Закон Гутенберга – Рихтера

Закон Гутенберга – Рихтера для b = 1

В сейсмологии, закон Гутенберга – Рихтера (закон GR ) выражает связь между магнитудой и общим количеством землетрясений в любом данный регион и время на йода по крайней мере такой величины.

$журнал\; 10\; \; N\; =\; a\; -\; b\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash ,\; \backslash \; Log\; \_\; \{10\}\; N\; =\; a-bM\}$

или

$N\; =\; 10\; a\; -\; b\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash ,\; N\; =\; 10\; ^\; \{a-bM\}\}$

где

• $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash ,\; N\}$- количество событий с магнитудой $\ge \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash ,\; \backslash \; geq\; M\}$,
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash ,\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash ,\; b\}$- константы, т.е. они одинаковы для всех значений N и M.

Это пример распределения Парето.

Закон Гутенберга – Рихтера также широко используется для анализа акустической эмиссии из-за близкого сходства явления акустической эмиссии с сейсмогенезом.

.

• 1 Предпосылки
• 2 Обобщение
• 3 Ссылки
• 4 Библиография

Взаимосвязь между магнитудой и частотой землетрясения впервые была предложена Чарльзом Фрэнсисом Рихтер и Бено Гутенберг в статье, опубликованной в 1956 году. Эта взаимосвязь между величиной события и частотой возникновения является весьма распространенной, хотя значения a и b могут значительно варьироваться от региона к региону или с течением времени..

График GR для различных значений b.

Параметр b (обычно называемый «значением b») обычно близок к 1,0 в сейсмически активных регионах. Это означает, что для данной частоты событий магнитудой 4,0 или более будет в 10 раз больше землетрясений магнитудой 3,0 или более и в 100 раз больше землетрясений магнитудой 2,0 или более. Существуют некоторые вариации значений b в приблизительном диапазоне от 0,5 до 2 в зависимости от исходной среды региона. Яркий пример этого - во время роев землетрясений, когда b может достигать 2,5, что указывает на очень высокую долю малых землетрясений по сравнению с большими.

Существуют дебаты относительно интерпретации некоторых наблюдаемых пространственных и временных вариаций b-значений. Наиболее часто упоминаемые факторы для объяснения этих вариаций: напряжение, приложенное к материалу, глубина, механизм очага, неоднородность прочности материала и близость макроразрушения. Уменьшение b-значения, наблюдаемое до разрушения образцов, деформированных в лаборатории, привело к предположению, что это является предвестником крупного макроразрушения. Статистическая физика обеспечивает теоретическую основу для объяснения как устойчивости закона Гутенберга – Рихтера для больших каталогов, так и его эволюции при приближении к макроразрушению, но его применение в прогнозировании землетрясений в настоящее время недоступно. В качестве альтернативы значение b, значительно отличающееся от 1,0, может указывать на проблему с набором данных; например он неполный или содержит ошибки в вычислении величины.

Спад по сравнению с идеальным законом ОТО с b = 1 Магнитудой землетрясения в Центральной Италии в августе 2016 года (красная точка) и афтершоков (которые продолжали происходить после периода, указанного здесь)

Во всех эмпирических каталогах землетрясений наблюдается очевидное уменьшение значения b для диапазонов событий меньшей магнитуды. Этот эффект описывается как "спад" значения b, описание из-за того, что график логарифмической версии закона ОТО становится более плоским на конце графика с низкой величиной. Это может в значительной степени быть вызвано неполнотой любого набора данных из-за невозможности обнаруживать и характеризовать небольшие события. То есть многие землетрясения низкой магнитуды не заносятся в каталог, потому что меньшее количество станций обнаруживает и регистрирует их из-за уменьшения инструментального сигнала до уровня шума. Однако некоторые современные модели динамики землетрясений предсказывают физический спад в распределении размеров землетрясений.

Значение a представляет собой общую сейсмичность региона. Это легче увидеть, если закон ОТО выразить через общее количество событий:

$N\; =\; NTOT\; 10\; -\; b\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; N\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{TOT\}\}\; 10\; ^\; \{-\; bM\}\; \backslash \; \}$

где

$NTOT\; =\; 10\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{TOT\}\}\; =\; 10\; ^\; \{a\},\; \backslash \}$

общее количество событий. Поскольку $10\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{a\}\; \backslash \}$- это общее количество событий, $10\; -\; b\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{-\; bM\}\; \backslash \}$должна быть вероятностью этих событий.

Современные попытки понять закон включают теории самоорганизованной критичности или самоподобия.

Новые модели демонстрируют обобщение первоначальной модели Гутенберга. –Модель Рихтера. Среди них - издание, выпущенное Оскаром Сотолонго-Коста и А. Посадасом в 2004 году, из которого R. Silva et al. представил следующую измененную форму в 2006 году:

$log\; \; N>m\; =\; log\; \; N\; +\; (2\; -\; q\; 1\; -\; q)\; log\; \; [1\; -\; (1\; -\; q\; 2\; -\; q)\; (10\; 2\; ma\; 2/3)\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; N\; \_\; \{>m\}\; =\; \backslash \; log\; N\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2-q\}\; \{1-q\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; -q\}\; \{2-q\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{10\; ^\; \{2m\}\}\; \{a\; ^\; \{2/3\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

где N - общее количество событий, a - константа пропорциональности, а q - параметр неэкстенсивности, введенный Константино. Цаллиса для характеристики систем, не объясняемых статистической формой Больцмана – Гиббса для равновесных физических систем.

В статье, опубликованной Н. В. Сарлисом, Е. С. Скордасом и П. А. Варотсосом, можно увидеть, что выше некоторого порога величины это равно действие сводится к исходной форме Гутенберга – Рихтера с

$b\; =\; 2\; (2\; -\; q)\; q\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; (2-q)\}\; \{q-1\}\}\}$

В Кроме того, еще одно обобщение было получено из решения обобщенного логистического уравнения. В этой модели значения параметра b были найдены для событий, зарегистрированных в Центральной Атлантике, Канарских островах, Магеллановых горах и Японском море. Обобщенное логистическое уравнение применено к акустической эмиссии в бетоне Н. Барудом и Дж. М. Чандрой Кишеном. Баруд показал, что b-значение, полученное из обобщенного логистического уравнения, монотонно увеличивается с повреждением, и назвал его b-значением, соответствующим повреждению..

Было опубликовано новое обобщение с использованием байесовских статистических методов, из которого представлена ​​альтернативная форма для параметра b Гутенберга – Рихтера. Модель применялась к сильным землетрясениям, произошедшим в Чили с 2010 по 2016 год.

• Патикрит Бхаттачарья, Бикас К. Чакрабарти, Камаль и Дебашис Саманта, «Фрактальные модели динамики землетрясений», Хайнц Георг Шустер (редактор), Обзоры нелинейной динамики и сложности, стр. 107–150 V.2, Wiley-VCH, 2009 ISBN 3-527-40850-9.
• B. Гутенберг и К.Ф. Рихтер, Сейсмичность Земли и связанные с ней явления, 2-е изд. (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1954).
• Джон Д. Пеллетье, «Модели сейсмичности с пружинным блоком: обзор и анализ структурно неоднородной модели в сочетании с вязкой астеносферой» Геокомплексность и физика Землетрясения, Американский геофизический союз, 2000 г. ISBN 0-87590-978-7.