Катушка Гельмгольца

редактировать

Катушка Гельмгольца

Схематический чертеж катушки Гельмгольца

A Катушка Гельмгольца представляет собой устройство для создания области почти однородное магнитное поле, названное в честь немецкого физика Германа фон Гельмгольца. Он состоит из двух электромагнитов на одной оси. Помимо создания магнитных полей, катушки Гельмгольца также используются в научных приборах для подавления внешних магнитных полей, таких как магнитное поле Земли.

Пучок катодных лучей в вакуумной лампе, изогнутый в круг катушкой Гельмгольца

Содержание

1 Описание
2 Математика
- 2.1 Вывод
3 Изменяющееся во времени магнитное поле
- 3.1 Напряжение и ток драйвера
- 3.2 Высокочастотный последовательный резонанс
4 Катушки Максвелла
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Описание

A Helmholtz пара состоит из двух одинаковых круглых магнитных катушек, которые расположены симметрично вдоль общей оси, по одной с каждой стороны экспериментальной зоны и разделены расстоянием $h {\ displaystyle h}$ $h$ , равным радиусу $R {\ displaystyle R}$ $R$ катушки. Каждая катушка передает одинаковый электрический ток в одном направлении.

Настройка $h = R {\ displaystyle h = R}$ $h = R$ , которая определяет Пара Гельмгольца минимизирует неоднородность поля в центре катушек в смысле установки $∂ 2 B / ∂ x 2 = 0 {\ displaystyle \ partial ^ {2} B / \ partial x ^ {2 } = 0}$ $\ partial ^ {{2} } B / \ partial x ^ {{2}} = 0$ (означает, что первая ненулевая производная равна $∂ 4 B / ∂ x 4 {\ displaystyle \ partial ^ {4} B / \ partial x ^ {4}}$ $\ partial ^ {{4}} B / \ partial x ^ {{4}}$ , как объяснено ниже), но оставляет около 7% различий в напряженности поля между центром и плоскостями катушек. Немного большее значение $h {\ displaystyle h}$ $h$ уменьшает разницу в поле между центром и плоскостями катушек за счет ухудшения однородности поля в области около центра, измеряется с помощью $∂ 2 B / ∂ x 2 {\ displaystyle \ partial ^ {2} B / \ partial x ^ {2}}$ $\ partial ^ {{2}} B / \ частичный x ^ {{2}}$ .

В некоторых приложениях катушка Гельмгольца используется для компенсации Магнитное поле Земли, создающее область с напряженностью магнитного поля, намного близкой к нулю.

Математика

Линии магнитного поля в плоскости, разделяющей пополам контуры тока. Обратите внимание, что поле между парой катушек примерно однородно. (На этом рисунке катушки расположены одна рядом с другой: ось горизонтальна.)

Индукция магнитного поля вдоль оси, пересекающей центр катушек; z = 0 - точка в середине расстояния между катушками.

Контуры, показывающие величину магнитного поля рядом с парой катушек, одна катушка находится вверху, а другая внизу. Внутри центрального «осьминога» поле находится в пределах 1% от его центрального значения B 0. Восемь контуров соответствуют величине поля 0,5 B 0, 0,8 B 0, 0,9 B 0, 0,95 B 0, 0,99 B 0, 1.01 B 0, 1.05 B 0 и 1.1 B 0.

Вычисление точного магнитного поля в любой точке пространства математически сложно и включает изучение функций Бесселя. В отношении оси пары катушек все проще, и удобно рассматривать разложение напряженности поля в серию Тейлора как функцию $x {\ displaystyle x}$ $x$ , расстояние от центральной точки пары катушек по оси. По симметрии члены нечетного порядка в разложении равны нулю. Располагая катушки так, чтобы начало координат $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ было точкой перегиба для напряженности поля, создаваемой каждой катушкой отдельно, можно гарантировать что порядок $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ { 2}$ член также равен нулю, и, следовательно, ведущий непостоянный член имеет порядок $x 4 {\ displaystyle x ^ { 4}}$ $x ^ 4$ . Точка перегиба простой катушки расположена вдоль оси катушки на расстоянии $R / 2 {\ displaystyle R / 2}$ $R / 2$ от ее центра. Таким образом, расположение двух катушек: $x = ± R / 2 {\ displaystyle x = \ pm R / 2}$ $x = \ pm R / 2$ .

Расчет, подробно описанный ниже, дает точное значение магнитного поля в центральной точке. Если радиус равен R, количество витков в каждой катушке равно n, а ток через катушки равен I, то магнитное поле B в средней точке между катушками будет равно

B = (4 5) 3 / 2 μ 0 n ИК, {\ displaystyle B = {\ left ({\ frac {4} {5}} \ right)} ^ {3/2} {\ frac {\ mu _ {0} nI} {R} },}

B = {\ left ({\ frac {4} {5}} \ right)} ^ {{3/2}} { \ frac {\ mu _ {0} nI} {R}},

где $μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu _ {0}$ - проницаемость свободного пространства ( $4 π × 10 - 7 T ⋅ m / A {\ displaystyle 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}}}$ $4 \ pi \ times 10 ^ {{- 7}} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}}$ ).

Вывод

Начните с формулы для поля на оси из-за однопроводной петли, которая сама выводится из закона Био – Савара :

B 1 (x) = μ 0 IR 2 2 (R 2 + x 2) 3/2. {\ displaystyle B_ {1} (x) = {\ frac {\ mu _ {0} IR ^ {2}} {2 (R ^ {2} + x ^ {2}) ^ {3/2}}}.}

B_ {1} (x) = {\ frac {\ mu _ {0} IR ^ {2}} {2 (R ^ {2} + x ^ {2 }) ^ {{3/2}}}}.

Здесь

μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0} \;}

\ mu _ {0} \;

= константа проницаемости =

4 π × 10-7 T ⋅ м / A = 1,257 × 10 - 6 T ⋅ m / A, {\ displaystyle 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}} = 1,257 \ times 10 ^ {- 6} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}},}

4 \ pi \ times 10 ^ {{- 7}} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}} = 1,257 \ times 10 ^ {{- 6}} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}},

I {\ displaystyle I \;}

I \;

= ток катушки, дюйм амперы,

R {\ displaystyle R \;}

R \;

= радиус катушки в метрах,

x {\ displaystyle x \;}

x \;

= расстояние катушки, вкл. от оси до точки, в метрах.

Катушка Гельмгольца состоит из n витков провода, поэтому эквивалентный ток в однооборотной катушке в n раз превышает ток I в n-витковой катушке. Подстановка nI вместо I в приведенной выше формуле дает поле для n-витковой катушки:

B 1 (x) = μ 0 n I R 2 2 (R 2 + x 2) 3/2. {\ displaystyle B_ {1} (x) = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 (R ^ {2} + x ^ {2}) ^ {3/2}}}.}

{\ displaystyle B_ {1} (x) = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 (R ^ {2} + x ^ {2}) ^ {3/2}}}.}

В катушке Гельмгольца точка на полпути между двумя контурами имеет значение x, равное R / 2, поэтому рассчитайте напряженность поля в этой точке:

B 1 (R 2) = μ 0 n IR 2 2 (К 2 + (К 2) 2) 3/2. {\ displaystyle B_ {1} \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 \ left (R ^ {2} + \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}.}

{\ displaystyle B_ {1} \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) = {\ frac {\ mu _ {0} нИР ^ {2}} {2 \ le фут (R ^ {2} + \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}.}

Также есть две катушки вместо одной (катушка выше при x = 0; имеется вторая катушка при x = R). Из-за симметрии напряженность поля в средней точке будет вдвое больше значения одиночной катушки:

B (R 2) = 2 B 1 (R 2) = 2 μ 0 n IR 2 2 (R 2 + (R 2) 2) 3/2 = μ 0 n IR 2 (R 2 + (R 2) 2) 3/2 = μ 0 n IR 2 (R 2 + 1 4 R 2) 3/2 = μ 0 n IR 2 (5 4 R 2) 3/2 = (4 5) 3/2 μ 0 n IR = (8 5 5) μ 0 n IR. {\ displaystyle {\ begin {align} B \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) = 2B_ {1} \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) \\ = {\ frac {2 \ mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 \ left (R ^ {2} + \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} {\ left (R ^ {2} + \ left ({\ frac {R} {2}) } \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} \\ = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} {\ left (R ^ {2} + { \ frac {1} {4}} R ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} {\ left ({\ frac { 5} {4}} R ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} \\ = {\ left ({\ frac {4} {5}} \ right)} ^ {3/2} {\ frac {\ mu _ {0} nI} {R}} \\ = {\ left ({\ frac {8} {5 {\ sqrt {5}}}} \ right)} {\ frac {\ mu _ {0} nI} {R}}. \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} B \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) = 2B_ {1} \ left ({\ frac {R } {2}} \ right) \\ = {\ frac {2 \ mu _ {0} nIR ^ {2}} {2 \ left (R ^ {2} + \ left ({\ frac {R} { 2}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} {\ left (R ^ {2} + \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} \\ = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2}} { \ left (R ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} nIR ^ {2 }} {\ left ({\ frac {5} {4}} R ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} \\ = {\ left ({\ frac {4} {5}} \ right)} ^ {3/2} {\ frac {\ mu _ {0} nI} {R}} \\ = {\ left ({\ frac {8} {5 {\ sqrt {5}}} } \ right)} {\ frac {\ mu _ {0} nI} {R}}. \\\ end {align}}}

