Мера Гиббса

редактировать

В математике, мера Гиббса, названная в честь Джозайя Уилларда Гиббса, это мера вероятности, часто встречающаяся во многих задачах теории вероятностей и статистической механики. Это обобщение канонического ансамбля на бесконечные системы. Канонический ансамбль дает вероятность того, что система X находится в состоянии x (эквивалентно случайной величине X, имеющей значение x) как

P (X = x) = 1 Z (β) exp ⁡ (- β E (x)). {\ Displaystyle P (X = x) = {\ frac {1} {Z (\ beta)}} \ exp (- \ beta E (x)).}P (X = x) = \ frac {1} {Z (\ beta)} \ exp (- \ beta E (x)).

Здесь E (x) - функция из пространство состояний к действительным числам; в физических приложениях E (x) интерпретируется как энергия конфигурации x. Параметр β - свободный параметр; в физике это обратная температура. нормализующая константа Z (β) - это статистическая сумма . Однако в бесконечных системах полная энергия больше не является конечным числом и не может использоваться при традиционном построении распределения вероятностей канонического ансамбля. Традиционные подходы в статистической физике изучали предел интенсивных свойств, когда размер конечной системы приближается к бесконечности (термодинамический предел ). Когда функцию энергии можно записать как сумму членов, каждый из которых включает только переменные из конечной подсистемы, понятие меры Гиббса обеспечивает альтернативный подход. Меры Гиббса были предложены теоретиками вероятности, такими как Добрушин, Лэнфорд и Рюэлль, и предоставили основу для непосредственного изучения бесконечных систем, вместо того, чтобы брать предел конечных системы.

Мера является мерой Гиббса, если условные вероятности, которые она индуцирует для каждой конечной подсистемы, удовлетворяют условию согласованности: если все степени свободы за пределами конечной подсистемы заморожены, канонический ансамбль для подсистемы с учетом этих граничные условия соответствуют вероятностям в мере Гиббса условной на замороженных степенях свободы.

Теорема Хаммерсли – Клиффорда подразумевает, что любая вероятностная мера, удовлетворяющая марковскому свойству, является мерой Гиббса для соответствующего выбора (локально определенной) функции энергии. Следовательно, мера Гиббса применяется к широко распространенным задачам за пределами физики, таким как сети Хопфилда, сети Маркова, логические сети Маркова и ограниченно рациональные потенциальные игры в теории игр и экономике. Мера Гиббса в системе с локальными (конечными) взаимодействиями максимизирует плотность энтропии для данной ожидаемой плотности энергии ; или, что то же самое, минимизирует плотность свободной энергии.

Мера Гиббса бесконечной системы не обязательно уникальна, в отличие от канонического ансамбля конечной системы, который уникален. Существование более одной меры Гиббса связано со статистическими явлениями, такими как нарушение симметрии и сосуществование фаз.

Содержание

  • 1 Статистическая физика
  • 2 Марковское свойство
  • 3 Формальное определение на решетках
    • 3.1 Пример
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки
  • 6 Дополнительная литература

Статистическая физика

Набор мер Гиббса в системе всегда выпуклый, поэтому либо существует единственная мера Гиббса (в этом случае система называется «эргодической »), либо их бесконечно много (и система называется «неэргодической»). В неэргодическом случае меры Гиббса могут быть выражены как набор выпуклых комбинаций гораздо меньшего числа специальных мер Гиббса, известных как «чистые состояния» (не путать с родственным, но отдельным понятием чистые состояния в квантовой механике ). В физических приложениях гамильтониан (функция энергии) обычно имеет некоторый смысл локальности, а чистые состояния обладают свойством кластерного разложения, согласно которому «удаленные подсистемы» являются независимыми. На практике физически реалистичные системы находятся в одном из этих чистых состояний.

Если гамильтониан обладает симметрией, то единственная (т.е. эргодическая) мера Гиббса обязательно будет инвариантной относительно симметрии. Но в случае множественных (т.е. неэргодических) мер Гиббса чистые состояния обычно не инвариантны относительно симметрии гамильтониана. Например, в модели Изинга с бесконечным ферромагнетиком ниже критической температуры есть два чистых состояния, «преимущественно вверх» и «в основном вниз», которые меняются местами в соответствии с Z модели. 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}\ mathbb {Z} _ {2} симметрия.

Марковское свойство

Пример Марковского свойства можно увидеть в мере Гиббса модели Изинга. Вероятность того, что данный спин σ k находится в состоянии s, в принципе может зависеть от состояний всех других спинов в системе. Таким образом, мы можем записать вероятность как

P (σ k = s ∣ σ j, j ≠ k) {\ displaystyle P (\ sigma _ {k} = s \ mid \ sigma _ {j}, \, j \ neq k)}P (\ sigma_k = s \ mid \ sigma_j, \, j \ ne k) .

Однако в модели Изинга только с взаимодействиями конечного радиуса действия (например, взаимодействиями ближайших соседей) мы фактически имеем

P (σ k = s ∣ σ j, j ≠ k) Знак равно п (σ К знак равно s ∣ σ J, J ∈ N К) {\ Displaystyle P (\ sigma _ {k} = s \ mid \ sigma _ {j}, \, j \ neq k) = P (\ sigma _ {k} = s \ mid \ sigma _ {j}, \, j \ in N_ {k})}{\ Displaystyle P (\ sigma _ {k} = s \ mid \ sigma _ {j}, \, j \ neq k) = P (\ sigma _ {k} = s \ mid \ sigma _ {j}, \, j \ in N_ {k})} ,

где N k - окрестность сайта k. То есть вероятность в узле k зависит только от спинов в конечной окрестности. Это последнее уравнение имеет форму локального марковского свойства. Меры с этим свойством иногда называют марковскими случайными полями. Более того, верно и обратное: любое положительное распределение вероятностей (отличная от нуля плотность всюду), обладающее марковским свойством, может быть представлено как мера Гиббса для соответствующей функции энергии. Это теорема Хаммерсли – Клиффорда.

Формальное определение на решетках

Далее следует формальное определение для частного случая случайного поля на решетке. Однако идея меры Гиббса гораздо шире.

Определение случайного поля Гиббса на решетке требует некоторой терминологии:

  • решетка : счетное множество L {\ displaystyle \ mathbb {L}}\ mathbb {L} .
  • пространство с одним вращением : A вероятностное пространство (S, S, λ) {\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}}, \ lambda)}(S, \ mathcal {S}, \ лямбда) .
  • Конфигурационное пространство : (Ω, F) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}(\ Omega, \ mathcal {F}) , где Ω = SL {\ displaystyle \ Omega = S ^ {\ mathbb {L}}}\ Omega = S ^ {\ mathbb {L}} и F = SL {\ displaystyle {\ mathcal {F} } = {\ mathcal {S}} ^ {\ mathbb {L}}}\ mathcal {F} = \ mathcal {S} ^ {\ mathbb {L}} .
  • Учитывая конфигурацию ω ∈ Ω и подмножество Λ ⊂ L {\ displaystyle \ Lambda \ subset \ mathbb {L}}\ Lambda \ subset \ mathbb {L} , ограничение ω на Λ равно ω Λ = (ω (t)) t ∈ Λ {\ displaystyle \ omega _ {\ Lambda} = (\ omega (t)) _ {t \ в \ Lambda}}\ omega_ \ Lambda = (\ omega (t)) _ {t \ in \ Lambda} . Если Λ 1 ∩ Λ 2 = ∅ {\ displaystyle \ Lambda _ {1} \ cap \ Lambda _ {2} = \ emptyset}\ Lambda_1 \ cap \ Lambda_2 = \ emptyset и Λ 1 ∪ Λ 2 = L { \ displaystyle \ Lambda _ {1} \ cup \ Lambda _ {2} = \ mathbb {L}}\ Lambda_1 \ cup \ Lambda_2 = \ mathbb {L} , затем конфигурация ω Λ 1 ω Λ 2 {\ displaystyle \ omega _ {\ Lambda _ {1}} \ omega _ {\ Lambda _ {2}}}\ omega _ {\ Lambda_1} \ omega _ {\ Lambda_2} - это конфигурация, ограничения на Λ 1 и Λ 2 равны ω Λ 1 {\ displaystyle \ omega _ {\ Lambda _ {1}}}\ omega _ {\ Lambda_1} и ω Λ 2 {\ displaystyle \ omega _ {\ Lambda _ {2}}}\ omega _ {\ Lambda_2} , соответственно.
  • Набор L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}{\ mathcal {L }} всех конечных подмножеств L {\ displaystyle \ mathbb { L}}\ mathbb {L} .
  • Для каждого подмножества Λ ⊂ L {\ displaystyle \ Lambda \ subset \ mathbb {L}}\ Lambda \ subset \ mathbb {L} , F Λ {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Lambda}}\ mathcal {F} _ \ Lambda - это σ-алгебра, порожденная семейством функций (σ (t)) t ∈ Λ {\ displaystyle (\ sigma (t)) _ {t \ in \ Лямбда}}(\ sigma (t)) _ {t \ in \ Lambda} , где σ (t) (ω) = ω (t) {\ displaystyle \ sigma (t) (\ omega) = \ omega (t)}\ sigma (t) (\ omega) = \ omega (t) . Объединение этих σ-алгебр как Λ {\ displaystyle \ Lambda}\ Lambda изменяется в пределах L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}{\ mathcal {L }} - это алгебра наборов цилиндров на решетке.
  • потенциал : Семейство Φ = (Φ A) A ∈ L {\ displaystyle \ Phi = (\ Phi _ {A}) _ {A \ in {\ mathcal {L}}}}\ Phi = (\ Phi_A) _ {A \ in \ mathcal {L}} функций Φ A : Ω → R такое, что
    1. для каждого A ∈ L, Φ A {\ displaystyle A \ in {\ mathcal {L}}, \ Phi _ {A}}A \ in \ mathcal {L }, \ Phi_A равно FA {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {A}}\ mathcal {F} _A -измеримый, что означает, что он зависит только от ограничения ω A {\ displaystyle \ omega _ {A}}\ omega _ {A} (и это заметно).
    2. Для всех Λ ∈ L {\ displaystyle \ Lambda \ in {\ mathcal {L}}}\ Lambda \ in \ mathcal {L} и ω ∈ Ω существует следующий ряд:
H Λ Φ (ω) = ∑ A ∈ L, A ∩ Λ ≠ ∅ Φ A (ω). {\ displaystyle H _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} (\ omega) = \ sum _ {A \ in {\ mathcal {L}}, A \ cap \ Lambda \ neq \ emptyset} \ Phi _ {A} ( \ omega).}H_ \ Lambda ^ \ Phi (\ omega) = \ sum_ {A \ in \ mathcal {L}, A \ cap \ Lambda \ neq \ emptyset} \ Phi_A (\ omega).

Мы интерпретируем Φ A как вклад в полную энергию (гамильтониан), связанный с взаимодействием между всеми точками конечного множества A. Тогда H Λ Φ ( ω) {\ displaystyle H _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} (\ omega)}{\ displaystyle H _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} (\ omega)} как вклад в общую энергию всех конечных множеств A, которые соответствуют Λ {\ displaystyle \ Lambda }\ Lambda . Обратите внимание, что полная энергия обычно бесконечна, но когда мы «локализуем» для каждого Λ {\ displaystyle \ Lambda}\ Lambda , она может быть конечной, как мы надеемся.

  • гамильтониан в Λ ∈ L {\ displaystyle \ Lambda \ in {\ mathcal {L}}}\ Lambda \ in \ mathcal {L} с границей условия ω ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ omega}}}\ bar \ omega , для потенциала Φ, определяется как
H Λ Φ (ω ∣ ω ¯) = H Λ Φ (ω Λ ω ¯ Λ с) {\ Displaystyle H _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} (\ omega \ mid {\ bar {\ omega}}) = H _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} \ left (\ omega _ {\ Lambda} {\ bar {\ omega}} _ {\ Lambda ^ {c}} \ right)}H_ \ Lambda ^ \ Phi (\ omega \ mid \ bar \ omega) = H_ \ Лямбда ^ \ Фи \ влево (\ omega_ \ Lambda \ bar \ omega _ {\ Lambda ^ c} \ right)
где Λ c = L ∖ Λ {\ displaystyle \ Lambda ^ {c } = \ mathbb {L} \ setminus \ Lambda}\ Lambda ^ c = \ mathbb {L } \ setminus \ Lambda .
  • функция распределения в Λ ∈ L {\ displaystyle \ Lambda \ in {\ mathcal {L} }}\ Lambda \ in \ mathcal {L} с граничными условиями ω ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ omega}}}\ bar \ omega и обратной температурой β>0 (для потенциала Φ и λ) определяется формулой
Z Λ Φ (ω ¯) = ∫ λ Λ (d ω) exp ⁡ (- β H Λ Φ (ω ∣ ω ¯)), {\ displaystyle Z _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} ({\ bar {\ omega}}) = \ int \ lambda ^ {\ Lambda} (\ mathrm {d} \ omega) \ exp (- \ beta H _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} ( \ omega \ mid {\ bar {\ omega}})),}Z_ \ Lambda ^ \ Phi (\ bar \ omega) = \ int \ lambda ^ \ Lambda (\ mathrm {d} \ omega) \ exp ( - \ beta H_ \ Lambda ^ \ Phi (\ omega \ mid \ bar \ omega)),
где
λ Λ (d ω) = ∏ t ∈ Λ λ (d ω (t)), {\ displaystyle \ lambda ^ {\ Lambda} (\ mathrm { d} \ omega) = \ prod _ {t \ in \ Lambda} \ lambda (\ mathrm {d} \ omega (t)),}\ lambda ^ \ Lambda (\ mathrm {d } \ omega) = \ prod_ {t \ in \ Lambda} \ lambda (\ m athrm {d} \ omega (t)),
- мера произведения
Потенциал Φ равен λ -допустимым, если Z Λ Φ (ω ¯) {\ displaystyle Z _ {\ Lambda} ^ {\ Phi} ({\ bar {\ omega}})}Z_ \ Lambda ^ \ Фи (\ bar \ omega) конечно для всех Λ ∈ L, ω ¯ ∈ Ω {\ displaystyle \ Lambda \ in {\ mathcal {L}}, {\ bar {\ omega}} \ in \ Omega}\ Lambda \ in \ mathcal {L}, \ bar \ omega \ in \ Omega и β>0.
A вероятностная мера μ на (Ω, F) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}(\Omega,\mathcal{F})- это мера Гиббса для λ -допустимый потенциал Φ, если он удовлетворяет уравнению Добрушина – Ланфорда – Рюэля (DLR)
∫ μ (d ω ¯) Z Λ Φ (ω ¯) - 1 ∫ λ Λ (d ω) exp ⁡ (- β ЧАС Λ Φ (ω ∣ ω ¯)) 1 A (ω Λ ω ¯ Λ с) = μ (A), {\ displaystyle \ int \ mu (\ mathrm {d} {\ bar {\ omega}}) Z_ {\ Lambda} ^ {\ Phi} ({\ bar {\ omega}}) ^ {- 1} \ int \ lambda ^ {\ Lambda} (\ mathrm {d} \ omega) \ exp (- \ beta H_ { \ Lambda} ^ {\ Phi} (\ omega \ mid {\ bar {\ omega}})) 1_ {A} (\ omega _ {\ Lambda} {\ bar {\ omega}} _ {\ Lambda ^ {c}}) = \ mu (A),}\ int \ mu (\ mathrm {d} \ bar \ omega) Z_ \ Lambda ^ \ Phi (\ bar \ omega) ^ {- 1} \ int \ lambda ^ \ Lambda (\ mathrm {d} \ omega) \ exp ( - \ beta H_ \ Lambda ^ \ Phi (\ omega \ mid \ bar \ omega)) 1_A (\ omega_ \ Lambda \ bar \ omega _ {\ Lambda ^ c}) = \ mu (A),
для всех A ∈ F {\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}A \ in \ mathcal {F} и Λ ∈ L {\ displaystyle \ Lambda \ in {\ mathcal {L}}}\ Lambda \ in \ mathcal {L} .

An пример

Чтобы помочь понять приведенные выше определения, вот соответствующие величины в важном примере модели Изинга с взаимодействиями ближайших соседей (константа связи J) и магнитным полем (h), на Z:

  • Решетка имеет вид просто L = Z d {\ displaystyle \ mathbb {L} = \ mathbf {Z} ^ {d}}\ mathbb {L} = \ mathbf {Z} ^ d .
  • Пространство с одним спином S = {−1, 1}.
  • Потенциал определяется как
Φ A (ω) = {- J ω (t 1) ω (t 2), если A = {t 1, t 2} с ‖ t 2 - t 1 ‖ 1 = 1 - час ω (t), если A = {t} 0, иначе {\ displaystyle \ Phi _ {A} (\ omega) = {\ begin {cases} -J \, \ omega (t_ { 1}) \ omega (t_ {2}) {\ text {if}} A = \ {t_ {1}, t_ {2} \} {\ text {with}} \ | t_ {2} -t_ { 1} \ | _ {1} = 1 \\ - h \, \ omega (t) {\ text {if}} A = \ {t \} \\ 0 {\ text {else}} \ end {case }}}\ Phi_A (\ omega) = \ begin {cases} -J \, \ omega (t_1) \ omega (t_2) \ text {if} A = \ {t_1, t_2 \} \ text {with} \ | t_2-t_1 \ | _1 = 1 \\ -h \, \ omega (t) \ text {if} A = \ {t \} \\ 0 \ text {в противном случае} \ end {cases}

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-05-21 08:00:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте