В математике, при изучении динамических систем, Теорема Хартмана – Гробмана или теорема о линеаризации - это теорема о локальном поведении динамических систем в окрестности точки гиперболического равновесия. В нем утверждается, что линеаризация - естественное упрощение системы - эффективно предсказывает качественные модели поведения. Теорема обязана своим названием Филиппу Хартману и.
Теорема утверждает, что поведение динамической системы в области вблизи точки гиперболического равновесия качественно такое же, как поведение ее линеаризации вблизи этой точки равновесия, где гиперболичность означает, что нет Собственное значение линеаризации имеет действительную часть, равную нулю. Следовательно, имея дело с такими динамическими системами, можно использовать более простую линеаризацию системы для анализа ее поведения вокруг состояний равновесия.
Рассмотрим систему, развивающуюся во времени с состоянием , который удовлетворяет дифференциальному уравнению для некоторой гладкой карты . Предположим, карта имеет состояние гиперболического равновесия : то есть и матрица Якоби из в состоянии не имеет собственного значения с вещественной частью, равной нулю. Тогда существует окрестность равновесия и гомеоморфизм , такое что и такой, что в окрестности flow of является топологически сопряженным непрерывным отображением к потоку его линеаризации .
Даже для бесконечно дифференцируемых карт , гомеоморфизм не обязательно должен быть гладким или даже локально липшицевым. Однако оказывается, что оно непрерывно по Гёльдеру с показателем степени, зависящим от константы гиперболичности .
Теорема Хартмана – Гробмана была расширена на бесконечномерную Банаховы пространства, неавтономные системы (потенциально стохастический), и для обслуживания топологические различия, возникающие при наличии собственных значений с нулевой или близкой к нулю действительной частью.
Алгебра, необходимая для этого примера, легко выполняется веб-службой, которая вычисляет нормальная форма преобразования координат систем дифференциальных уравнений, автономных или неавтономных, детерминированных или стохастических.
Рассмотрим двумерную систему в переменных , развивающиеся согласно паре связанных дифференциальных уравнений
Прямым вычислением можно увидеть, что единственное равновесие этой системы находится в начале координат, то есть . Преобразование координат, , где , заданное как
- гладкое карта между исходным и новым координаты, по крайней мере, около положения равновесия в начале координат. В новых координатах динамическая система преобразуется в свою линеаризацию
То есть искаженная версия линеаризации дает исходную динамику в некоторой конечной окрестности.