Фреймворк Хита – Джарроу – Мортона

Модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM) - это общая структура для моделирования эволюции кривых процентной ставки - в частности, мгновенных кривых форвардных ставок ( в отличие от простых форвардных курсов ). Когда волатильность и дрейф мгновенного форвардного курса предполагаются детерминированными, это известно как гауссовская модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM) форвардных курсов. Для прямого моделирования простых форвардных курсов модель Брейса – Гатарека – Мусиела представляет собой пример.

Структура HJM берет свое начало в работах Дэвида Хита, Роберта А. Джарроу, а в конце 1980-х годов особенно ценообразование по облигациям и временная структура процентных ставок : новая методология (1987) - рабочий документ, Корнельский университет, и ценообразование по облигациям и временная структура процентных ставок: новая методология (1989) - рабочий документ (отредактированный), Корнельский университет. Однако у него есть свои критики: Пол Уилмотт описывает его как «... на самом деле просто большой коврик для [ошибок], который нужно выметать».

• 1 Структура
• 2 Математическая формулировка
• 3 См. Также
• 4 Внешние ссылки и ссылки

Ключом к этим методам является признание того, что эволюция без арбитража некоторых переменных можно выразить как функции их волатильности и корреляции между собой. Другими словами, оценка дрейфа не требуется.

Модели, разработанные в соответствии со структурой HJM, отличаются от так называемых моделей краткосрочной ставки в том смысле, что модели типа HJM отражают полную динамику всего форвардного курса. кривая, в то время как модели с короткой ставкой фиксируют только динамику точки на кривой (короткой ставки).

Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто не марковские и могут даже иметь бесконечные размеры. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных курсов удовлетворяет определенным условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным числом состояний, что делает ее выполнимой с вычислительной точки зрения. Примеры включают однофакторную модель с двумя состояниями (О. Чейет, «Динамика срочной структуры и оценка ипотеки», Journal of Fixed Income, 1, 1992; П. Ритчкен и Л. Санкарасубраманян в «Структуре волатильности форвардных ставок и динамики»). of Term Structure », Mathematical Finance, 5, No. 1, Jan 1995), и более поздние многофакторные версии.

Класс моделей, разработанный Хитом, Джарроу и Мортоном (1992), основан на моделировании форвардных курсов, однако он не отражает всех сложностей эволюционирующей временной структуры..

Модель начинается с введения мгновенного форвардного курса $f\; (t,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; (t,\; T)\}$, $t\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t\; \backslash \; leq\; T\}$, который определяется как коэффициент непрерывного начисления сложных процентов, доступный во время $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; T\}$, если смотреть из времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t\}$. Связь между ценой облигаций и форвардным курсом также обеспечивается следующим образом:

$P\; (t,\; T)\; =\; e\; -\; \int \; t\; T\; f\; (t,\; s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t,\; T)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{T\}\; f\; (t,\; s)\; ds\}\}$

Здесь $P\; (t,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; P\; (t,\; T)\}$- это цена в момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t\}$бескупонной облигации с выплатой $ 1 при погашении $T\; \ge \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; T\; \backslash \; geq\; t\; \}$. Счет безрискового денежного рынка также определяется как

$\beta \; (t)\; =\; e\; \int \; 0\; tf\; (u,\; u)\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; (t)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\; \}\; f\; (u,\; u)\; du\}\}$

Это последнее уравнение позволяет нам определить $f\; (t,\; t)\; \triangleq \; r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; (t,\; t)\; \backslash \; triangleq\; r\; (t)\; \}$, безрисковая короткая ставка. В рамках HJM предполагается, что динамика $f\; (t,\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; (t,\; s)\}$при ценообразовании без учета риска $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$следующие:

$df\; (t,\; s)\; =\; \mu \; (t,\; s)\; dt\; +\; \sigma \; (t,\; s)\; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (t,\; s)\; =\; \backslash \; mu\; (t,\; s)\; dt\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; dW\_\; \{t\}\}$

где $W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; W\_\; \{t\}\}$- это $d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; d\}$-мерный винеровский процесс и $\mu \; (u,\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; му\; (u,\; s)\}$, $\sigma \; (u,\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (u,\; s)\}$равны $F\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{u\}\}$адаптированные процессы. Теперь, основываясь на этой динамике для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\}$, мы попытаемся найти динамику для $P\; (t,\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; P\; (t,\; s)\}$и найдите условия, которые должны быть выполнены согласно правилам ценообразования без учета риска. Определим следующий процесс:

$Y\; t\; \triangleq \; log\; \; P\; (t,\; s)\; =\; -\; \int \; tsf\; (t,\; u)\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{t\}\; \backslash \; triggeredq\; \backslash \; log\; P\; (t,\; s)\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{s\}\; f\; (t,\; u)\; du\}$

Динамика $Y\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; Y\_\; \{t\}\}$может быть получена с помощью Правило Лейбница :

$d\; Y\; t\; =\; f\; (t,\; t)\; dt\; -\; \int \; tsdf\; (t,\; u)\; du\; =\; rtdt\; -\; \int \; ts\; \mu \; (t,\; u)\; dtdu\; -\; ts\; \sigma \; (t,\; u)\; d\; W\; tdu\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; dY\_\; \{t\}\; =\; f\; (t,\; t)\; dt-\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{s\}\; df\; (t,\; u)\; du\; \backslash \backslash \; =\; r\_\; \{t\}\; dt-\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; mu\; (t,\; u)\; dtdu-\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{s\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; u)\; dW\_\; \{t\}\; du\; \backslash \; end\; \{\; выровнено\}\}\}$

Если мы определим $\mu \; (t,\; s)\; \ast \; =\; \int \; ts\; \mu \; (t,\; u)\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mu\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; му\; (t,\; u)\; du\}$, $\sigma \; (t,\; s)\; \ast \; =\; \int \; ts\; \sigma \; (t,\; u)\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (\; t,\; s)\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{s\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; u)\; du\}$и предположим, что условия для Фубини Теорема удовлетворены в формуле для динамики $Y\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; Y\_\; \{t\}\}$, получаем:

$d\; Y\; t\; =\; (rt\; -\; \mu \; (t,\; s)\; \ast )\; dt\; -\; \sigma \; (t,\; s)\; \ast \; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dY\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; left\; (r\_\; \{t\}\; -\; \backslash \; mu\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; dt\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; dW\_\; \{t\}\}$

По По лемме Itō динамика $P\; (t,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; P\; (t,\; T)\}$тогда:

$d\; P\; (t,\; s)\; P\; (t,\; s)\; =\; (rt\; -\; \mu \; (t,\; s)\; \ast \; +\; 1\; 2\; \sigma \; (t,\; s)\; \ast \; \sigma \; (t,\; s)\; \ast \; T)\; dt\; -\; \sigma \; (t,\; s)\; \ast \; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dP\; (t,\; s)\}\; \{P\; (t,\; s)\}\}\; =\; \backslash \; left\; (r\_\; \{t\}\; -\; \backslash \; mu\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2)\; \}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{*\; T\}\; \backslash \; right)\; dt\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; dW\_\; \{t\}\}$

Но $P\; (t,\; s)\; \beta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (t,\; s)\}\; \{\backslash \; beta\; (t)\}\}\}$должен быть мартингейлом по критерию ценообразования $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, поэтому мы требуем, чтобы $\mu \; (T,\; s)\; \ast \; знак\; равно\; 1\; 2\; \sigma \; (t,\; s)\; \ast \; \sigma \; (t,\; s)\; \ast \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mu\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{*\; T\}\}$. Дифференцируя это относительно $s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; s\}$, получаем:

$\mu \; (t,\; u)\; =\; \sigma \; (t,\; u)\; \int \; tu\; \sigma \; (t,\; s)\; T\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (t,\; u)\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; u)\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{u\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{\; T\}\; ds\}$

Что, наконец, говорит нам, что динамика $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\}$должна иметь следующую форму:

$df\; (t,\; u)\; =\; (\; \sigma \; (t,\; u)\; \int \; ту\; \sigma \; (t,\; s)\; T\; ds)\; dt\; +\; \sigma \; (t,\; u)\; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (t,\; u)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (\; t,\; u)\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{u\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; s)\; ^\; \{T\}\; ds\; \backslash \; right)\; dt\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (t,\; u)\; dW\_\; \{t\}\}$

Это позволяет нам определять цену облигаций и производных процентных ставок на основе нашего выбора $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$.

• Black– Модель Derman – Toy
• Модель Brace – Gatarek – Musiela
• Модель Chen
• Модель Cheyette
• Модель Ho – Lee
• Модель Hull – White

Примечания

Основные ссылки

• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мо. Ртон, А. (1990). Ценообразование облигаций и временная структура процентных ставок: приближение к дискретному времени. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25: 419-440.
• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мортон, А. (1991). Оценка условных требований со случайным изменением процентных ставок., 9: 54-76.
• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мортон, А. (1992). Ценообразование облигаций и временная структура процентных ставок: новая методология оценки условных требований. Econometrica, 60 (1): 77-105. doi : 10.2307 / 2951677
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов процентной ставки (2-е изд.). Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 0-8047-4438-6

Статьи

• Некустистые деревья для гауссовских HJM и логнормальных прямых моделей, профессор Алан Брейс, Сиднейский технологический университет
• Модель временной структуры Хита-Джарроу-Мортона, профессор Дон Чанс Э. Колледж бизнеса Дж. Урсо, Государственный университет Луизианы
• Рекомбинирование деревьев для одномерных моделей форвардной ставки, Дариуш Гатарек, Вёнша Школа Бизнесу - Национальный Луисовский университет, и Ярослав Колаковски
• «Внедрение безарбитражной временной структуры моделей процентных ставок в дискретное время, когда процентные ставки обычно распределяются», Дуайт М. Грант и Гаутам Вора. Журнал фиксированного дохода Март 1999 г., т. 8, No. 4: pp. 85–98
• Модель Хита – Джарроу – Мортона и ее применение, Владимир I Поздыняков, Пенсильванский университет
• Эмпирическое исследование свойств конвергенции не -рекомбинирование дерева форвардных ставок HJM в ценообразовании производных процентных ставок, AR Радхакришнан Нью-Йоркский университет
• Моделирование процентных ставок с помощью Хита, Джарроу и Мортона. Доктор Дональд ван Девентер, Kamakura Corporation :
  • С одним фактором и волатильностью, зависящей от срока погашения
  • С одним фактором и ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения
  • С двумя факторами и волатильностью, зависящей от ставки и срока погашения
  • С тремя факторами и волатильностью, зависящей от ставки и срока погашения