Закон смертности Гомпертца – Мейкхема

редактировать

Математическое уравнение, связанное с уровнем смертности людей

Гомпертца – Мейкхема
Параметры	$α ∈ R + {\ Displaystyle \ альфа \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ alpha \ in \ mathbb {R} ^ {+}$ . $β ∈ R + {\ displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ . $λ ∈ R + { \ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R } ^ {+}}$
Поддержка	$x ∈ R + {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {+}$
PDF	$(α е β Икс + λ) ⋅ ехр ⁡ [- λ Икс - α β (е β Икс - 1)] {\ Displaystyle \ влево (\ альфа е ^ {\ бета х} + \ лямбда \ вправо) \ CDOT \ exp \ left [- \ lambda x - {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ left (e ^ {\ beta x} -1 \ right) \ right]}$ ${\ displaystyle \ left (\ alpha e ^ {\ бета x} + \ lambda \ right) \ cdot \ exp \ left [- \ lambda x - {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ left (e ^ {\ beta x} -1 \ right) \ right ]}$
CDF	$1 - exp ⁡ [- λ Икс - α β (е β Икс - 1)] {\ Displaystyle 1- \ ехр \ влево [- \ лямбда х - {\ гидроразрыва {\ альфа} {\ бета}} \ влево (е ^ {\ beta x} -1 \ right) \ right]}$ ${ \ displaystyle 1- \ exp \ left [- \ lambda x - {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ left (e ^ {\ beta x} -1 \ right) \ right]}$

Закон Гомпертца – Мейкхема гласит, что уровень смертности людей является суммой зависимого от возраста компонента (функция Гомпертца, названный в честь Бенджамина Гомперца ), который экспоненциально увеличивается с ge и не зависящий от возраста компонент (термин Мейкхема, названный в честь Уильяма Мейкхема ). В защищенной среде, где внешние причины смерти редки (лабораторные условия, страны с низкой смертностью и т. Д.), Не зависящий от возраста компонент смертности часто пренебрежимо мал. В этом случае формула упрощается до закона смертности Гомперца. В 1825 году Бенджамин Гомпертц предложил экспоненциальный рост смертности с возрастом.

Закон смертности Гомперца-Мейкхема довольно точно описывает возрастную динамику смертности людей в возрастном окне от 30 до 80 лет. Некоторые исследования показали, что в более старшем возрасте уровень смертности увеличивается медленнее - явление, известное как замедление смертности в позднем возрасте, - но более поздние исследования не согласны с этим.

Расчетная вероятность смерти человека в каждом из этих случаев. возраст, для США в 2003 г. [1]. Смертность возрастает экспоненциально с возрастом после 30 лет.

Снижение смертности людей до 1950-х гг. В основном было связано с уменьшением не зависящего от возраста (Мейкхэма) компонента смертности, в то время как возрастная - зависимая (по Гомперцу) составляющая смертности оказалась на удивление стабильной. С 1950-х годов началась новая тенденция смертности в виде неожиданного снижения показателей смертности в пожилом возрасте и «прямоугольной формы» кривой выживаемости.

функция риска для Гомперца. -Распределение Макхема чаще всего характеризуется как $h (x) = α e β x + λ {\ displaystyle h (x) = \ alpha e ^ {\ beta x} + \ lambda}$ $h (x) = \ alpha e ^ {\ beta x} + \ lambda$ . Эмпирическая величина бета-параметра составляет около 0,085, что означает удвоение смертности каждые 0,69 / 0,085 = 8 лет (Дания, 2006).

функция квантиля может быть выражена в выражении в закрытой форме с помощью функции Ламберта W :

Q (u) = α β λ - 1 λ пер ⁡ (1 - u) - 1 β W 0 [α е α / λ (1 - u) - (β / λ) λ] {\ displaystyle Q (u) = {\ frac {\ alpha} {\ beta \ lambda}} - {\ frac {1} {\ lambda}} \ ln (1-u) - {\ frac {1} {\ beta}} W_ {0} \ left [{\ frac {\ alpha e ^ {\ alpha / \ lambda} (1-u) ^ {- (\ beta / \ lambda)}} {\ lambda}} \ right]}

{\ displaystyle Q (u) = {\ frac {\ alpha} {\ beta \ лямбда}} - {\ frac {1} {\ lambda}} \ ln (1-u) - {\ frac {1} {\ beta}} W_ {0} \ left [{\ frac {\ alpha e ^ { \ альфа / \ lambda} (1-u) ^ {- (\ beta / \ lambda)}} {\ lambda}} \ right]}

Закон Гомперца такой же, как и Закон Фишера– Распределение Типпета для отрицательного значения возраста, ограничено отрицательными значениями для случайной величины (положительные значения для возраста).

См. Также

Ссылки

^Гомпертц, Б. (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизненных обстоятельств». Философские труды Королевского общества. 115 : 513–585. doi : 10.1098 / rstl.1825.0026. JSTOR 107756. S2CID 145157003.
^ Гаврилов Леонид А.; Гаврилова, Наталья С. (1991), Биология продолжительности жизни: количественный подход, Нью-Йорк: Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-4983-7
^Makeham, WM (1860 г.). «О законе смертности и построении аннуитетных таблиц». J. Inst. Актуарии и Ассур. Mag. 8 (6): 301–310. doi : 10.1017 / S204616580000126X. JSTOR 41134925.
^Гаврилов Леонид А.; Гаврилова, Наталья С. (2011). «Измерение смертности в пожилом возрасте: исследование мастер-класса по смерти Управления социального обеспечения» (PDF). Североамериканский актуарный журнал. 15 (3): 432–447. DOI : 10.1080 / 10920277.2011.10597629. PMC 3269912. PMID 22308064.
^Гаврилов, Л.А.; Гаврилова, Н. С.; Носов, В. Н. (1983). «Продолжительность жизни человека перестала увеличиваться: почему?». Геронтология. 29(3): 176–180. doi : 10.1159 / 000213111. PMID 6852544.
^Гаврилов, Л.А.; Носов, В. Н. (1985). «Новая тенденция в снижении смертности людей: прямоугольная форма кривой выживаемости [Аннотация]». Возраст. 8 (3): 93. doi : 10.1007 / BF02432075. S2CID 41318801.
^Гаврилова Н.С.; Гаврилов, Л. А. (2011). "Старение и долголетие: Законы и прогнозы умртности за старое население" [Старение и долголетие: законы смертности и прогнозы смертности для стареющего населения]. Демография (на чешском языке). 53 (2): 109–128.
^Йодра, П. (2009). «Выражение в замкнутой форме для функции квантили распределения Гомперца-Мейкхама». Математика и компьютеры в моделировании. 79 (10): 3069–3075. doi :10.1016/j.matcom.2009.02.002.