Изменяющееся во времени магнитное поле

Большинство катушек Гельмгольца используют постоянный ток для создания статического магнитного поля.. Многие приложения и эксперименты требуют переменного магнитного поля. Эти приложения включают тесты на чувствительность к магнитному полю, научные эксперименты и биомедицинские исследования (взаимодействие между магнитным полем и живой тканью). Требуемые магнитные поля обычно являются импульсными или непрерывными синусоидальными волнами. Частотный диапазон магнитного поля может составлять от почти постоянного (0 Гц) до многих килогерц или даже мегагерц (МГц). Драйвер катушки Гельмгольца переменного тока необходим для создания необходимого изменяющегося во времени магнитного поля. Драйвер усилителя формы сигнала должен быть способен выдавать высокий переменный ток для создания магнитного поля.

Напряжение и ток драйвера

Используйте приведенное выше уравнение в разделе математики, чтобы рассчитать ток катушки для желаемого магнитного поля, B.

$I = (5 4) 3/2 (BR μ 0 n) {\ displaystyle I = \ left ({\ frac {5} {4}} \ right) ^ {3/2} \ left ({\ frac {BR} {\ mu _ {0} n}} \ right)}$ ${\ displaystyle I = \ left ({\ frac {5 } {4}} \ right) ^ {3/2} \ left ({\ frac {BR} {\ mu _ {0} n}} \ right)}$

где $μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu _ {0}$ - проницаемость свободного пространства или $4 π × 10-7 T ⋅ m / A = 1,257 × 10 - 6 T ⋅ m / A, {\ displaystyle 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}} = 1,257 \ times 10 ^ { -6} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}},}$ $4 \ pi \ times 10 ^ {{- 7}} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}} = 1,257 \ times 10 ^ {{- 6}} {\ text {T}} \ cdot {\ text {m / A}},$

$I {\ displaystyle I \;}$ $I \;$ = ток катушки в амперах,

$R {\ displaystyle R \;}$ $R \;$ = радиус катушки в метрах,

n = количество витков в каждой катушке.

Использование функционального генератора и драйвера усилителя сильноточного сигнала для генерации высокочастотного магнитного поля Гельмгольца

Затем вычислите необходимое напряжение усилителя драйвера катушки Гельмгольца:

V = I [ω (L 1 + L 2)] 2 + (R 1 + R 2) 2 {\ Displaystyle V = I {\ sqrt {{\ bigl [} \ omega {\ bigl (} L_ {1} + L_ {2} {\ bigr)} {\ bigr]} ^ {2} + {\ bigl (} R_ {1} + R_ {2} {\ bigr)} ^ {2}}}

{\ displaystyle V = I {\ sqrt {{\ bigl [} \ omega {\ bigl (} L_ {1} + L_ {2} {\ bigr)} {\ bigr]} ^ {2} + {\ bigl (} R_ {1} + R_ {2} {\ bigr)} ^ {2} }}}

где

I - пиковый ток,
ω - угловая частота или ω = 2πf,
L1и L 2 - индуктивности двух катушек Гельмгольца, а
R1и R 2 - сопротивления из двух катушек.

Последовательный высокочастотный резонанс

Создание статического магнитного поля относительно просто; сила поля пропорциональна току. Создать высокочастотное магнитное поле сложнее. Катушки представляют собой катушки индуктивности, и их сопротивление увеличивается пропорционально частоте. Для обеспечения такой же напряженности поля на удвоенной частоте требуется удвоенное напряжение на катушке. Вместо прямого возбуждения высокого напряжения на катушку можно использовать последовательный резонансный контур для обеспечения высокого напряжения. Последовательный конденсатор добавлен последовательно с катушками. Емкость выбирается так, чтобы катушка резонировала на желаемой частоте. Остается только паразитное сопротивление катушек. Этот метод работает только на частотах, близких к резонансной частоте; для генерации поля на других частотах требуются другие конденсаторы. Резонансная частота катушки Гельмгольца $f 0 {\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ и емкость конденсатора C приведены ниже.

f 0 = 1 2 π (L 1 + L 2) C {\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {\ left (L_ {1} + L_ {2} \ right) C}}}}}

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} { 2 \ pi {\ sqrt {\ left (L_ {1} + L_ {2} \ right) C}}}}}

C Знак равно 1 (2 π е) 2 (L 1 + L 2) {\ displaystyle C = {\ frac {1} {\ left (2 \ pi f \ right) ^ {2} \ left (L_ {1} + L_ {2} \ right)}}}

{\ displaystyle C = {\ frac {1} {\ left (2 \ pi f \ right) ^ {2} \ left (L_ {1} + L_ {2} \ right)}}}

Катушки Максвелла

Катушки Гельмгольца (обручи) на трех перпендикулярных осях, используемые для подавления магнитного поля Земли внутри вакуумного резервуара в эксперименте с электронным пучком 1957 года

Для улучшения однородности поля в пространстве внутри катушек, можно добавить дополнительные катушки снаружи. Джеймс Клерк Максвелл показал в 1873 году, что третья катушка большего диаметра расположена на полпути между двумя катушками Гельмгольца, причем расстояние между катушками увеличилось с радиуса катушки $R {\ displaystyle R}$ $R$ до $3 R {\ displaystyle {\ sqrt {3}} R}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}} R}$ может уменьшить дисперсию поля на оси до нуля вплоть до шестой производной позиции. Это иногда называют катушкой Максвелла.

См. Также

Соленоид
Массив Хальбаха
A магнитная бутылка имеет ту же структуру, что и катушки Гельмгольца, но с более удаленными магнитами, так что поле расширяется в середине, захватывая заряженные частицы расходящимися силовыми линиями. Если одну катушку перевернуть, образуется ловушка с выступом, которая также улавливает заряженные частицы.
Катушки Гельмгольца были спроектированы и изготовлены для испытаний электромагнитных композитов военной исследовательской лаборатории лаборатория в 1993 году для испытаний композитных материалов на воздействие низкочастотных магнитных полей.

Ссылки

^Рамсден, Эдвард (2006). Датчики Холла: теория и приложения (2-е изд.). Амстердам: Elsevier / Newnes. п. 195. ISBN 978-0-75067934-3.
^Катушка Гельмгольца в единицах CGS Архивировано 24 марта 2012 года на Wayback Machine
^Электромагнетизм
^"Магнитометр земного поля: катушка Гельмгольца" Ричард Уотиз 2004 Архивировано 28 июня 2007 г., Archive.today
^http: //hyperphysics.phy -astr.gsu.edu/HBASE/mintage/curloo.html#c3
^ Ян, KC. «Высокочастотные катушки Гельмгольца генерируют магнитные поля». EDN. Проверено 27 января 2016 г.
^«Резонанс высокочастотной электромагнитной катушки». www.accelinstruments.com. Проверено 25 февраля 2016 г.
^http://radphys4.c.u-tokyo.ac.jp/asacusa/w/index.php?Cusp%20trap
^Дж., ДеТрой, Дэвид; Дж., Чейз, Рональд (ноябрь 1994 г.). «Расчет и измерение полей катушки Гельмгольца». Для цитирования журнала требуется | journal =()

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы по теме к Катушки Гельмгольца.

Осевое поле идеальной катушки Гельмгольца
Осевое поле реальной пары катушек Гельмгольца
Поля Гельмгольца-катушки Франца Крафт, Wolfram Demonstrations Project.
Кевин Кунс (2007) Расчет магнитного поля внутри плазменной камеры, использует эллиптические интегралы и их производные для вычисления внеосевых полей, из PBworks.
ДеТрой, Дэвид Дж.; Чейз, Рональд Дж. (ноябрь 1994), Расчет и измерение полей катушки Гельмгольца (PDF), Лаборатория армейских исследований, ARL-TN- 35
Магнитные поля катушек
http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/