента (объективная) | Exp (необъективно) | Минимум | Максимум | Зазор |
---|---|---|---|---|
−1 | 1022 | 0,5 | ≈ 0,999999999999999888978 | ≈ 1.11022e-16 |
0 | 1023 | 1 | ≈ 1.999999999999999777955 | ≈ 2.22045e-16 |
1 | 1024 | 2 | ≈ 3.999999999999999555911 | ≈ 4.44089e-16 |
2 | 1025 | 4 | ≈ 7.999999999999999111822 | ≈ 8.88178e-16 |
10 | 1033 | 1024 | ≈ 2047.999999999999772626 | ≈ 2.27374e-13 |
11 | 1034 | 2048 | ≈ 4095.999999999999545253 | ≈ 4.54747e-13 |
52 | 1075 | 4503599627370496 | 9007199254740991 | 1 |
53 | 1076 | 9007199254740992 | 18014398509481982 | 2 |
1023 | 2046 | ≈ 8.98847e307 | ≈ 1,79769e308 | ≈ 1.99584e292 |
Стандарт также рекомендует использовать расширенный формат (ы) для выполнения внутренних вычислений с более высокой точностью, чем та, которая требуется для окончательного результата, чтобы минимизировать ошибки округления: стандарт определяет только минимальные требования к точности и показателю для таких форматов. X87 80-битный расширенный формат является наиболее часто реализуется расширенный формат, который отвечает этим требованиям.
Вот несколько примеров представлений IEEE 754 с одинарной точностью:
Тип | Подписать | Фактическая экспонента | Exp (необъективно) | Поле экспоненты | Поле дроби | Ценить |
---|---|---|---|---|---|---|
Нуль | 0 | −126 | 0 | 0000 0000 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | 0,0 |
Отрицательный ноль | 1 | −126 | 0 | 0000 0000 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | -0,0 |
Один | 0 | 0 | 127 | 0111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | 1.0 |
Минус один | 1 | 0 | 127 | 0111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | −1,0 |
Наименьшее денормализованное число | * | −126 | 0 | 0000 0000 | 000 0000 0000 0000 0000 0001 | ± 2 −23 × 2 −126 = ± 2 −149 ≈ ± 1,4 × 10 - 45 |
«Среднее» денормализованное число | * | −126 | 0 | 0000 0000 | 100 0000 0000 0000 0000 0000 | ± 2 -1 × 2 -126 = ± 2 -127 ≈ ± 5,88 × 10 - 39 |
Наибольшее денормализованное число | * | −126 | 0 | 0000 0000 | 111 1111 1111 1111 1111 1111 | ± (1−2 −23) × 2 −126 ≈ ± 1,18 × 10 - 38 |
Наименьшее нормализованное число | * | −126 | 1 | 0000 0001 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | ± 2 −126 ≈ ± 1,18 × 10 - 38 |
Наибольшее нормализованное число | * | 127 | 254 | 1111 1110 | 111 1111 1111 1111 1111 1111 | ± (2−2 −23) × 2 127 ≈ ± 3,4 × 10 38 |
Положительная бесконечность | 0 | 128 | 255 | 1111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | + ∞ |
Отрицательная бесконечность | 1 | 128 | 255 | 1111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | −∞ |
Не число | * | 128 | 255 | 1111 1111 | ненулевой | NaN |
* Знаковый бит может быть 0 или 1. |
Каждая возможная битовая комбинация представляет собой либо NaN, либо число с уникальным значением в аффинно расширенной системе вещественных чисел с соответствующим порядком, за исключением двух комбинаций битов для отрицательного нуля и положительного нуля, которые иногда требуют особого внимания (см. Ниже). Бинарное представление имеет особое свойство, что, за исключением NaNs, любые два числа можно сравнить, как знак и величину целых ( порядка следования байтов проблемы относятся). При сравнении целых чисел с дополнением до 2 : если знаковые биты различаются, отрицательное число предшествует положительному, поэтому дополнение до 2 дает правильный результат (за исключением того, что отрицательный ноль и положительный ноль должны считаться равными). Если оба значения положительны, сравнение дополнения до 2 снова дает правильный результат. В противном случае (два отрицательных числа) правильный порядок FP противоположен порядку дополнения до 2.
Ошибки округления, присущие вычислениям с плавающей запятой, могут ограничивать использование сравнений для проверки точного равенства результатов. Выбор приемлемого диапазона - сложная тема. Распространенным методом является использование эпсилон-значения сравнения для приблизительного сравнения. В зависимости от того, насколько мягкими являются сравнения, общие значения включают 1e-6
или 1e-5
для одинарной точности, и 1e-14
для двойной точности. Другой распространенный метод - это ULP, который проверяет разницу в цифрах последнего разряда, эффективно проверяя, сколько шагов отстоят от двух значений.
Хотя отрицательный ноль и положительный ноль обычно считаются равными для целей сравнения, некоторые операторы отношения в языке программирования и подобные конструкции рассматривают их как разные. Согласно спецификации языка Java, операторы сравнения и равенства рассматривают их как равные, но и различают их (официально начиная с версии Java 1.1, но фактически с 1.1.1), как и методы сравнения, и даже классы и. Math.min()
Math.max()
equals()
compareTo()
compare()
Float
Double
Стандарт IEEE имеет четыре различных режима округления; первый - значение по умолчанию; остальные называются направленными округлениями.
Стандарт IEEE использует (и расширяет) аффинно расширенную систему действительных чисел с отдельными положительными и отрицательными бесконечностями. Во время разработки было предложено включить в стандарт проективно расширенную систему действительных чисел с единственной беззнаковой бесконечностью, предоставив программистам возможность выбора режима. Однако в интересах снижения сложности окончательного стандарта проективный режим был исключен. В Intel 8087 и Intel 80287 с плавающей точкой сопроцессоров и поддерживают этот режим проективного.
Должны быть предусмотрены следующие функции:
NaN
для любого x (включая NaN
).copysign(x,y)
возвращает x со знаком y, поэтому abs(x)
равно copysign(x,1.0)
. Это одна из немногих операций, которые работают с NaN наподобие арифметических. Эта функция copysign
является новой в стандарте C99.scalb(y, N)
logb(x)
finite(x)
предикат для «х конечное значение», что эквивалентно -Inf lt;х lt;Infisnan(x)
предикат для «x is a NaN», эквивалентный «x ≠ x»x lt;gt; y
, который, как оказалось, ведет себя иначе, чем NOT (x = y) из-за NaN.unordered(x, y)
истинно, когда «x не упорядочен с y», т. е. либо x, либо y являются NaN.class(x)
nextafter(x,y)
возвращает следующее представимое значение от x в направлении yВ 1976 году Intel приступила к разработке сопроцессора с плавающей запятой. Intel надеялась, что сможет продать микросхему, содержащую хорошие реализации всех операций, обнаруженных в самых разных библиотеках математического программного обеспечения.
Джон Палмер, руководивший проектом, убедил их, что они должны попытаться разработать стандарт для всех своих операций с плавающей запятой. Он связался с Уильямом Каханом из Калифорнийского университета, который помог повысить точность калькуляторов Hewlett-Packard. Кахан предложил Intel использовать плавающую точку VAX корпорации Digital Equipment Corporation (DEC). Первый VAX, VAX-11/780, вышел только в конце 1977 года, и его числа с плавающей запятой пользовались большим успехом. Однако, стремясь вывести свой чип на как можно более широкий рынок, Intel хотела получить наилучшие возможные операции с плавающей запятой, и Кахан продолжил разработку спецификаций. Кахан изначально рекомендовал использовать десятичную систему с плавающей запятой, но аппаратная часть сопроцессора была слишком далеко продвинута, чтобы вносить это изменение.
Работа внутри Intel обеспокоила других поставщиков, которые начали усилия по стандартизации, чтобы обеспечить «равные условия игры». Кахан присутствовал на втором заседании рабочей группы по стандартам IEEE 754, состоявшемся в ноябре 1977 года. Здесь он получил разрешение от Intel выдвинуть проект предложения, основанный на стандартной арифметической части их проекта сопроцессора; ему было разрешено объяснять проектные решения Intel и их основную аргументацию, но не что-либо, связанное с архитектурой реализации Intel.
Поскольку 8-битная экспонента была недостаточно широкой для некоторых операций, требуемых для чисел с двойной точностью, например, для хранения произведения двух 32-битных чисел, как предложение Кахана, так и встречное предложение DEC использовали 11 бит, например время -tested 60-битовый формат с плавающей точкой из CDC 6600 из 1965. предложение Kahan также предусмотренные бесконечности, которые полезны при работе с разделением на ноль условий; нечисловые значения, которые полезны при работе с недопустимыми операциями; денормальные числа, которые помогают смягчить проблемы, вызванные недостаточным заполнением; и более сбалансированное смещение экспоненты, которое может помочь избежать переполнения и потери значимости при взятии обратной величины числа.
Еще до утверждения проект стандарта был внедрен рядом производителей. Intel 8087, анонсированный в 1980 году, был первым чипом, реализующим проект стандарта.
Сопроцессор Intel 8087 с плавающей запятойВ 1980 году уже был выпущен чип Intel 8087, но DEC по-прежнему выступала против денормальных чисел, в частности, из-за проблем с производительностью и поскольку это дало бы DEC конкурентное преимущество за счет стандартизации формата DEC.
Споры о постепенном истощении запасов продолжались до 1981 года, когда эксперт, нанятый DEC для оценки, выступил против несогласных. DEC провела исследование, чтобы продемонстрировать, что постепенное истощение ресурсов - плохая идея, но исследование пришло к противоположному выводу, и DEC сдалась. В 1985 году стандарт был ратифицирован, но уже стал стандартом де-факто годом ранее. реализуется многими производителями.