Пол Эрлих

Гармоническая энтропия для триад с нижним и верхним интервалом в диапазоне от 200 до 500 центов. Сравните 4: 5: 6, 6: 7: 9 и 10:12:15. Расположение триад на сюжете см. В полном разрешении

Пол Эрлих (1972 г.р.), гитарист и теоретик музыки, живущий недалеко от Бостона, Массачусетс. Он известен своей основополагающей ролью в разработке теории регулярных темпераментов, в том числе первым, определившим темперамент паджары и его декатонические масштабы в 22-ET. Он имеет степень бакалавра наук по физике от Йельского университета.

Его определение гармонической энтропии под влиянием Эрнста Терхарда привлек внимание таких теоретиков музыки, как Уильям Сетарес. Он предназначен для моделирования одного из компонентов диссонанса как меры неопределенности виртуального тона («отсутствующий фундаментальный»), вызванного набором из двух или более тонов. Он измеряет, насколько легко или сложно уместить высоту звука в один гармонический ряд. Например, большинство слушателей оценивают $4:\; 5:\; 6:\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{4:\; 5:\; 6:\; 7\}\}$гармонический септаккорд аккорд как гораздо более согласный, чем $1\; 4:\; 5:\; 6:\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4:\; 5:\; 6:\; 7\}\}\}$аккорд. Оба имеют точно такой же набор интервалов между нотами в разделе инверсия, но первый легко вписать в один гармонический ряд (обертоны, а не оттенки ). В гармоническом ряду целые числа для гармонического септаккорда намного ниже, $4:\; 5:\; 6:\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{4:\; 5:\; 6:\; 7\}\}$, по сравнению с его обратным, $105:\; 120:\; 140:\; 168\; \{\backslash \; displaystyle\; \{105:\; 120:\; 140:\; 168\}\}$. Компоненты диссонанса, не моделируемые этой теорией, включают шероховатость критической полосы, а также тональный контекст (например, увеличенная секунда более диссонантна, чем второстепенная треть, даже если обе можно настроить на тот же размер, что и в 12-ET ).

Для $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$итерации диаграммы Фари, медиант между $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$th элемент, $fj\; =\; aj\; /\; bj\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{j\}\; =\; a\_\; \{j\}\; /\; b\_\; \{j\}\}$, и следующий наивысший элемент:

$aj\; +\; aj\; +\; 1\; bj\; +\; bj\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{j\}\; +\; a\_\; \{j\; +\; 1\}\}\; \{b\_\; \{j\}\; +\; b\_\; \{j\; +\; 1\}\}\}\}$

вычитается посредником между элементом и следующим нижним элементом:

$aj\; -\; 1\; +\; ajbj\; -\; 1\; +\; bj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{j-1\}\; +\; a\_\; \{j\}\}\; \{b\_\; \{j-1\}\; +\; b\_\; \{j\}\}\}\}$

Отсюда процесс вычисления гармонической энтропии выглядит следующим образом:. (a) вычислить площади, определяемые нормальной (гауссовой) колоколообразной кривой наверху, и медианты на сторонах. (b) нормализуют сумму площадей, которые нужно добавить к 1, так что каждая представляет вероятность. (c) вычисляет энтропию этого набора вероятностей. См. внешние ссылки для подробное описание модели гармонической энтропии.

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

• "Некоторые теории музыки от Пола Эрлиха ", Lumma.org.
• "Срединный путь: между простой интонацией and the Equal Temperaments ", DKeenan.com.
• "Harmonic Entropy на Xenharmonic Wiki ", en.xen.wiki