Градиент

редактировать
Многопараметрическое обобщение производной функции Градиент, представленный синими стрелками, обозначает направление наибольшего изменения скалярной функции. Значения функции представлены в оттенках серого и увеличиваются по значению от белого (низкий) до темного (высокий).

В векторном исчислении , градиент из скалярная дифференцируемая функция f нескольких переменных - это векторное поле (или векторная функция ) ∇ f {\ displaystyle \ nabla f}\ nabla f , значением которого в точке p {\ displaystyle p}p является вектор, компонентами которого являются частные производные от f {\ displaystyle f}f в p {\ displaystyle p}p . То есть для f: R n → R {\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}{\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}} его градиент ∇ f : R n → R n {\ displaystyle \ nabla f \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} ^ {n}}{\ displaystyle \ nabla f \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} ^ {n}} определено в точке p = (x 1,…, xn) {\ displaystyle \ mathrm {p} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}{\ displaystyle \ mathrm {p} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} в n-мерном пространстве как вектор:

∇ f (p) = [∂ f ∂ x 1 (p) ⋮ ∂ f ∂ xn (p)]. {\ displaystyle \ nabla f (p) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (p) \\\ vdots \\ {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} (p) \ end {bmatrix}}.}{\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}

Символ набла ∇ {\ displaystyle \ nabla}\ nabla , написано в виде перевернутого треугольника и произносится как «дель», обозначает векторный дифференциальный оператор.

Градиент двойственен производному df {\ displaystyle df}df: значение градиента в точке - это касательный вектор - вектор в каждой точке; в то время как значение производной в точке является вектором котангенса - линейной функцией на векторах. Они связаны тем, что скалярное произведение градиента f в точке p с другим касательным вектором v равно производной по направлению f в точке p функция по v ; то есть ∇ е (п) ⋅ v = ∂ е ∂ v (p) = dfp (v) {\ displaystyle \ nabla f (p) \ cdot \ mathrm {v} = {\ tfrac {\ partial f } {\ partial \ mathbf {v}}} (p) = df_ {p} (\ mathrm {v})}{\displaystyle \nabla f(p)\cdot \mathrm {v} ={\ tfrac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathrm {v})}.

Вектор градиента можно интерпретировать как «направление и скорость наиболее быстрого увеличения». Если градиент функции не равен нулю в точке p, направление градиента - это направление, в котором функция увеличивается наиболее быстро от p, а величина градиента - это скорость увеличения. в этом направлении. Кроме того, градиент является нулевым вектором в точке тогда и только тогда, когда это неподвижная точка (где производная обращается в нуль). Таким образом, градиент играет фундаментальную роль в теории оптимизации, где он используется для максимизации функции с помощью подъема градиента.

Градиент допускает множественные обобщения для более общих функций на многообразиях ; см. § Обобщения.

Содержание

  • 1 Мотивация
  • 2 Определение
    • 2.1 Декартовы координаты
    • 2.2 Цилиндрические и сферические координаты
    • 2.3 Общие координаты
  • 3 Градиент и производная или дифференциал
    • 3.1 Дифференциальная или (внешняя) производная
    • 3.2 Линейное приближение к функции
    • 3.3 Градиент как «производная»
      • 3.3.1 Линейность
      • 3.3.2 Правило произведения
      • 3.3.3 Цепное правило
  • 4 Другие свойства и приложения
    • 4.1 Наборы уровней
    • 4.2 Консервативные векторные поля и градиентная теорема
  • 5 Обобщения
    • 5.1 Градиент вектора
    • 5.2 Римановы многообразия
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература
  • 10 Внешние ссылки

Мотивация

Градиент 2D-функции f (x, y) = xe показан синими стрелками над псевдоцветной график функции.

Рассмотрим комнату, где температура задается скалярным полем , T, поэтому в каждой точке (x, y, z) температура равна T (x, y, z), независимо от времени. В каждой точке комнаты градиент T в этой точке покажет направление, в котором температура растет быстрее всего, удаляясь от (x, y, z). Величина градиента будет определять, насколько быстро температура повышается в этом направлении.

Рассмотрим поверхность, высота которой над уровнем моря в точке (x, y) равна H (x, y). Градиент H в точке - это вектор плоскости, указывающий в направлении наискорейшего склона или уклона в этой точке. Крутизна наклона в этой точке определяется величиной вектора градиента.

