Теорема Хартмана – Гробмана

редактировать

В математике, при изучении динамических систем, Теорема Хартмана – Гробмана или теорема о линеаризации - это теорема о локальном поведении динамических систем в окрестности точки гиперболического равновесия. В нем утверждается, что линеаризация - естественное упрощение системы - эффективно предсказывает качественные модели поведения. Теорема обязана своим названием Филиппу Хартману и.

Теорема утверждает, что поведение динамической системы в области вблизи точки гиперболического равновесия качественно такое же, как поведение ее линеаризации вблизи этой точки равновесия, где гиперболичность означает, что нет Собственное значение линеаризации имеет действительную часть, равную нулю. Следовательно, имея дело с такими динамическими системами, можно использовать более простую линеаризацию системы для анализа ее поведения вокруг состояний равновесия.

Содержание

  • 1 Основная теорема
  • 2 Пример
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки
  • 5 Дополнительная литература
  • 6 Внешние ссылки

Основная теорема

Рассмотрим систему, развивающуюся во времени с состоянием u (t) ∈ R n {\ displaystyle u (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle u (t) \ in \ mathbb { R} ^ {n}} , который удовлетворяет дифференциальному уравнению du / dt = f (u) {\ displaystyle du / dt = f (u)}du / dt = f (u) для некоторой гладкой карты f: R n → R n {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}} ^ {n} . Предположим, карта имеет состояние гиперболического равновесия u ∗ ∈ R n {\ displaystyle u ^ {*} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle u ^ {*} \ in \ mathbb {R} ^ {n}} : то есть f (u *) = 0 {\ displaystyle f (u ^ {*}) = 0}{\ displaystyle f (u ^ {*}) = 0} и матрица Якоби A = [∂ fi / ∂ xj] {\ displaystyle A = [\ partial f_ {i} / \ partial x_ {j}]}A = [\ partial f_ {i} / \ partial x_ {j}] из f {\ displaystyle f}f в состоянии u ∗ {\ displaystyle u ^ {*}}u ^ {*} не имеет собственного значения с вещественной частью, равной нулю. Тогда существует окрестность N {\ displaystyle N}N равновесия u ∗ {\ displaystyle u ^ {*}}u ^ {*} и гомеоморфизм h: N → R n {\ displaystyle h: N \ to \ mathbb {R} ^ {n}}h: N \ to {\ mathbb { R}} ^ {n} , такое что h (u ∗) = 0 {\ displaystyle h (u ^ {*}) = 0}{\ displaystyle h (u ^ {*}) = 0} и такой, что в окрестности N {\ displaystyle N}N flow of du / dt = f (u) {\ displaystyle du / dt = f (u)}du / dt = f (u) является топологически сопряженным непрерывным отображением U = h (u) { \ displaystyle U = h (u)}U = h (u) к потоку его линеаризации d U / dt = AU {\ displaystyle dU / dt = AU}dU / dt = AU .

Даже для бесконечно дифференцируемых карт f {\ displaystyle f}f , гомеоморфизм h {\ displaystyle h}h не обязательно должен быть гладким или даже локально липшицевым. Однако оказывается, что оно непрерывно по Гёльдеру с показателем степени, зависящим от константы гиперболичности A {\ displaystyle A}A .

Теорема Хартмана – Гробмана была расширена на бесконечномерную Банаховы пространства, неавтономные системы du / dt = f (u, t) {\ displaystyle du / dt = f (u, t)}{\ displaystyle du / dt = f (u, t)} (потенциально стохастический), и для обслуживания топологические различия, возникающие при наличии собственных значений с нулевой или близкой к нулю действительной частью.

Пример

Алгебра, необходимая для этого примера, легко выполняется веб-службой, которая вычисляет нормальная форма преобразования координат систем дифференциальных уравнений, автономных или неавтономных, детерминированных или стохастических.

Рассмотрим двумерную систему в переменных u = (y, z) {\ displaystyle u = ( y, z)}u = (y, z) , развивающиеся согласно паре связанных дифференциальных уравнений

dydt = - 3 y + yz и dzdt = z + y 2. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = - 3y + yz \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {dz} {dt}} = z + y ^ {2}.}{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = - 3y + yz \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {dz} {dt}} = z + y ^ {2}. }

Прямым вычислением можно увидеть, что единственное равновесие этой системы находится в начале координат, то есть u ∗ = 0 {\ displaystyle u ^ {*} = 0}{\ displaystyle u ^ {*} = 0} . Преобразование координат, u = h - 1 (U) {\ displaystyle u = h ^ {- 1} (U)}u = h ^ {{- 1 }} (U) , где U = (Y, Z) {\ displaystyle U = (Y, Z)}U = (Y, Z) , заданное как

y ≈ Y + YZ + 1 42 Y 3 + 1 2 YZ 2 z ≈ Z - 1 7 Y 2 - 1 3 Y 2 Z { \ displaystyle {\ begin {align} y \ приблизительно Y + YZ + {\ dfrac {1} {42}} Y ^ {3} + {\ dfrac {1} {2}} YZ ^ {2} \\ [5pt] z \ приблизительно Z - {\ dfrac {1} {7}} Y ^ {2} - {\ dfrac {1} {3}} Y ^ {2} Z \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} y \ приблизительно Y + YZ + {\ dfrac {1} {42}} Y ^ {3} + {\ dfrac {1} {2}} YZ ^ {2} \\ [5pt] z \ приблизительно Z - {\ dfrac {1 } {7}} Y ^ {2} - {\ dfrac {1} {3}} Y ^ {2} Z \ end {align}}}

- гладкое карта между исходным u = (y, z) {\ displaystyle u = (y, z)}u = (y, z) и новым U = (Y, Z) {\ displaystyle U = (Y, Z)}U = (Y, Z) координаты, по крайней мере, около положения равновесия в начале координат. В новых координатах динамическая система преобразуется в свою линеаризацию

d Y d t = - 3 Y и d Z d t = Z. {\ displaystyle {\ frac {dY} {dt}} = - 3Y \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {dZ} {dt}} = Z.}{\ displaystyle {\ frac {dY} { dt}} = - 3Y \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {dZ} {dt}} = Z.}

То есть искаженная версия линеаризации дает исходную динамику в некоторой конечной окрестности.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

  • Irwin, Michael C. (2001). «Линеаризация». Гладкие динамические системы. World Scientific. С. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
  • Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
  • Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: устойчивость, символическая динамика и хаос. Бока-Ратон: CRC Press. С. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-23 14:44:08
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте