Аргумент отверстия

редактировать

В общей теории относительности аргумент отверстие представляет собой очевидный парадокс, который сильно беспокоит Альберт Эйнштейн при разработке своих знаменитых уравнений поля.

Некоторые философы физики используют аргумент , чтобы поднять проблему для многообразия субстанциализма, доктрина, согласно которой многообразие событий в пространстве-времени является «субстанцией», которая существует независимо от метрического поля, определенного в нем, или материи внутри него. Другие философы и физики не согласны с этой интерпретацией и рассматривают этот аргумент как заблуждение относительно калибровочной инвариантности и фиксации калибровки.

Содержание

1 Аргумент дыры Эйнштейна
2 Оспаривание приведенной выше версии аргумента Эйнштейна о дырке
3 Значение координатной инвариантности
4 Разрешение Эйнштейна
5 Значение независимости фона для некоторых теорий квантовой гравитации
6 См. Также
7 Ссылки
8 Источники
9 Внешние ссылки

Аргумент дыры Эйнштейна

В обычном уравнении поля, зная источник поля и граничные условия, определяет поле везде. Например, если нам заданы ток и плотность заряда и соответствующие граничные условия, уравнения Максвелла определяют электрическое и магнитное поля. Однако они не определяют векторный потенциал, потому что векторный потенциал зависит от произвольного выбора калибровки.

Эйнштейн заметил, что если уравнения гравитации в целом ковариантны, то метрика не может быть определена однозначно по ее источникам как функция координат пространства-времени. В качестве примера: рассмотрим гравитационный источник, например, солнце. Тогда существует некоторое гравитационное поле, описываемое метрикой g (r). Теперь выполните преобразование координат r $→ {\ displaystyle \ to}$ $\ to$ r ', где r' то же самое, что r для точек, находящихся внутри солнца, но r 'отличается от r за пределами солнца. На описание координат внутренней части Солнца преобразование не влияет, но изменяется функциональная форма метрики g 'для новых значений координат вне Солнца. Из-за общей ковариантности уравнений поля эта преобразованная метрика g 'также является решением в непреобразованной системе координат.

Это означает, что один источник, солнце, может быть источником множества, казалось бы, разных показателей. Разрешение сразу же: любые два поля, которые отличаются только таким преобразованием "дырки", физически эквивалентны, так же как два разных векторных потенциала, которые отличаются калибровочным преобразованием, физически эквивалентны. Тогда все эти математически различные решения физически неразличимы - они представляют собой одно и то же физическое решение уравнений поля.

Есть много вариантов этого очевидного парадокса. В одной из версий вы рассматриваете поверхность начального значения с некоторыми данными и находите метрику как функцию времени. Затем вы выполняете преобразование координат, которое перемещает точки в будущем на поверхности исходного значения, но не влияет на исходную поверхность или любые точки на бесконечности. Тогда вы можете сделать вывод, что общековариантные уравнения поля не определяют будущее однозначно, поскольку эта новая преобразованная метрика координат является одинаково допустимым решением тех же уравнений поля в исходной системе координат. Таким образом, проблема начального значения не имеет единственного решения в общей теории относительности. Это также верно и в электродинамике, поскольку вы можете выполнить калибровочное преобразование, которое завтра повлияет только на векторный потенциал. Решением в обоих случаях является использование дополнительных условий для фиксации датчика.

Оспаривание приведенной выше версии аргумента Эйнштейна о дырке

Вывод Эйнштейном уравнений гравитационного поля был отложен из-за аргумента о дырке, который он создал в 1913 году. Однако проблема заключалась не в том, что указано в разделе над. К 1912 году, когда Эйнштейн начал то, что он назвал «борьбой со смыслом координат», он уже знал, что нужно искать тензорные уравнения, поскольку на них не влияет изменение координат. Он уже нашел форму гравитационного поля (а именно, тетраду или поле кадра $e μ I (x) {\ displaystyle e _ {\ mu} ^ {I} (x)}$ $e _ {{\ mu}} ^ {I} (x)$ или метрическая $g μ ν (x) {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x)}$ $g _ {{\ mu \ nu}} (x)$ ), и уравнения движения материи в заданном гравитационном поле (которые следуют из максимизации собственного времени, задаваемого $ds 2 = g μ ν (x) dx μ dx ν {\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} (x) dx ^ {\ mu } dx ^ {\ nu}}$ $ds ^ {2} = g _ {{\ mu \ nu}} (x) dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}$ ). Очевидно, что это инвариантно относительно преобразований координат.

То, что его беспокоило, было следствием его принципа общей ковариантности и вытекает из следующего. Общая ковариация гласит, что законы физики должны принимать одну и ту же математическую форму во всех системах отсчета и, следовательно, во всех системах координат, и поэтому дифференциальное уравнение, которое является уравнением поля гравитационного поля, должно принимать одну и ту же математическую форму во всех системах координат. Другими словами, учитывая две системы координат, скажем, $x {\ displaystyle x}$ $x$ координаты и $y {\ displaystyle y}$ $y$ координаты, одна имеет точно такую же разность уравнение, которое необходимо решить в обоих случаях, за исключением одного независимая переменная $x {\ displaystyle x}$ $x$ , а в другом независимая переменная $y {\ displaystyle y}$ $y$ . Это означает, что как только в системе координат $x {\ displaystyle x}$ $x$ найдена метрическая функция, которая решает уравнения поля, можно просто записать ту же функцию, но заменить все $x {\ displaystyle x}$ $x$ с $y {\ displaystyle y}$ $y$ , который решает уравнения поля в $y {\ displaystyle y }$ $y$ система координат. Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, но принадлежат разным системам координат, они накладывают разные геометрические формы пространства-времени. Обратите внимание, что это второе решение не связано с первым преобразованием координат, но, тем не менее, это решение. Вот проблема, которая так беспокоила Эйнштейна: если эти системы координат различаются только после $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , тогда есть два решения; у них одинаковые начальные условия, но после $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ они задают другую геометрию. На основе этого наблюдения Эйнштейн потратил три года на поиск необщековариантных уравнений поля в безумной гонке против Гильберта.

. Чтобы быть более точным, Эйнштейн задумал ситуацию, когда распределение материи известно повсюду за пределами некоторых закрытых пространств. область пространства-времени, лишенная материи, дыра. Тогда уравнения поля вместе с граничными условиями якобы позволяют определить метрическое поле внутри отверстия. Координаты $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ должны различаться внутри отверстия, но согласовываться за его пределами. Затем аргумент продолжается, как в предыдущем абзаце.

Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, они принимают одинаковые значения; они просто принимают их в разных местах. Следовательно, одно решение получается из другого путем активного перетаскивания метрической функции по пространственно-временному многообразию в новую конфигурацию. Это известно как диффеоморфизм, который физики иногда называют активным диффеоморфизмом, чтобы отличить его от преобразований координат (пассивных диффеоморфизмов). Эйнштейну не удалось найти необщековариантные уравнения поля, чтобы вернуться к аргументу дырки и разрешить его. В основном это включало признание того, что эти два решения физически эквивалентны, утверждая, что то, как метрика локализована на пространственно-временном многообразии, физически не имеет значения и что отдельные точки пространства-времени, определенные в терминах пространственно-временных координат, сами по себе не имеют физического смысла (это источник проблемы многообразия субстанционализма). Чтобы придать смысл «местонахождению», Эйнштейн обобщил ситуацию, описанную в предыдущих абзацах, введя две частицы; тогда физические точки (внутри отверстия) могут быть определены в терминах их совпадающих мировых линий. Это работает, потому что материя перетаскивается вместе с метрикой при активных диффеоморфизмах. Без введения этих частиц нельзя было бы определять точки физического пространства-времени (внутри дыры); см. цитаты Эйнштейна, приведенные ниже в разделе «Резолюция Эйнштейна».

Значение координатной инвариантности

Для философов все же есть некоторая тонкость. Если компоненты метрики считаются динамическими переменными общей теории относительности, условие, что уравнения являются координатным инвариантом, само по себе не имеет никакого содержания. Все физические теории инвариантны относительно преобразований координат, если они сформулированы правильно. Можно записать уравнения Максвелла в любой системе координат и точно так же предсказывать будущее.

Но для того, чтобы сформулировать электромагнетизм в произвольной системе координат, необходимо ввести описание геометрии пространства-времени, не привязанное к специальной системе координат. Это описание представляет собой метрический тензор в каждой точке или связь, которая определяет, какие соседние векторы параллельны. Введенный математический объект, метрика Минковского, меняет форму от одной системы координат к другой, но он не является частью динамики, он не подчиняется уравнениям движения. Что бы ни случилось с электромагнитным полем, оно всегда одно и то же. Он действует без каких-либо действий.

В общей теории относительности каждая отдельная локальная величина, которая используется для описания геометрии, сама по себе является локальным динамическим полем со своим собственным уравнением движения. Это создает серьезные ограничения, потому что уравнение движения должно быть разумным. Он должен определять будущее из начальных условий, он не должен иметь неустойчивости убегания для малых возмущений, он должен определять положительно определенную энергию для малых отклонений. Если принять точку зрения, что координатная инвариантность тривиально истинна, принцип координатной инвариантности просто утверждает, что сама метрика является динамической, и ее уравнение движения не включает фиксированную фоновую геометрию.

Резолюция Эйнштейна

В 1915 году Эйнштейн осознал, что аргумент дыры делает предположение о природе пространства-времени: он предполагает, что есть смысл говорить о величине гравитационного поля (вплоть до простые преобразования координат) в точке пространства-времени, определяемой координатой пространства-времени - точнее, предполагается, что есть смысл говорить о физических свойствах гравитационного поля, например, является ли оно плоским или искривленным (это не зависящее от координат свойство гравитационное поле) в точке пространства-времени. Отказавшись от этого предположения, общая ковариация стала совместимой с детерминизмом. Хотя два гравитационных поля, которые отличаются активным диффеоморфизмом, выглядят по-разному геометрически, после пересчета траекторий всех частиц их взаимодействия явно определяют `` физические '' местоположения, по отношению к которым гравитационное поле принимает одинаковое значение при всех активных диффеоморфизмах. (Обратите внимание, что если бы две метрики были связаны друг с другом простым преобразованием координат, мировые линии частиц не были бы транспонированы; это потому, что обе эти метрики накладывают одну и ту же геометрию пространства-времени, а мировые линии определяются геометрически как траектории максимума. собственное время - только при активном диффеоморфизме изменяется геометрия и изменяются траектории.) Это было первое четкое изложение принципа калибровочной инвариантности в физическом законе.

Эйнштейн считал, что аргумент дыры подразумевает, что единственное значимое определение местоположения и времени - через материю. Точка в пространстве-времени бессмысленна сама по себе, потому что ярлык, который дается такой точке, не определен. Точки пространства-времени приобретают свое физическое значение только потому, что через них движется материя. По его словам:

«Все наши пространственно-временные проверки неизменно сводятся к определению пространственно-временных совпадений. Если бы, например, события состояли просто в движении материальных точек, то в конечном итоге ничего не было бы наблюдаемым, кроме встречи две или более из этих точек ».

Он считал это глубочайшим открытием общей теории относительности. Согласно этому пониманию, физическое содержание любой теории исчерпывается каталогом пространственно-временных совпадений, которые она разрешает. Джон Стэчел назвал этот принцип аргументом точечного совпадения .

Обычно то, что инвариантно относительно активных диффеоморфизмов и, следовательно, калибровочно-инвариантное, - это совпадения между значением гравитационного поля и значением материи. поле имеют одно и то же «место», потому что гравитационное поле и поле материи перетягиваются вместе друг с другом под действием активного диффеоморфизма. По этим совпадениям можно составить представление о расположении материи относительно гравитационного поля. Как выразился Карло Ровелли : «Больше никаких полей в пространстве-времени: только поля в полях». В этом истинный смысл поговорки «Сцена исчезает и становится одним из актеров»; пространство-время как «контейнер», в котором происходит физика, не имеет объективного физического смысла, и вместо этого гравитационное взаимодействие представлено как лишь одно из полей, формирующих мир.

Эйнштейн назвал свое решение «превосходящим мои самые смелые ожидания».

Последствия независимости от фона для некоторых теорий квантовой гравитации

Петлевая квантовая гравитация - это подход к квантовой гравитации, который пытается объединить фундаментальные принципы классической ОТО с минимальными существенными чертами квантовой механики и не требуя новых гипотез. Физики петлевой квантовой гравитации считают независимость фона центральным принципом в своем подходе к квантованию гравитации - классической симметрии, которая должна сохраняться квантовой теорией, если мы действительно хотим квантовать геометрию (= гравитацию). Непосредственным следствием этого является то, что LQG УФ-конечна, потому что малые и большие расстояния калибровочно эквивалентны, поскольку можно заменить одну метрическую функцию на другую, связанную с первой, активным диффеоморфизмом. Можно привести более точный аргумент. Прямое доказательство конечности канонической LQG в присутствии всех форм материи было предоставлено Тиманом. Однако было высказано предположение, что петлевая квантовая гравитация нарушает независимость от фона, вводя предпочтительную систему отсчета ('спиновая пена ').

Пертурбативная теория струн (в в дополнение к ряду непертурбативных формулировок) не является «очевидно» независимым от фона, потому что он зависит от граничных условий на бесконечности, подобно тому, как пертурбативная общая теория относительности не «очевидно» зависит от фона. Однако некоторые разделы теории струн допускают формулировки, в которых проявляется независимость от фона, в том числе, прежде всего, AdS / CFT. Считается, что теория струн в целом не зависит от фона, даже если многие полезные формулировки не отражают ее. Противоположную точку зрения см. Смолин.

См. Также

Ссылки

^ Нортон, Джон Д., «Аргумент дыры», Стэнфордская энциклопедия философии, Эдвард Н. Залта (ред.).
^Карло Ровелли, Квантовая гравитация, Cambridge University Press, 2007, стр. 65–66.
^См. Страницы 65–66 книги Ровелли «Квантовая гравитация».
^ См. Книгу Ровелли «Квантовая гравитация».
^См. Страницу 68 книги Ровелли «Квантовая гравитация».
^См. Диаграмму на странице 69 книги Ровелли «Квантовая гравитация».
^Эйнштейн, 1916, с. 117 (цитируется в книге Ровелли «Квантовая гравитация», стр. 70).
^См. Страницу 21 в Ли Смолин, Последние разработки в непертурбативной квантовой гравитации, arXiv : hep-th / 9202022
^, Современная каноническая общая квантовая теория относительности, Cambridge University Press
^Джо Полчински о дебатах о струнах : «В теории струн всегда было ясно, что физика не зависит от фона, даже если используемый язык не используется, и поиск более подходящего языка продолжается ".
^Ли Смолин, Дело в пользу независимости от фона, arXiv : hep-th / 0507235

Sources

Альберт Эйнштейн, HA Lorentz, H. Weyl, и Х. Минковски, (1952): Эйнштейн, Альберт (1916) «Основы общей теории относительности», стр. 111–164.
Карло Ровелли, Квантовая гравитация, опубликовано издательством Cambridge University Press (2004) ISBN 0-521-83733-2. Предварительную версию можно бесплатно загрузить по адресу http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf.
Нортон, Джон, Аргумент дыры, Стэнфордская энциклопедия философии (издание весна 2004 г.), Эдвард Н. Залта (ред.)
д'Инверно, Рэй (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-859686-3.См. Раздел 13.6.
Физика встречает философию на планковском уровне (Cambridge University Press).
Джой Кристиан, Почему квант должен поддаваться силе тяжести, электронная печать доступна как gr-qc / 9810078. Появляется в журнале Physics Meets Philosophy in the Planck Scale (Cambridge University Press).
Карло Ровелли и, Петлевая квантовая гравитация и значение инвариантности диффеоморфизма, электронная печать доступна как gr-qc / 9910079.
Роберт Ринасевич : Уроки аргументации дыр, Brit.J.Phil.Sci. т. 45, нет. 2 (1994), pp. 407–437.
Алан Макдональд, Аргумент дыры Эйнштейна American Journal of Physics (февраль 2001 г.), том 69, выпуск 2, стр. 223–225.

Внешние ссылки

Стэйчел, Джон, «Аргумент дыры и некоторые физические и философские последствия», Living Rev. Relativ. 17 (1) (2014).