Неравенство Гротендика

редактировать

В математике неравенство Гротендика утверждает, что существует универсальная константа $KG {\ displaystyle K_ {G}}$ ${\ displaystyle K_ {G}}$ со следующим свойством. Если M i, j представляет собой n на n (вещественное или комплексное ) матрицу с

| ∑ i, j M i j s i t j | ≤ 1 {\ displaystyle \ left | \ sum _ {i, j} M_ {ij} s_ {i} t_ {j} \ right | \ leq 1}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {i, j} M_ {ij} s_ {i} t_ {j} \ right | \ leq 1}

для всех (действительных или комплексных) чисел s i, t j с абсолютным значением не более 1, тогда

| ∑ i, j M i j ⟨S i, T j⟩ | ≤ KG {\ displaystyle \ left | \ sum _ {i, j} M_ {ij} \ langle S_ {i}, T_ {j} \ rangle \ right | \ leq K_ {G}}

{\ displaystyle \ left | \ сумма _ {я, j} M_ {ij} \ l угол S_ {i}, T_ {j} \ rangle \ right | \ leq K_ {G}}

для всех векторы Si, T j в единичном шаре B (H) (действительного или комплексного) гильбертова пространства H, константа $KG {\ displaystyle K_ {G}}$ ${\ displaystyle K_ {G}}$ не зависит от n. Для фиксированной размерности гильбертова пространства d наименьшая константа, которая удовлетворяет этому свойству для всех n на n матриц, называется константой Гротендика и обозначается $KG (d) {\ displaystyle K_ {G} (d)}$ ${ \ Displaystyle K_ {G} (d)}$ . На самом деле есть две константы Гротендика: $KGR (d) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ и $KGC (d) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {C}} (d)}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {C}} (d)}$ , в зависимости от того, работаете ли вы с действительными или комплексными числами, соответственно.

Неравенство Гротендика и константы Гротендика являются назван в честь Александра Гротендика, который доказал существование констант в статье, опубликованной в 1953 году.

Содержание

1 Границы констант
2 Константа Гротендика порядка d
- 2.1 Нижние границы
- 2.2 Верхние границы
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Границы констант

Последовательности $KGR (d) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ и $KGC (d) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {C}} (d)}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {C}} (d)}$ легко увеличиваются, и результат Гротендика утверждает, что они ограничены, поэтому у них есть пределы.

с $KGR {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}}}$ определен как $sup d KGR (d) {\ displaystyle \ textstyle \ sup _ {d} K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sup _ {d} K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ тогда Гротендик доказал, что: $1,57 ≈ π 2 ≤ KGR ≤ sinh (π 2) ≈ 2,3 {\ displaystyle 1,57 \ приблизительно {\ frac {\ pi} {2}} \ leq K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} \ leq \ mathrm { sinh} ({\ frac {\ pi} {2}}) \ приблизительно 2.3}$ ${\ displaystyle 1.57 \ приблизительно {\ frac {\ pi} {2}} \ leq K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} \ leq \ mathrm {sinh} ({\ frac {\ pi} {2 }}) \ приблизительно 2,3}$ .

Кривин (1979) улучшил результат, доказав: $KGR ≤ π 2 ln ⁡ (1 + 2) ≈ 1.7822 {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} \ leq {\ frac {\ pi} {2 \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}} \ приблизительно 1.7822}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} \ leq {\ frac {\ pi} {2 \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}} \ приблизительно 1.7822}$ , предполагая, что верхняя оценка точна. Однако это предположение было опровергнуто Braverman et al. (2011).

Константа Гротендика порядка d

Борис Цирельсон показал, что константы Гротендика $KGR (d) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ играют важную роль в проблеме квантовой нелокальности : оценка Цирельсона любого полного корреляционного двудольного колоколообразного неравенства для квантовой системы размерности d ограничена сверху величиной $KGR (2 d 2) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (2d ^ {2})}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (2d ^ {2})}$ .

Нижние границы

Некоторые исторические данные по наиболее известным нижним границам из $KGR (d) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ резюмируется в следующей таблице. Подразумеваемые границы выделены курсивом.

d	Гротендик, 1953	Клаузер и др., 1969	Дэви, 1984	Фишберн и др., 1994	Вертези, 2008	Briët et al., 2011	Hua et al., 2015	Diviánszky et al., 2017
2		$2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ≈ 1.41421
3		1.41421			1.41724		1.41758	1.4359
4					1.44521		1.44566	1.4841
5				$10 7 {\ displaystyle { \ frac {10} {7}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {10} {7}}}$ ≈ 1.42857	1.46007		1.46112	1.4841
6					1.46007		1.47017	1.4841
7						1.46286	1.47583	1.4841
8						1.47586	1.47972	1.4841
9						1.48608
...
∞	$π 2 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ ≈ 1,57079		1,67696

Верхние границы

Некоторые исторические данные о наиболее известных верхних границах $KGR (d) {\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ ${\ displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$ :

d	Гротендик, 1953	Риц, 1974	Кривин, 1979	Браверман и др., 2011	Хирш и др., 2016
2			$2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ≈ 1,41421
3			1. 5163		1,4644
4			$π 2 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ ≈ 1,5708
...
8			1,6641
...
∞	$зп (π 2) {\ displaystyle \ mathrm {sinh} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinh} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right)}$ ≈ 2,30130	2,261	$π 2 пер ⁡ (1 + 2) {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 \ ln (1 + {\ sqrt {2}}))}}}$ ≈ 1,78221	$π 2 ln ⁡ (1 + 2) - ε {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}} - \ varepsilon}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}} - \ varepsilon}$

См. Также

Пизье –Неравенство Рингроуза

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Константа Гротендика». MathWorld.(NB: историческая часть там неточна.)