Градиент также можно использовать для измерения того, как скалярное поле изменяется в других направлениях, а не только в направлении наибольшего изменения, путем взятия скалярного произведения. Предположим, что самый крутой уклон холма составляет 40%. Дорога, идущая прямо в гору, имеет уклон 40%, но дорога, огибающая холм под углом, будет иметь более пологий уклон. Например, если дорога находится под углом 60 ° к направлению подъема (когда оба направления проецируются на горизонтальную плоскость), то уклон вдоль дороги будет скалярным произведением между вектором градиента и единичным вектором . вдоль дороги, а именно 40%, умноженное на косинус 60 °, или 20%.

В более общем смысле, если функция высоты холма H является дифференцируемой, то градиент H , пунктирный с единичным вектором дает наклон холм в направлении вектора, производная по направлению H вдоль единичного вектора.

Определение

Градиент функции f (x, y) = - (cosx + cosy), изображенный как спроецированное векторное поле на нижнюю плоскость.

Градиент (или градиентное векторное поле) скалярной функции f (x 1, x 2, x 3,..., x n) обозначается ∇f или ∇ → f, где ∇ (nabla ) обозначает вектор дифференциальный оператор, del. Обозначение grad f также обычно используется для представления градиента. Градиент f определяется как уникальное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектором vв каждой точке x является производной f по направлению вдоль v . То есть

(∇ f (x)) ⋅ v = D v f (x). {\ displaystyle {\ big (} \ nabla f (x) {\ big)} \ cdot \ mathbf {v} = D _ {\ mathbf {v}} f (x).}{\ displaystyle {\ big (} \ nabla f (x) {\ big)} \ cdot \ mathbf {v} = D _ {\ mathbf {v}} f (x).}

Формально градиент двойной к производной; см. связь с производной.

Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится только к вектору ее пространственных производных (см. Пространственный градиент ).

Величина и направление вектора градиента независимы от конкретного представления координат .

декартовых координат

в трехмерном декартовом система координат с евклидовой метрикой, градиент, если он существует, задается следующим образом:

∇ f = ∂ f ∂ xi + ∂ f ∂ yj + ∂ f ∂ zk, {\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ mathbf {i} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {k},}{\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ mathbf {i} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {k},}

где i, j, k- стандартные единичные векторы в направлениях координат x, y и z, соответственно. Например, градиент функции

f (x, y, z) = 2 x + 3 y 2 - sin ⁡ (z) {\ displaystyle f (x, y, z) = 2x + 3y ^ {2 } - \ sin (z)}{\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}

равно

∇ f = 2 i + 6 yj - cos ⁡ (z) k. {\ displaystyle \ nabla f = 2 \ mathbf {i} + 6y \ mathbf {j} - \ cos (z) \ mathbf {k}.}{\ displaystyle \ nabla f = 2 \ mathbf {i} + 6y \ mathbf {j} - \ cos (z) \mathbf {k}.}

В некоторых приложениях принято представлять градиент как вектор-строка или вектор-столбец его компонентов в прямоугольной системе координат; в этой статье принято, что градиент является вектором-столбцом, а производная - вектором-строкой.

Цилиндрические и сферические координаты

В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент задается следующим образом:

∇ f (ρ, φ, z) = ∂ е ∂ ρ е ρ + 1 ρ ∂ е ∂ φ е φ + ∂ е ∂ zez, {\ displaystyle \ nabla f (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho} } \ mathbf {e} _ {\ rho} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} \ mathbf {e} _ {\ varphi} + { \ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {e} _ {z},}{\displaystyle \nabla f(\rho,\varphi,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}

где ρ - осевое расстояние, φ - азимутальный или азимутальный угол, z - осевая координата, а eρ, eφи ez- это единичные векторы, указывающие вдоль координатных направлений.

В сферических координатах градиент определяется следующим образом:

∇ f (r, θ, φ) = ∂ f ∂ rer + 1 r ∂ f ∂ θ e θ + 1 р грех ⁡ θ ∂ е ∂ φ е φ, {\ displaystyle \ nabla f (r, \ theta, \ varphi) = {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta} } {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} \ mathbf {e} _ {\ varphi},}{\ displaystyle \ nabla f (r, \ theta, \ varphi) = {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} \ mathbf {e} _ {\ varphi},}

где r - радиальное расстояние, φ - азимутальный угол, а θ - полярный угол, и er, eθи eφснова являются локальными единичными векторами, указывающими в направлениях координат (то есть нормализованным ковариантным базисом ).

Для градиента в других ортогональных системах координат см. Ортогональные координаты (Дифференциальные операторы в трех измерениях).

Общие координаты

Мы рассматриваем общие координаты, которые мы записываем как x,..., x,..., x, где n - количество измерений области. Здесь верхний индекс относится к позиции в списке координаты или компонента, поэтому x относится ко второму компоненту, а не к величине x в квадрате. Индексная переменная i относится к произвольному элементу x. Используя нотацию Эйнштейна, градиент может быть записан как:

∇ f = ∂ f ∂ xigijej {\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i }}} g ^ {ij} \ mathbf {e} _ {j}}{\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {я}}} г ^ {ij} \ mathbf {e} _ {j}} (Обратите внимание, что его дуальный равен df = ∂ f ∂ xiei {\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \ mathbf {e} ^ {i}}{\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \ mathbf {e} ^ {i}} ),

где ei = ∂ x / ∂ xi {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ partial \ mathbf {x} / \ partial x ^ {i}}{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ partial \ mathbf {x} / \ partial x ^ {i} } и ei = dxi {\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i } = \ mathrm {d} x ^ {i}}{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} = \ mathrm {d} x ^ {i}} относятся к ненормализованным локальным ковариантным и контравариантным основаниям соответственно, gij {\ displaystyle g ^ {ij}}g^{ij}- это обратный метрический тензор , а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает суммирование по i и j.

Если координаты ортогональны, мы можем легко выразить градиент (и дифференциал ) в терминах нормализованных базисов, которые мы называем e ^ i {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i}}{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} и e ^ i {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} ^ {i}}{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}} } ^ {я }} , используя масштабные коэффициенты (также известные как коэффициенты Ламе ) привет = ‖ ei ‖ = 1 / ‖ ei ‖ {\ displaystyle h_ {i} = \ lVert \ mathbf {e} _ {i} \ rVert = 1 \, / \ lVert \ mathbf {e} ^ {я} \, \ rVert}{\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert =1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\,\rVert }:

∇ е = ∑ я = 1 n ∂ е ∂ xi 1 hie ^ i {\ displaystyle \ nabla f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \, { \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {1} {h_ {i}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}{ \ displaystyle \ nabla f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \, {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {1} {h_ {i}} } \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}} df = ∑ я = 1 N ∂ е ∂ xi 1 hie ^ i {\ displaystyle \ mathrm {d} f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \, {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {1} {h_ {i}}} \ mathbf {\ hat {e}} ^ {i}}{\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}),

где мы не можем использовать нотацию Эйнштейна, поскольку невозможно избежать повторения более двух показателей. Несмотря на использование верхних и нижних индексов, e ^ i {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}, e ^ i {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} ^ {i}}{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}и hi {\ displaystyle h_ {i}}h_{i}не являются ни контравариантными, ни ковариантными.

Последнее выражение вычисляет выражения, приведенные выше для цилиндрических и сферических координат.

Градиент и производная или дифференциал

Градиент тесно связан с (общей) производной ((общей) разностью ) df {\ displaystyle df}df: они транспонируют (dual ) друг в друга. Используя соглашение, согласно которому векторы в R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}\mathbf {R} ^{n}представлены векторами-столбцами , а ковекторы (линейные карты R n → R {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}{\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n} \ к \ mathbf {R}} ) представлены векторами-строками, градиент ∇ f {\ displaystyle \ nabla f}\ nabla f и производная df {\ displaystyle df}dfвыражаются как вектор столбца и строки, соответственно, с теми же компонентами, но транспонированы друг друга:

∇ е (p) = [∂ f ∂ x 1 (p) ⋮ ∂ f ∂ xn (p)] {\ displaystyle \ nabla f (p) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (p) \\\ vdots \\ {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} (p) \ end {bmatrix}}}{\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}};
dfp = [∂ е ∂ x 1 (p) ⋯ ∂ f ∂ xn (p)] {\ displaystyle df_ {p} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { 1}}} (p) \ cdots {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} (p) \ end {bmatrix}}}{\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\cdots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}}.

Хотя они оба имеют одинаковые компоненты, они отличаются какой математический объект они представляют: в каждой точке производная - это вектор котангенса, линейная форма (ковектор ), которая выражает, насколько (скалярный) выходной сигнал изменяется для данного бесконечно малое изменение во входном (векторном), в то время как в каждой точке градиент представляет собой касательный вектор , который представляет бесконечно малое изменение во входном (векторном). В символах градиент является элементом касательного пространства в точке, ∇ f (p) ∈ T p R n {\ displaystyle \ nabla f (p) \ in T_ {p} \ mathbf {R} ^ {n}}{\ displaystyle \ nabla f (p) \ in T_ {p} \ mathbf {R} ^ {n}} , в то время как производная - это отображение касательного пространства на действительные числа, dfp: T p R n → R {\ displaystyle df_ {p} \ двоеточие T_ {p} \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}{\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }. Касательные пространства в каждой точке R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}\mathbf {R} ^{n}могут быть «естественным образом» идентифицированы с векторным пространством R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}\mathbf {R} ^{n}, и аналогичным образом котангенсное пространство в каждой точке можно естественным образом отождествить с двойным векторным пространством (R n) ∗ {\ displaystyle (\ mathbf {R} ^ {n}) ^ {*}}{\displaystyle (\mathbf {R} ^{n})^{*}}ковекторов; таким образом, значение градиента в точке можно рассматривать как вектор в исходном R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}\mathbf {R} ^{n}, а не просто как касательный вектор.

Вычислительно, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матриц), что эквивалентно взятию скалярного произведения с градиентом:

(dfp) (v) = [∂ f ∂ x 1 (p) ⋯ ∂ f ∂ xn (p)] [v 1 ⋮ vn] = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ xi (p) vi = [∂ f ∂ x 1 ( п) ⋮ ∂ е ∂ xn (p)] ⋅ [v 1 ⋮ vn] = ∇ f (p) ⋅ v {\ displaystyle (df_ {p}) (v) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ частичный f} {\ partial x_ {1}}} (p) \ cdots {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} (p) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\\ vdots \\ v_ {n} \ end {bmatrix}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} ( p) v_ {i} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (p) \\\ vdots \\ {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} (p) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\\ vdots \\ v_ {n} \ end {bmatrix}} = \ nabla f (p) \ cdot v}{\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\cdots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}

Дифференциальная или (внешняя) производная

Наилучшее линейное приближение к дифференцируемой функции

f: R n → R {\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {n } \ to \ mathbf {R}}{\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}

в точке x в R представляет собой линейное отображение от R до R, которое часто обозначается df x или Df ( x) и вызвал дифференциал или (total ) производное f в точке x. Функция df, которая отображает x в df x, называется (общий) дифференциал или внешней производной функции f и является примером дифференциальная 1-форма.

Так же, как производная функции одной переменной представляет собой наклон касательной к графику функции, производная по направлению функции нескольких переменных представляет собой наклон касательной гиперплоскости в направлении вектора.

Градиент связан с дифференциалом по формуле

(∇ f) x ⋅ v = dfx (v) {\ displaystyle (\ nabla f) _ {x} \ cdot v = df_ {x } (v)}{\displayst yle (\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)}

для любого v ∈ R, где ⋅ {\ displaystyle \ cdot}\ cdot - это скалярное произведение : принимая скалярное произведение вектора с градиентом аналогично взятию производной по направлению вдоль вектора.

Если R рассматривается как пространство векторов-столбцов (размерности n) (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами

(∂ f ∂ Икс 1,…, ∂ е ∂ xn), {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}}, \ dots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} \ right),}{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}}, \ точки, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} \ right),}

так, чтобы df x (v) было задано посредством умножения матриц. Предполагая стандартную евклидову метрику на R, тогда градиент является соответствующим вектором-столбцом, то есть

(∇ f) i = d f i T. {\ displaystyle (\ nabla f) _ {i} = df_ {i} ^ {\ mathsf {T}}.}{\displaystyle (\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.}

Линейное приближение к функции

Наилучшее линейное приближение к функции можно выразить через градиент, а не через производную. Градиент функции f от евклидова пространства R до R в любой конкретной точке x 0 в R характеризует наилучшее линейное приближение к f при x 0. Приближение выглядит следующим образом:

f (x) ≈ f (x 0) + (∇ f) x 0 ⋅ (x - x 0) {\ displaystyle f (x) \ приблизительно f (x_ {0}) + (\ nabla f) _ {x_ {0}} \ cdot (x-x_ {0})}{\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}

для x, близкого к x 0, где (∇f) x0- градиент из f, вычисленного в x 0, а точка обозначает скалярное произведение на R . Это уравнение эквивалентно первым двум членам в многовариантном ряду Тейлора разложении f в x 0.

Градиент как «производная»

Пусть U будет открытым множеством в R . Если функция f: U → R является дифференцируемой, то дифференциал f является производной (Фреше) функции f. Таким образом, ∇f - это функция из U в пространство R такая, что

lim h → 0 | f (x + h) - f (x) - f (x) ⋅ h | ‖ Час ​​‖ знак равно 0, {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {| f (x + h) -f (x) - \ nabla f (x) \ cdot h |} {\ | h \ |}} = 0,}{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}

где · - скалярное произведение.

Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:

Линейность

Градиент линейна в том смысле, что если f и g - две действительные функции, дифференцируемые в точке a ∈ R, а α и β - две константы, то αf + βg дифференцируема в точке a, и, более того,

∇ (α f + β g) (a) = α ∇ f (a) + β ∇ g (a). {\ displaystyle \ nabla \ left (\ alpha f + \ beta g \ right) (a) = \ alpha \ nabla f (a) + \ beta \ nabla g (a).}\ nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).

Правило продукта

Если f и g - вещественные функции, дифференцируемые в точке a ∈ R, то правило произведения утверждает, что произведение fg дифференцируемо в точке a, и

∇ (fg) (a) = f (a) ∇ g (a) + g (a) ∇ f (a). {\ displaystyle \ nabla (fg) (a) = f (a) \ nabla g (a) + g (a) \ nabla f (a).}\ nabla (fg) (a) = f (a) \ nabla g (a) + g (а) \ набла е (а).

Правило цепочки

Предположим, что f: A → R - это вещественная функция, определенная на подмножестве A из R, и что f дифференцируема в точке a. Есть две формы цепного правила, применяемого к градиенту. Сначала предположим, что функция g является параметрической кривой ; то есть функция g: I → R отображает подмножество I ⊂ R в R . Если g дифференцируема в такой точке c ∈ I, что g (c) = a, то

(f ∘ g) ′ (c) = ∇ f (a) ⋅ g ′ (c), {\ displaystyle (f \ circ g) '(c) = \ nabla f (a) \ cdot g' (c),}(f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),

где ∘ - оператор композиции : (f ∘ g) (x) = f (г (х)).

В более общем смысле, если вместо этого I ⊂ R, то имеет место следующее:

∇ (f ∘ g) (c) = (D g (c)) T (∇ f (а)), {\ displaystyle \ nabla (е \ circ g) (c) = {\ big (} Dg (c) {\ big)} ^ {\ mathsf {T}} {\ big (} \ nabla f (a) {\ big)},}{\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big)}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big)},}

где (Dg) обозначает транспонированную матрицу Якоби.

Для второй формы цепного правила предположим, что h: I → R - вещественнозначная функция на подмножестве I в R, и что h дифференцируема в точке f (a) ∈ I. Тогда

∇ (h ∘ f) (a) = h ′ ( f (a)) ∇ f (a). {\ displaystyle \ nabla (h \ circ f) (a) = h '{\ big (} f (a) {\ big)} \ nabla f (a).}{\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big)}\nabla f(a).}

Другие свойства и приложения

Наборы уровней

Поверхность уровня или изоповерхность - это набор всех точек, в которых некоторая функция имеет заданное значение.

Если f дифференцируема, то скалярное произведение (∇f) x ⋅ v градиента в точке x с вектором v дает производную по направлению от f в точке x в направлении v. Отсюда следует, что в этом случае градиент f является ортогональным к наборам уровня f. Например, поверхность уровня в трехмерном пространстве определяется уравнением вида F (x, y, z) = c. Тогда градиент F нормален к поверхности.

В более общем смысле любая встроенная гиперповерхность в риманово многообразие может быть вырезана уравнением вида F (P) = 0, так что dF нигде не равно нулю.. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности.

Аналогично, аффинная алгебраическая гиперповерхность может быть определена уравнением F (x 1,..., x n) = 0, где F - полином. Градиент F равен нулю в особой точке гиперповерхности (это определение особой точки). В неособой точке это ненулевой нормальный вектор.

Консервативные векторные поля и градиентная теорема

Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен с помощью градиентной теоремы ( основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.

Обобщения

Матрица Якоби - это обобщение градиента для векторнозначных функций нескольких переменных и дифференцируемых карт между евклидовыми пробелы или, в более общем смысле, многообразия. Дальнейшее обобщение функции между банаховыми пространствами - это производная Фреше.

Градиент вектора

Поскольку полная производная векторного поля является линейным отображением от векторов к векторам, это тензор величина.

В прямоугольных координатах градиент векторного поля f = (f, f, f) определяется следующим образом:

∇ f = gjk ∂ fi ∂ xjei ⊗ ek, { \ displaystyle \ nabla \ mathbf {f} = g ^ {jk} {\ frac {\ partial f ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {k},}{\ displaystyle \ набла \ mathbf {f} = g ^ {jk} {\ frac {\ partial f ^ {i}} {\ partial x ^ { j}}} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {k},}

(где используется нотация суммирования Эйнштейна, а тензорное произведение векторов eiи ekравно диадический тензор типа (2,0)). В целом, это выражение равно транспонированной матрице Якоби:

∂ f i ∂ x j = ∂ (f 1, f 2, f 3) ∂ (x 1, x 2, x 3). {\ displaystyle {\ frac {\ partial f ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} = {\ frac {\ partial (f ^ {1}, f ^ {2}, f ^ {3})} {\ partial (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}}.}{\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}

В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на изогнутом многообразии градиент включает символы Кристоффеля :

∇ f = gjk (∂ fi ∂ xj + Γ ijlfl) ei ⊗ ek, {\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f} = g ^ {jk} \ left ({\ frac { \ partial f ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} + {\ Gamma ^ {i}} _ {jl} f ^ {l} \ right) \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {k},}{\displaystyle \nabla \mathbf {f } =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l} \right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}

где g - компоненты обратного метрического тензора , а ei- координатные базисные векторы.

Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связью Леви-Чивиты и метрическим тензором:

∇ afb = gac ∇ cfb, {\ displaystyle \ nabla ^ {a} f ^ {b} = g ^ {ac} \ nabla _ {c} f ^ {b},}{\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}

, где ∇ c - соединение.

Римановы многообразия

Для любой гладкой функции f на римановом многообразии (M, g) градиент f - это векторное поле ∇f такое, что для любого вектора поле X,

g (∇ f, X) = ∂ X f, {\ displaystyle g (\ nabla f, X) = \ partial _ {X} f,}{\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}

то есть

gx ( (∇ е) Икс, Икс Икс) знак равно (∂ Икс е) (Икс), {\ Displaystyle g_ {x} {\ big (} (\ nabla f) _ {x}, X_ {x} {\ big)} = (\ partial _ {X} f) (x),}{\ displaystyle g_ {x} {\ big (} ( \ nabla f) _ {x}, X_ {x} {\ big)} = (\ partial _ {X} f) (x),}

где g x (,) обозначает внутреннее произведение касательных векторов в точке x, определенных метрикой g и ∂ X f - функция, которая переводит любую точку x ∈ M в производную f по направлению в направлении X, вычисленную в x. Другими словами, в координатной карте φ от открытого подмножества M до открытого подмножества R, (∂ X f) (x) задается по:

∑ j = 1 n X j (φ (x)) ∂ ∂ xj (f ∘ φ - 1) | φ (Икс), {\ Displaystyle \ сумма _ {J = 1} ^ {n} X ^ {J} {\ big (} \ varphi (x) {\ big)} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} (f \ circ \ varphi ^ {- 1}) {\ Bigg |} _ {\ varphi (x)},}{\ dis playstyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} X ^ {j} {\ big (} \ varphi (x) {\ big)} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} ( f \ circ \ varphi ^ {- 1}) {\ Bigg |} _ {\ varphi (x)},}

где X обозначает j-й компонент X в этой координатной диаграмме.

Итак, локальная форма градиента принимает вид:

∇ f = g i k ∂ f ∂ x k e i. {\ displaystyle \ nabla f = g ^ {ik} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {k}}} {\ textbf {e}} _ {i}.}{\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}

Обобщение случая M = R, градиент функции связан с ее внешней производной, поскольку

(∂ X f) (x) = (df) x (X x). {\ displaystyle (\ partial _ {X} f) (x) = (df) _ {x} (X_ {x}).}{\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}

Точнее, градиент ∇f - это векторное поле, связанное с дифференциалом 1 -form df, используя музыкальный изоморфизм

♯ = ♯ g: T ∗ M → TM {\ displaystyle \ sharp = \ sharp ^ {g} \ двоеточие T ^ {*} M \ to TM}\ sharp = \ sharp ^ {g} \ двоеточие T ^ {*} M \ to TM

(называемые «точными»), определяемые метрикой g. Связь между внешней производной и градиентом функции на R является частным случаем этого, в котором метрика является плоской метрикой, заданной скалярным произведением.

См. Также

На Викискладе есть материалы, связанные с Градиентными полями.

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

  • Корн, Тереза ​​М.; Корн, Гранино Артур (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора. Dover Publications. С. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки

Искать градиент в Викисловаре, бесплатный словарь.
Последняя правка сделана 2021-05-22 04:03:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте