Войти
Математическая концепция функция возникла в 17 века в связи с развитием исчисления ; например, наклон 
Уже в 12 веке математик Шараф ад-Дин а l-Tusi проанализировал уравнение x + d = b ⋅ x в форме x ⋅ (b - x) = d, заявив, что левая часть должна как минимум равняться значению d, чтобы уравнение имело решение. Специальное определенное значение этого выражения. Можно утверждать, что выделение этого выражения является раннимом к понятию «функция подход». Значение меньше d означает отсутствие положительного решения; равное d, соответствует одному решению, а значение, превышающему d, двум решениям. Анализ этого уравнения Шараф ад-Дином стал заметным достижением в исламской математике, но его работа в то время не получила дальнейшего развития ни в мусульманском мире, ни в Европе.
Согласно По мнению Дьедонне и Понте, концепция функции возникла в 17 веке в результате развития аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. Тем не менее Медведев предполагает, что неявное понятие функции имеет древнее происхождение. Понте также видит более явные подходы к этой концепции в Средневековье :
Развитие аналитической геометрии около 1640 года позволяет математикам выбирать между геометрическими задачами кривых и алгебраическими связями между «переменными координатами x и y». Исчисление было разработано с использованием термина и связанного с ними геометрического значения, которое сохранялось до восемнадцатого века. Тем не менее, термин «функция» стал знакомым во взаимодействии между Лейбницем и Бернулли ближе к концу 17 века.
Термин «функция» "было введено Готфридом Лейбницем в письме 1673 г. для описания величины, состав с точками кривой, например координаты или наклон. Иоганн Бернулли начал проявлять выражение, состоящее из одной «функции». В 1698 году он согласился с Лейбницем, что любую образованную «алгебраическим и трансцендентным образом», можно использовать функцию от x. К 1718 году он стал рассматривать как функцию «любое выражение, состоящее из альтернативных констант». Алексис Клод Клеро (примерно в 1734 году) и Леонард Эйлер ввели знакомые обозначения 
Функции, которые рассматривались в то время, сегодня называются дифференцируемыми функциями. Для этого типа функций можно говорить о ограничениях и производных; хода, поскольку это зависит от входа или изменения входа. Такие функции являются используемыми исчисления.
В первом томе своего фундаментального текста Введение в Analysin Infinitorum, в 1748 году, Эйлер дал по существу то же определение функции, что и его учитель Бернулли., как выражение или формула с переменными и константами, например, 
Эйлер также допускает многозначные функции, значения которых указаны неявным уравнением.
Однако в 1755 году в своих Institutiones Calculi Differentialis Эйлер дал более общее понятие:
Медведев считает, что «по сути это определение, которое стало известно как определение Дирихле». Эдвардс также приписывает Эйлеру общие концепции функций и далее говорит, что
В «Аналитической теории де ля Шалер» Фурье утверждал, что произвольная функция может быть представлена рядом Фурье. У Фурье была общая концепция функции, которая включала функции, которые не были непрерывными и не определялись аналитическим выражением. Связанные с этим вопросы о природе и представлении функций, выполняющие при решении волнового уравнения для колеблющейся струны, уже были предметом спора между Даламбером и Эйлером, и они оказали значительное влияние на обобщение понятия функции. Лузин отмечает, что:
В веке математики начали формализовать все различные разделы математики. Одним из первых это сделал Коши ; его несколько неточные результаты были позже сделаны полностью строгими Вейерштрассом, который выступал за построение исчисления на арифметике, а не на геометрии, который отдавал предпочтение определению Эйлера над определением Лейбница (см. арифметизация анализа ). Согласно Смитису, Коши считал функции управляющими уравнениями, включающими действующие или комплексные числа, и молчаливо предполагал, что они непрерывны:
Николай Лобачевский и Петр Густаву Лежену Дирихле традиционно приписывают независимое определение современного «формального» определения функций как отношения , в котором каждый первый элемент имеет уникальный второй элемент.
Лобачевский (1834) пишет, что
в то время как Дирихле (1837) пишет
также постоянно изменяется, тогда y называется непрерывной функцией x для этого интервала. Здесь не обязательно, чтобы y задавался через x по одному и тому же закону на всем протяжении интервала, и нет необходимости рассматривать его как зависимость, выраженную с помощью математических операций.Эвес утверждает, что "изучающий математику обычно встречает определение функции Дирихле в своем вводном курсе по исчислению.
Требование Дирихле об этой формализации было оспорено Имре Лакатошем :
Точно так же Лавин замеча, как отмечено выше, в статье. ет, что:
Времена Лобачевского и Дирихле считались одними из первых, кто ввел понятие особой переписки, это понятие иногда называют определением Дирихле или Лобачевского-Дирихле. функции. Общая версия этого определения была позже функции Бурбаки (1939), и некоторые в образовательном сообществе называют это определением функции "Дирихле-Бурбаки".
Дьедонне, который был одним из основателей группы Бурбаки, приписывает точное и общее современное определение функций Дедекинду в его работе Был sind und was sollen die Zahlen, который появился в 1888 году, но уже был составлен в 1878 году. Дьедонне отмечает, что вместо того, чтобы ограничиться, как в предыдущих концепциях, реформах функций, Дедекинд функции функции как однозначное отображение между любыми двумя наборами:
Харди 1908, стр. 26–28 определил функцию как отношение между двумя переменными x и таким образом, что «некоторым значениям x в любом случае соответствуют значения y». Он не требовал, чтобы функция определялась для всех значений x или связывало значение x с одним значением y. Это широкое определение включает в себя функции в современной математике. Например, определение Харди включает многозначные функции и то, что в теории вычислимости называется частичными функциями.
Логики этого времени были в первую очередь связаны с анализом силлогизмов (аристотелевские формы 2000-летней давности и др.), или, как сказал Август Де Морган (1847): «исследование этой части рассуждений, зависящая от способа формирования умозаключений, а также общих принципов и правил построения аргументов. В настоящее время понятие (логической) «функции» не является явным, но, по крайней мере, в работе Де Моргана и Джорджа Буля оно подразумевается: мы видим абстракцию этим аргументов, введение, введение символической алгебры по переменным и некоторые понятия теории множеств.
Де Морган 1847 г. «ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА ИЛИ, Исчисление вывода, необходимого и вероятного» отмечает, что, что «[A] логическая истина зависит от структуры утверждающей дения, а не от конкретных вопросов, о которых говорилось "; он не теряет времени (предисловие, стр. i), абстрагируя: «В форме предложения связка сделана столь же абстрактной, как и термины». Он немедленно (стр. 1) преобразует то, что он называет «предложением» (современная пропозициональная функция или отношение), в такую форму, как «X есть Y», где символы X, «есть» и Y предоставляют, соответственно, позвонее, связка и сказуемое. Хотя слово «функция» не появляется, понятие «абстракция» присутствует, «переменные» присутствуют, понятие включения в егоику символ «все Δ находится в О» (стр. 9) присутствует, и, наконец, новый символизм для логического анализа понятия «отношение» »(Он использует слово в отношении этого примера« X) Y »(стр. 75)):
В своей книге «Природа логики» 1848 г. Бул утверждает, что «логика... в более особом смысле - это наука о рассуждении с помощью знаков»., и он кратко обсуждает понятия «принадлежность к» и «класс»: «Индивид может обладать большим атрибутов и, таким образом, принадлежать к большому количеству различных классов». Как и Де Морган, он использует понятие «анализ», извлеченное из анализа; он приводит пример «представления класса быков с помощью x, а лошадей с помощью y, соединения и знака +... мы могли бы представить совокупный класс волов и лошадей с помощью x + y».
В контексте «Дифференциального исчисления» Бул определил (около 1849 г.) понятие функции следующим образом:
Eves замечает,« чтологики пытались еще больше снизить начальный уровень дефиниционного развития математики и вывести теорию множеств или классов на основе логики предложений и пропозициональных функций ". Но к концу 19 века в исследованиях логиков основ математики произошел серьезный раскол. Направление первой группы, Логики, вероятно, лучше всего может быть охарактеризовано Бертраном Расселом 1903 - «выполнить две задачи, во-первых, показать, что вся математика следует из символической логики.
Вторая группа логиков, теоретики множеств, возникла с «теорией множеств» Георга Кантора (1870–1890), чтобы раскрыть насколько это возможно, принципы самой символической логики., но отчасти продвинулась вперед в результате открытия Расселом теории множеств. парадокс, который может быть выведен из «концепции функций» Фреге, но также и как реакция на предложенное Расселомное решение. Теоретико-множественным ответом Цермело были его Исследования 1908 года по основам теории множеств I - первая аксиоматическая теория множеств ; Здесь тоже играет роль понятие «пропозициональная функция».
В своем исследовании законов мышления Бул теперь определил функцию в терминах символа x следующим образом:
Затем логический элемент использовал алгебраические выражения для определения как алгебраических, так и логических понятий, например, 1 - x является логическим НЕ (x), xy - это логическое И (x, y), x + y - это логическое OR (x, y), x (x + y) - это xx + xy, и «специальный закон» xx = x = x.
В своей символической логике 1881 года Венн использовал слова «логическая функция» и современный символизм (x = f (y), y = f (x), см. Стр. Xxi), а также круговые диаграммы, исторически связанные с Венном для описания «классовых отношений», понятий «количественная оценка» нашего предиката »,« пропозиций в отношении их расширения »,« отношения включения и исключения двух классов друг к другу »и« пропозициональной функции »(все на стр.10), планка над ва riable для обозначения не-x (стр. 43) и т. д. Действительно, он недвусмысленно приравнял пон ятие «логическая функция» к «классу» [современное «множество»]: «... согласно точке зрения, принятой в этой книге, f (x) никогда не означает ничего, кроме логического класса. Это может быть составной класс, состоящий из множества простых классов; это может быть класс, обозначенный некоторыми обратными логическими операциями, он может состоять из двух групп классов, равных друг другу, или, что то же самое, их разность объявлена равной нулю, то есть логическим уравнением. Но каким бы составным или производным оно ни было, f (x) для нас никогда не будет ничем иным, как общим выражением для таких логических классов вещей, которые могут найти свое место в обычной логике ».
Begriffsschrift (1879) Готтлоба Фреге предшествует Джузеппе Пеано (1889), но Пеано не знал Frege 1879 harvnb error: множественные цели ( 2 ×): CITEREFFrege1879 (помогите ), пока он не опубликовал свой 1889 год. Оба автора сильно повлияли на Рассела (1903). Рассел, в свою очередь, повлиял на большую часть математики и логики XX века. его Principia Mathematica (1913) совместно с Альфредом Норт Уайтхедом.
С самого начала Фреге отказывается от традиционных «понятий субъект и предикат», заменяя их аргументом и функцией соответственно, что он считает » выдержит испытание временем. Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к формированию концепций. Кроме того, заслуживает внимания демонстрация связи между значениями слов if, and, not, or, there is, some, all, и т. Д. ».
Фреге начинает обсуждение« функции » Пример: начните с выражения «Водород легче углекислого газа». Теперь удалите знак водорода (например, слово «водород») и замените его знаком кислорода (например, словом «кислород»); это делает второе утверждение. Сделайте это еще раз (используя любое из утверждений) и замените знак азота (то есть слово «азот») и обратите внимание, что «Это изменяет значение таким образом, что в него входит« кислород »или« азот » в отношения, в которых «водород» стоял раньше ». Есть три утверждения:
Теперь обратите внимание на «стабильный компонент, представляющий совокупность [отношений]»; назовите это функцией n, т.е.
Фреге вызывает аргумент функции «[t] он подписывает [например, водород, кислород или азот], рассматриваемые как заменяемые другими, которые обозначают объект, стоящий в этих отношениях ".Он отмечает, что мы могли бы получить функцию как «Водород легче, чем...» с аргументом справа; точное наблюдение сделал Пеано (подробнее см. ниже). Наконец, Фреге учитывает случай двух (или более) аргументов. Например, удалите «углекислый газ», чтобы получить инвариантную часть (функцию) как:
Функция с одним аргументом, которую Фреге обобщает в форме Φ (A) где A - аргумент, а Φ () представляет функцию, тогда как функцию с двумя аргументами он символизирует как Ψ (A, B) с аргументами A и B, а (,) - функция и предупреждает, что «в целом (A, B) отличается от Ψ (B, A) ». Используя свой уникальный символизм, он переводит для читателя следующий символизм:
Пеано определил понятие «функция» в манере, чем-то похожей на Фреге, но без точности. Сначала Пеано определяет знак «K означает класс или совокупность объектов», объекты, которые удовлетворяют трем условиям равенства: a = a, (a = b) = (b = a), IF ((a = b) И (b = c)) ТОГДА (a = c). Затем он вводит φ, «знак или совокупность знаков таких, что если x является объектом класса s, выражение φx обозначает новый объект». Пеано сотрудничество к этим новым объектам два условия: во-первых, выполнение трех условий равенства для объектов φx; во-вторых, что «если x и y являются объектами класса s и если x = y, мы предполагаем, что можно вывести φx = φy». Если все эти условия выполнены, φ является «предварительным знаком функции». Точно так же он определяет «служебный знак». Например, если φ - функция presign a +, тогда φx дает a + x, или если φ - функция postign + a, то xφ дает x + a.
Хотя влияние Кантора и Пеано было превалирующим, в Приложении А «Логические и арифметические доктрины Фреге» к Принципам математики Расселение приходит к обсуждению концепции функций Фреге ».. В ответ на обмен письмами с Фреге в 1902 году о противоречии, которое он обнаружил в Begriffsschrift Фреге, рассел в последний момент добавил к этому разделу.
Рассела сбивает с толку понятие «переменная»: «6. Математические предложения характеризуются не только тем фактом, что они утверждают импликации, но и тем фактом, что они содержат переменные. я открыто хочу прояснить, что переменные есть во всех математических предложениях, даже там, где на первый взгляд они могут показаться отсутствующими... Мы всегда будем находить во всех математических предложениях, что слова любые или некоторые встречаются; формальным следствием ".
Как выражено Расселом, "процесс преобразования констант в предложении в переменные приводит к тому, что называется обобщением, и дает нам как бы формальную сущность предложения... Пока любой член в нашем предложении можно превратить в переменную, наше предложение" может быть обобщено; и до тех пор, пока это возможно, это бизнес по математике, чтобы сделать это "; Эти обобщения Рассел назвал пропозициональные функции ". Действительно, он цитирует и цитирует из Begriffsschrift Фреге и представляет яркий пример из работы Фреге 1891 года Function und Begriff:" Суть арифметической функции 2x + x - это то, что остается, когда x убирается, т.е. в приведенном выше примере 2 () + (). Аргумент x не принадлежит функции, но два, взятые вместе, составляют целое ». Расселился с понятием «функция» Фреге в одном смысле: «Он считает функции - и в этом я с ним согласен - более фундаментальными, чем предикаты. и отношения », но Рассел отверг« теорию сущности и утверждение »Фреге, в частности,« он думает, что в предложении, это предложение всегда может быть проанализировано на а и утверждение о а ».
Рассел будет улучшить свои идеи в своей книге «Математическая, основанная на теории типов» 1908 года и в своих и Уайтхедских «Основах математики» 1910–1913 годов. во времена Principia Mathematica Рассел, как и Фреге, считал пропозициональную функцию фундаментальной: «Пропозициональные функции - это фундаментальный вид, из которых проходят более обычные виды функций, такие как« sin x »или log x, или« отец x ». Эти производные функции... называются «описательными функциями». Функции предложений... являются частным случаем пропозициональных функций ».
Пропозициональные функции : газ его терминология отличается от современной, читатель может быть сбит с толку «пропозициональной функции» Рассела. Пример может помочь. Рассел пишет пропозициональная функция в ее исходной форме, например, как φŷ: «ŷ ранен». (Обратите внимание на циркумфлекс или «шляпу» над переменной y). В нашем использовании мы присвоим только 4 значения y. переменная ŷ: «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и «y». Замена одного из этих значений на переменную ŷ дает предложение ; это предложение называется «величиной» пропозициональной функции. В нашем примере есть четыре значения пропозициональной функции, например, «Боб ранен», «Эта птица ранена», «Эмили, кролик, ранена» и «Y ранен». оно значимо - то есть, если его истинность определена - имеет значение истинности истины или ложности. Если значение истинности предложения - «истина», тогда переменная 'Считается, что значение s удовлетворяет пропозициональной функции. Наконец, согласно определению Рассела, «класс [множество] - это все объекты, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции» (стр. 23). Обратите внимание на слово «все» - так в трактовку входят современные понятия «Для всех» и «существует хотя бы один экземпляр» (с. 15).
Для продолжения примера: предположим (вне математики / логики) кто-то определяет, что суждение «Боб ранен» имеет значение истинности «ложь», «Эта птица ранена» имеет значение истинности «правда», «кролик Эмили ранен »имеет значение истинности, потому что« кролик Эмили »не существует, а« y ранен »неоднозначно в его истинностном отношении, потому что сам аргумент y неоднозначен. Хотя два утверждения «Боб ранен» и «Эта птица ранен значимы (оба имеют значения истинности), только значение« Эта птица »выполняет ŷ удовлетворяет пропозициональной функции φŷ:« ранен ». При формировании класса α: φŷ: «ŷ ранен» включается только «Эта птица», с учетом четырех значений «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и «y» для переменных ŷ и соответствующих им истинностных ценностей: ложность, истина, неопределенность, двусмысленность.
Рассел определить функции предложений с аргументами и функции истинности f (p). Например, предположим, что кто-то должен был сформировать «Эта функция предложений с аргументами» p 1 : «НЕ (p) AND q» и присвоить ее переменным значениям p: «Боб ранен» и q: « птица ранена ». (Мы ограничены логическими связями НЕ, И, ИЛИ и ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ, и мы можем только присвоить «значимые» предложения переменным p и q). Тогда функция «предложений с аргументами» будет p 1 : NOT («Боб ранен») И «Эта птица ранена». Чтобы определить значение истинности этой «функции высказываний с аргументами», мы отправляем ее в «функцию истинности», например, f (p 1): f (NOT («Боб ранен») И »Эта птица ранена"), что дает истинное значение «истина».
Понятие функционального отношения «многие-одно» : Рассел сначала обсуждает понятие «идентичность», определяет описательную функцию (стр. 30ff) как уникальную значение, которое удовлетворяет (2-факторную) пропозициональную функцию (т. Е. «Отношению») φŷ.
Рассел символизирует описательную функцию как «объект, стоящий y»: R'y = DEF (ιx) (x R y). Рассел повторяет, что «R'y является функцией y, но не пропозициональной функцией [sic]; мы будем называть эту описательную функцию. в наших обозначениях «sin y» будет записано «sin 'y», а «sin» будет обозначать отношение sin' y к y ».
Дэвид Гильберт поставил себе цель «формализовать» классическую математику »как формальную аксиоматическую теорию, и эта теория должна быть оказался непротиворечивым, т.е. свободным от противоречия ". В Гильберте 1927 Основы математики он формулирует понятие функции в терминах существования «объекта»:
Затем Гильберт показывает три способа использования ε-функции, во-первых, как" для всех "и" существует «понятия, во-вторых, для представления« объекта, которого [суждение] имеет место »», и, наконец, как преобразовать его в функцию выбора .
Теория рекурсии и вычислимость : Но неожиданный результат Гильберта и его Студент попытка Бернейса потерпела неудачу; см. теоремы Гёделя о неполноте 1931 г. Примерно в то же время, пытаясь решить Entscheidungsproblem Гильберта, математики приступили к для определения того, что имелось в виду под «эффективно вычисляемой функцией» (Алонзо Черч 1936), т. е. «эффективным методом» или «алгоритмом », то есть явным, пошаговым -шаговая процедура, позволяющая успешно вычислить функцию. В быстрой последовательности появились различные модели алгоритмов, в том числе лямбда-исчисление Чёрча (1936), Стивен Клини μ-рекурсивные функции (1936) и идея Алана Тьюринга (1936-7) о замене человеческих «компьютеров» полностью механическими «вычислительными машинами» (см. машины Тьюринга ). Было показано, что все эти модели могут вычислять один и тот жекласс вычислимых функций. Тезис Чёрча утверждает, что этот класс функций исчерпывает все теоретико-числовые функции, которые могут быть вычислены с помощью алгоритма. Результатом этих усилий стала яркая демонстрация того, что, по словам Тьюринга, «не может быть общего процесса для определения того, является ли данная формула U функционального исчисления K [Principia Mathematica] доказуемой»; подробнее см. Независимость (математическая логика) и Теория вычислимости.
Теория множеств началась с работы логиков с понятие «класс» (современный «набор»), например Де Морган (1847), Джевонс (1880), Венн (1881), Frege (1879) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFFrege1879 (help ) и Peano (1889). Толчком к этому послужила попытка Георга Кантора определить бесконечное в теоретико-множественной трактовке (1870–1890) и последующее открытие антиномии (противоречия, парадокса) в эта трактовка (парадокс Кантора ) открытием Расселом (1902) антиномии у Фреге 1879 г. (парадокс Рассела ), открытием большего количества антиномий в начале 20 века (например, парадокс Бурали-Форти 1897 года и парадокс Ричарда 1905 года ), а также сопротивление комплексному подходу Рассела к логике и неприязнь к его аксиоме сводимости (1908, 1910–1913), которую он предложил как средство ухода от антиномий.
В 1902 г. Рассел отправил Фреге письмо, в котором указывал, что Begriffsschrift Фреге 1879 г. позволяет функции быть аргументом самой себя: «С другой стороны, может быть также, что аргумент определен, а функция неопределенна... "Из этой неограниченной ситуации Рассел смог сформировать парадокс:
С этого момента развитие основ математики стало Упражнение, как избежать "парадокса Рассела", фр. как это было в «голых [теоретико-множественных] понятиях множества и
Появляется понятие« функция »как аксиома Цермело III - Аксиома разделения (Axiom der Aussonderung). аксиома вынуждает нас использовать пропозициональную функцию Φ (x) для «отделения» подмножества MΦот ранее сформированного набора M:
«... это устраняет антиномию Рассела, насколько нам известно». «... это устраняет антиномию Рассела, насколько нам известно». Вейлом, Френкелем, Сколемом и фон Нейманом.
Фактически Сколем. В 1922 году назвал этот «критерий» или «свойство» «определенным суждением»:
ван Хейеноорт резюмирует:
В цитате читатель может заметить сдвиг в терминология: нигде не упоминается эта концепция «пропозициональная функция», вместо встречающихся слов «формула», «исчисление предикатов», «предикат» и «логическое исчисление». Этот сдвиг в терминологии более подробно обсуждается в разделе, посвященном «функции» теории множеств.
История понятия «упорядоченная пара » не ясна. Как отмечалось выше, Фреге (1879) интуитивный порядок в своем определении функций двух аргументов Ψ (A, B). Норберт Винер в своей книге «1914» (см. Ниже) отмечает, что его собственная трактовка по существу возвращается (и) к трактовке Шредером отношений как класса упорядоченных пар ». Рассел (1903) рассматривал определение отношений (например, Ψ (A, B)) как «класс пар», но отверг его:
К 1910–1913 гг. и Principia Mathematics ica Рассел отказался от требований интенсионального определения отношений, заявив, что «математика всегда включает расширениями, а не интенсионалами» и «отношения, как и классы, следует рассматривать в расширении». Мы рассматриваем понятие отношения в extension, Рассмотрим понятие упорядоченной пары: «Чтобы рассматривать отношение... как класс пар... отношение, функцию выполняемое φ (x, y) - класс пар (x, y), для которых истинно φ (x, y) ». В сноске он разъяснил свое понятие и пришел к следующему определению:
Но он продолжает говорить, что не будет вводить упорядоченные пары дальше в свое "символическое лечение";
Попытка решить проблему антиномий привела к тому, что рассматривает свою «доктрину типов» в приложении своего 1903 года, он предлагает свою «матрицу» и его непопулярную аксиома сводимости вместо них. Через несколько лет он уточнил это понятие в Теории 1908 года две аксиомы сводимости, цель заключалась в сокращении (с одной типовой) пропозициональных функций и (двойная переменная) к "низшей" (и, в счете, к полностью экстенсиональной форме); он и Альфред Норт Уайтхед будут нести это удовольствие Перейдем к Principia Mathematica 1910–1913 с дальнейшим уточнением, называемым «матрицей». Первая аксиома * 12.1; второй * 12.11. По словам Винера, вторая аксиома * 12.11 «задействована только в теории отношений». Обе аксиомы, однако, были встречены скептицизм и сопротивлением; подробнее см. Аксиома сводимости. К 1914 году Норберт Винер, используя устранил аксиому * 12.11 («двухвариантную» (реляционную) версию аксиомы сводимости), выразив отношение как упорядоченную пару с использованием нулевого числа. Примерно в то же время Хаусдорф (1914, стр. 32) дал определение упорядоченной пары (a, b) как {{a, 1}, {b, 2}}. Несколькими годами позже Куратовский (1921) определение, которое именно тех пор широко используется, а именно {{a, b}, {a}} ». Как отмечает Suppes (1960) "Это определение.. Был исторически важен в сведении теории отношений к теории множеств.
Обратите внимание, что, хотя Винер« уменьшил »реляционную формулу аксиомы сводимости, он не уменьшал и не изменял и не изменял формулу пропозициональной функции * 12,1; на самом деле он объявил это «обращение с идентичностью, описаниями, классами и отношениями».
Где именно понятие «функция» как соответствие множеству неясно. Рассел в своем «Введении в математической философии» (1920 г.) утверждает, что «следует отметить, что все математические функции в результате одного-многих [sic - современное употребление - много-один] »... описательные функции». Разумной концепт «описательной функции» в Principia Mathematica - R 'y = DEF (ιx) (x R y): «особый объект, имеющий отношение R к y ». Как бы то ни было, к 1924 году Моисей Шенфинкель выразил это пон ятие, заявив, что оно «хорошо известно»:
Согласно Уилларду Куайну, Шёнфинкель 1924 « обеспечение [s ] для... всего размаха абстрактной множественности. Суть в том, что Шёнфинкель позволяет использовать функции выступать в качестве аргументов, для Шёнфинкеля, как и для Фреге, являются особенными различными функциями. Шёнфинкеля ".
