Войти
Раннее изучение треугольников можно проследить до 2-го тысячелетия до нашей эры, в египетской математике (Математический папирус Райнда ) и Вавилонская математика. Тригонометрия также была широко распространена в математике Кушите. Систематическое изучение тригонометрических функций началось в эллинистической математике и достигло Индии как часть эллинистической астрономии. В индийской астрономии изучение тригонометрических функций процветало в период Гупта, особенно благодаря Арьябхате (шестой век н.э.), который открыл синус. функция. В средние века изучение тригонометрии продолжалось в исламской математике такими математиками, как Аль-Хорезми и Абу аль-Вафа. Это стало самостоятельной дисциплиной в исламском мире, где были известны все шесть тригонометрических функций. Переводы арабских и греческих текстов привели к тому, что тригонометрия стала предметом изучения на Латинском Западе, начиная с Ренессанса с Региомонтана. Развитие современной тригонометрии изменилось в течение западной эпохи Просвещения, начиная с математики 17-го века (Исаак Ньютон и Джеймс Стирлинг ) и достигнув своей современной формы с Леонард Эйлер (1748).
Термин «тригонометрия» произошел от греческого τρίγωνον trigōnon, «треугольник» и μέτρον metron, «мера».
Современное слово «синус» происходит от латинского слова sinus, которое означает «залив», «лоно» или «складка» косвенно, через индийскую, персидскую и арабскую передачи, происходит от греческого термина khordḗ «тетива, аккорд». Индусский термин для обозначения синуса в санскрите - jyā «тетива из лука». Индусы первоначально ввели и обычно использовали три тригонометрические функции - jyā, koti-jyā и utkrama-jyā. Индусы определяли их как функции дуги окружности, а не угла, отсюда их связь с тетивой лука, и, следовательно, «хорда дуги» для дуги называется «луком» (дхану, чапа). Его синонимы - джива, синджини, маурви, гуна и т. Д. Функция синуса позже была адаптирована в варианте джива. Санскритский jīvā был переведен (принят) на арабский язык как jiba, написанный jb جب. Затем это было истолковано как подлинное арабское слово jayb, означающее «грудь, складка, залив», либо арабами, либо по ошибке европейских переводчиков, таких как Роберт Честерский, который перевел jayb на латынь как синус. В частности, Фибоначчи sinus rectus arcus оказал влияние на определение термина «синус». Слова «минута» и «секунда» образованы от латинских фраз partes minutae primae и partes minutae secundae. Это примерно означает «первые маленькие части» и «вторые маленькие части».
Древние египтяне и вавилоняне знали теоремы о соотношении сторон подобных треугольников уже много веков. Однако, поскольку в доэллинских обществах не было понятия угловой меры, они были ограничены изучением сторон треугольников.
Вавилонские астрономы вели подробные записи о восходе и заходе солнца. звезды, движение планет, солнечные и лунные затмения, все это требовало знания угловых расстояний, измеренных на небесная сфера. Основываясь на одной интерпретации Плимптон 322 клинописи (ок. 1900 г. до н.э.), некоторые даже утверждали, что у древних вавилонян была таблица секущих. Однако ведется много споров относительно того, является ли это таблица троек Пифагора, решением квадратных уравнений или тригонометрической таблицей.
. Египтяне, с другой стороны, использовали примитивная форма тригонометрии для построения пирамид во 2-м тысячелетии до нашей эры. Математический папирус Райнда, написанный египетским писцом Ахмесом (ок. 1680–1620 до н.э.), содержит следующую задачу, относящуюся к тригонометрии:
«Если пирамида составляет 250 локтей» высота пирамиды и длина стороны ее основания 360 локтей, его секед ?"
решение проблемы, предложенное Ахмесом, - это отношение половины стороны основания пирамиды к ее высоте, или длина бега к высоте. Иными словами, величина, которую он нашел для секеда, является котангенсом угла к основанию пирамиды и ее грани.
Хорда угла подтягивается дугой угла. Древние греческие и эллинистические математики использовали хорду. Учитывая окружность и дугу на окружности, хорда - это линия, которая образует arc. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности и делит угол пополам. Одна половина разделенной пополам хорды является синусом половины разделенного пополам угла, то есть
и, следовательно, синусоидальная функция также известна как полухорда. Из-за этой связи ряд тригонометрических тождеств и теорем, которые известны сегодня, были также известны эллинистическим математикам, но в их эквивалентной аккордовой форме.
Хотя в работах нет тригонометрии из Евклида и Архимеда, в строгом смысле этого слова, есть теоремы, представленные геометрическим способом (а не тригонометрическим способом), которые эквивалентны определенным тригонометрическим законам или формулам. Например, предложения двенадцать и тринадцать второй книги Элементов - это законы косинусов для тупых и острых углов соответственно. Теоремы о длинах хорд являются приложениями закона синусов. А теорема Архимеда о ломаных хордах эквивалентна формулам для синусов сумм и разностей углов. Чтобы компенсировать отсутствие таблицы аккордов, математики времен Аристарха иногда использовали утверждение, что в современных обозначениях sin α / sin β < α/β < tan α/tan β whenever 0° < β < α < 90°, now known as неравенство Аристарха.
Первую тригонометрическую таблицу, по-видимому, составил Гиппарх из Никеи (180–125 гг. До н.э.), который теперь известен как «отец тригонометрии». Гиппарх был первым, кто свел в таблицу соответствующие значения дуги и хорды для ряда углов.
Хотя неизвестно, когда систематическое использование круга 360 ° вошло в математику, известно, что систематическое введение окружности 360 ° появился немного позже Аристарх Самосский составил О размерах и расстояниях Солнца и Луны (около 260 г. до н.э.), поскольку он измерял угол в терминах доля квадранта. Кажется, что систематическое использование круга на 360 ° во многом связано с Гиппархом и его таблицей аккордов. Гиппарх, возможно, заимствовал идею этого деления от Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, что, возможно, было предложено вавилонской астрономией. В древней астрономии зодиак разделялся на двенадцать «знаков» или тридцать шесть «деканов». Сезонный цикл, составляющий примерно 360 дней, мог бы соответствовать знакам и деканам зодиака, если бы каждый знак разделил на тридцать частей, а каждый декан на десять частей. Именно благодаря вавилонской шестидесятеричной системе счисления каждый градус делится на шестьдесят минут, а каждая минута делится на шестьдесят секунд.
Теорема Менелая Менелай Александрийский (около 100 г. н.э.) написал в трех книгах свой Sphaerica. В Книге I он установил основу для сферических треугольников, аналогичную евклидовой основе для плоских треугольников. Он устанавливает теорему, которая не имеет евклидова аналога, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не различал конгруэнтные и симметричные сферические треугольники. Другая теорема, которую он устанавливает, заключается в том, что сумма углов сферического треугольника больше 180 °. Книга II Sphaerica применяет сферическую геометрию к астрономии. А в третьей книге содержится «теорема Менелая». Далее он дал свое знаменитое «правило шести величин».
Позже Клавдий Птолемей (ок. 90 - ок. 168 г. н.э.) расширил аккорды Гиппарха по кругу в его Альмагест, или Математический синтаксис. Альмагест - это в первую очередь работа по астрономии, а астрономия опирается на тригонометрию. Таблица хорд Птолемея дает длины хорд окружности диаметром 120 как функцию числа градусов n в соответствующей дуге окружности, для n в диапазоне от 1/2 до 180 с шагом 1/2. Тринадцать книг Альмагеста являются наиболее влиятельным и значительным тригонометрическим произведением всей древности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемеем, была известна сегодня как теорема Птолемея, согласно которой сумма произведений противоположных сторон циклического четырехугольника равна произведение диагоналей. Частный случай теоремы Птолемея появился как предложение 93 в «Данных Евклида». Теорема Птолемея приводит к эквиваленту четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса, которые сегодня известны как формулы Птолемея, хотя сам Птолемей использовал аккорды вместо синуса и косинуса. Далее Птолемей вывел эквивалент формулы полуугла
Птолемей использовал их результаты для создания его тригонометрических таблиц, но невозможно определить, были ли эти таблицы получены из работ Гиппарха.
Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до наших дней, хотя описания других древних авторов оставляют мало сомнений в том, что они когда-то существовали.
Пифагор открыл многие свойства того, что впоследствии стало тригонометрическими функциями. Теорема Пифагора, p + b = h - это представление фундаментального тригонометрического тождества sin (x) + cos (x) = 1. Длина 1 - гипотенуза любого прямоугольного треугольника и имеет длину катетов. sin (x) и cos (x), где x является одним из двух непрямых углов. С учетом этого тождество, на котором основана тригонометрия, оказывается теоремой Пифагора.
Некоторые из первых и очень важных разработок тригонометрии произошли в Индии. Влиятельные работы 4–5 веков, известные как сиддханты (которых было пять, наиболее важным из которых является Сурья Сиддханта ), впервые определили синус как современное соотношение между половиной угла и половиной хорды, а также определяет косинус, версин и обратный синус. Вскоре после этого другой индийский математик и астроном, Арьябхата (476–550 гг. Н.э.), собрал и расширил развитие Сиддхант в важной работе, названной Арьябхатия. Сиддханты и Арьябхатия содержат самые ранние сохранившиеся таблицы значений синуса и значений версин (1 - косинус) с интервалами 3,75 ° от 0 ° до 90 ° с точностью до 4 десятичных знаков. Они использовали слова jya для синуса, kojya для косинуса, utkrama-jya для версина и otkram jya для обратного синуса. Слова jya и kojya в конечном итоге стали синусом и косинусом соответственно после неправильного перевода, описанного выше.
В 7 веке Бхаскара I создал формулу для вычисления синуса острого угла без использования таблицы. Он также дал следующую формулу аппроксимации для sin (x) с относительной погрешностью менее 1,9%:
Позже, в 7 веке, Брахмагупта переработал формулу
(также получено ранее, как упоминалось выше) и формула интерполяции Брахмагупты для вычисления значений синуса.
Другой более поздний индийский автор по тригонометрии был Бхаскара II в 12 веке. Бхаскара II разработал сферическую тригонометрию и обнаружил множество тригонометрических результатов.
Бхаскара II был одним из первых, кто открыл 
Мадхава (ок. 1400 г.) сделал первые шаги в анализ тригонометрических функций и их бесконечный ряд разложения. Он разработал концепции степенных рядов и рядов Тейлора и произвел расширения степенных рядов синуса, косинуса, тангенса и арктангенса. Используя приближения синуса и косинуса ряда Тейлора, он составил таблицу синусов с точностью до 12 знаков после запятой и таблицу косинусов с точностью до 9 знаков после запятой. Он также дал степенной ряд π и угол, радиус, диаметр и длину окружности круг в терминах тригонометрических функций. Его работы были расширены его последователями в школе Кералы вплоть до 16 века.
| No. | Серия | Имя | Западные первооткрыватели серии. и приблизительные даты открытия |
|---|---|---|---|
| 1 | sin x = x - x / 3! + х / 5! - х / 7! +... | Синус ряд Мадхавы | Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676) |
| 2 | cos x = 1 - x / 2! + х / 4! - х / 6! +... | Ряд косинусов Мадхавы | Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676) |
| 3 | tanx = x - x / 3 + x / 5 - x / 7 +... | Мадхавы ряд арктангенса | Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676) |
Индийский текст Yuktibhāṣā содержит доказательство расширения синуса и косинуса, а также вывод и доказательство степенного ряда для арктангенса, открытого Мадхавой. Юктибхана также содержит правила нахождения синусов и косинусов суммы и разности двух углов.
Го Шоуцзин (1231–1316) В Китае таблица синусов Арьябхата была переведена на Китайская математическая книга Кайюань Чжаньцзин, составленная в 718 году нашей эры во время династии Тан. Хотя китайцы преуспели в других областях математики, таких как сплошная геометрия, биномиальная теорема и сложные алгебраические формулы, ранние формы тригонометрии не пользовались таким широким признанием, как в более ранних греческих, эллинистических, индийских и исламских мирах. Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирическую замену, известную как чун ча, тогда как было известно практическое использование плоской тригонометрии при использовании синуса, касательной и секущей. Однако это зародышевое состояние тригонометрии в Китае стало медленно меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономии. расчеты. Эрудит Китайский ученый, математик и чиновник Шэнь Куо (1031–1095) использовал тригонометрические функции для решения математических задач хорд и дуг. Виктор Дж. Кац пишет, что в формуле Шена «техника пересечения кругов» он создал аппроксимацию дуги s окружности с учетом диаметра d, sagitta v и длины c хорды, соединяющей дугу., длину которого он аппроксимировал как
Сал Рестиво пишет, что работа Шена с длинами дуг окружностей легла в основу сферической тригонометрии разработан в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). Как утверждают историки Л. Гоше и Джозеф Нидхэм, Го Шоуцзин использовал сферическую тригонометрию в своих вычислениях, чтобы улучшить календарную систему и китайскую астрономию. Наряду с более поздней иллюстрацией математических доказательств Гуо в XVII веке, Нидхэм утверждает, что:
Гуо использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базальный четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги вместе с двумя дугами меридиана, один из которых прошел через точку летнего солнцестояния... С помощью таких методов он смог получить дю лю (градусы экватора, соответствующие градусам эклиптики), цзи ча (значения хорды для заданных дуг эклиптики) и cha lü (разница между хордами дуг, различающихся на 1 градус).
Несмотря на достижения Шэнь и Го в тригонометрии, еще одна существенная работа по китайской тригонометрии не публиковалась до 1607 года., с двойной публикацией Элементов Евклида китайским официальным лицом и астрономом Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянским иезуитом Маттео Риччи (1552–1610).
Страница из Сборника расчетов по завершению и уравновешиванию по Мухаммад ибн Муса аль-Хваризм (ок. 820 г. н.э.) Предыдущие работы были позже переведены и расширены в средневековом исламском мире мусульманскими математиками в основном персидскими и арабскими корнями, который провозгласил большое количество теорем, которые освободили предмет тригонометрии от зависимости от полного четырехугольника, как это было в эллинистической математике из-за применения теоремы Менелая. По словам Кеннеди, именно после этого развития в исламской математике «появилась первая настоящая тригонометрия в том смысле, что только тогда объектом исследования стал сферический или плоский треугольник, его стороны и углы."
Были также известны методы работы со сферическими треугольниками, в частности, метод Менелая Александрийского, который разработал «теорему Менелая» для решения сферических задач. Однако ES Кеннеди указывает, что, хотя в доисламской математике было возможно вычислить величины сферической фигуры, в принципе, с помощью таблицы хорд и теоремы Менелая, применение этой теоремы к сферическим задачам было очень трудным на практике.. Чтобы соблюдать священные дни в исламском календаре, в котором время определялось фазами луны, астрономы первоначально использовали метод Менелая для вычисления места луны. и звезды, хотя этот метод оказался коряво и сложно. Это включало создание двух пересекающихся прямоугольных треугольников ; Применяя теорему Менелая, можно было решить одну из шести сторон, но только если были известны другие пять сторон. Например, чтобы отличить время от солнца на высоте, требовалось многократное применение теоремы Менелая. Для средневековых исламских астрономов возникла очевидная проблема - найти более простой тригонометрический метод.
В начале 9 века нашей эры Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми дал точные данные. таблицы синусов и косинусов и первая таблица касательных. Он также был пионером в сферической тригонометрии. В 830 г. Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази составил первую таблицу котангенсов. Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (Альбатениус) (853-929 гг.) Открыл взаимные функции секанса и косеканса, и была создана первая таблица косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °.
К 10 веку нашей эры, в работе Абу аль-Вафа 'ал- Бузджани, мусульманские математики использовали все шесть тригонометрических функций. У Абу аль-Вафа были таблицы синусов с шагом 0,25 °, с точностью до 8 десятичных знаков и точные таблицы значений тангенса. Он также разработал следующую тригонометрическую формулу:
(частный случай формулы сложения углов Птолемея; см. Выше)В своем исходном тексте Абу аль-Вафа 'заявляет: «Если мы этого хотим, мы умножаем данный синус на косинус минут, и результат равен половине синуса двойного ". Абу аль-Вафа также установил тождества сложения углов и разности, представленные полными доказательствами:
Для второго в тексте указано : «Мы умножаем синус каждой из двух дуг на косинус другой минуты. Если нам нужен синус суммы, мы складываем произведения, если нам нужен синус разницы, мы берем их разницу».
Он также открыл закон синусов для сферической тригонометрии:
Также в конце 10-го и начале 11-го веков нашей эры египетский астроном Ибн Юнус провел множество тщательных тригонометрических вычислений и продемонстрировал следующее тригонометрическое тождество :
Аль-Джайани (989–1079) из аль-Андалуса написал Книгу неизвестных дуг сферы, которая считается «первым трактатом по сферической тригонометрии ». Он «содержит формулы для правых треугольников, общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника». Позднее этот трактат оказал «сильное влияние на европейскую математику», и его «определение отношений как чисел» и «метод решения сферического треугольника, когда все стороны неизвестны», вероятно, повлияли на Региомонтан.
Метод триангуляции был впервые разработан мусульманскими математиками, которые применили его к практическим применениям, таким как геодезия и исламская география, как описано Абу Райхан Бируни в начале 11 века. Сам Бируни ввел методы триангуляции для измерения размеров Земли и расстояний между различными местами. В конце 11 века Омар Хайям (1048–1131) решил кубические уравнения, используя приближенные числовые решения, найденные путем интерполяции в тригонометрических таблицах. В 13 веке Насир ад-Дин ат-Туси первым начал рассматривать тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и развил сферическую тригонометрию в ее нынешнем виде. Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей работе «На секторном рисунке» сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон касательных для сферических треугольников. и предоставил доказательства обоих этих законов. Насир ад-Дин ат-Туси был описан как создатель тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины.
В 15 веке, Джамшид аль-Каши представил первое явное изложение закона косинусов в форме, подходящей для триангуляции. В Франции закон косинусов по-прежнему упоминается как теорема Аль-Каши. Он также дал тригонометрические таблицы значений синусоидальной функции для четырех шестидесятеричных цифр (эквивалентных 8 десятичным разрядам) для каждого 1 ° аргумента с добавлением разностей для каждой 1/60 1 °. Улугбек также дает точные таблицы синусов и тангенсов с точностью до 8 знаков после запятой примерно в одно и то же время.
В 1342 году Леви Бен Гершон, известный как Герсонид писал о синусах, хордах и дугах, в частности, доказывая закон синусов для плоских треугольников и давая пятизначные таблицы синусов.
Упрощенную тригонометрическую таблицу, " toleta de marteloio "использовался моряками в XIV-XV вв. Для расчета навигационных курсов. Он описан Рамоном Лулллом из Майорки в 1295 году и изложен в атласе 1436 года Венецианский капитан Андреа Бьянко.
Региомонтан был, возможно, первым математиком в Европе, который рассматривал тригонометрию как отдельную математическую дисциплину, в его De triangulis omnimodis, написанном в 1464 году, а также в его более позднем Tabulae directionum, который включал безымянную функцию касательной. Opus palatinum de triangulis Георга Иоахима Ретикуса, ученика Коперника, вероятно, был первым в Европе, который определил тригонометрические функции непосредственно в терминах прямоугольных треугольников, а не кругов, с таблицами для все шесть тригонометрических функций; эта работа была завершена учеником Ретикуса Валентином Отоном в 1596 году.
В 17 веке Исаак Ньютон и Джеймс Стирлинг разработали общий Интерполяционная формула Ньютона – Стирлинга для тригонометрических функций.
В XVIII веке Леонард Эйлер Introductio in analysin infinitorum (1748) в основном отвечал за установление аналитического подхода к тригонометрическим функциям в Европе, вывод их бесконечных рядов и представление "Формула Эйлера «e = cos x + i sin x. Эйлер использовал почти современные сокращения sin., Cos., Tang., Cot., Sec. И cosec. До этого Роджер Котес вычислил производную синуса в своей Harmonia Mensurarum (1722). Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора и дал расширения ряда и приближения для всех шести тригонометрических функций. Работы Джеймса Грегори в 17 веке и Колина Маклорена в 18 веке также оказали большое влияние на развитие тригонометрических рядов.
