Геометротермодинамика

редактировать

В физике геометротермодинамика (GTD) - это формализм, разработанный в 2007 году Эрнандо Кеведо для описания свойств термодинамические системы в терминах концепций дифференциальной геометрии.

Рассмотрим термодинамическую систему в рамках классической равновесной термодинамики. Состояния термодинамического равновесия рассматриваются как точки абстрактного равновесного пространства, в котором риманова метрика может быть введена несколькими способами. В частности, можно ввести метрики Гессе, такие как метрика Фишера, метрика Вайнхольда, метрика Руппайнера и другие, компоненты которых вычисляются как гессиан определенного термодинамического потенциала.

. Другая возможность состоит во введении показателей, которые не зависят от термодинамического потенциала, свойства, которое присуще всем термодинамическим системам в классической термодинамике. Поскольку изменение термодинамического потенциала эквивалентно преобразованию Лежандра, а преобразования Лежандра не действуют в равновесном пространстве, необходимо ввести вспомогательное пространство для правильной обработки преобразований Лежандра. Это так называемое термодинамическое фазовое пространство. Если фазовое пространство снабжено инвариантной по Лежандру римановой метрикой, можно ввести гладкое отображение, которое индуцирует термодинамическую метрику в равновесном многообразии. Затем термодинамическую метрику можно использовать с разными термодинамическими потенциалами без изменения геометрических свойств равновесного многообразия. Ожидается, что геометрические свойства равновесного многообразия связаны с макроскопическими физическими свойствами.

Детали этого отношения можно резюмировать в трех основных моментах:

Кривизна - это мера термодинамического взаимодействия.
Особенности кривизны соответствуют фазовым переходам кривизны.
Термодинамические геодезические соответствуют квазистатическим процессам.

Геометрические аспекты

Главный компонент GTD - это (2n + 1) -мерное многообразие $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}} }$ ${\ mathcal {T}}$ с координатами $ZA = {Φ, E a, I a} {\ displaystyle Z ^ {A} = \ {\ Phi, E ^ {a}, I ^ {a} \} }$ $Z ^ {A} = \ {\ Phi, E ^ {a}, I ^ {a} \}$ , где $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ - произвольный термодинамический потенциал, $E a {\ displaystyle E ^ {a}}$ $E ^ {a}$ , $a = 1, 2,…, n {\ displaystyle a = 1,2, \ ldots, n}$ $a = 1,2, \ ldots, n$ , являются расширенными переменными, и $I a {\ displaystyle I ^ {a}}$ $I ^ {a }$ интенсивные переменные. Также можно каноническим образом ввести фундаментальную одну форму $Θ = d Φ - δ ab I ad E b {\ displaystyle \ Theta = d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}}$ $\ Theta = d \ Phi - \ delta _ {{ab}} I ^ {a} dE ^ {b}$ (суммирование по повторяющимся индексам) с $δ ab = diag (+ 1,…, + 1) {\ displaystyle \ delta _ {ab} = {\ rm {diag }} (+ 1, \ ldots, + 1)}$ $\ delta _ {{ab}} = {{\ rm {diag}}} (+ 1, \ ldots, + 1)$ , что удовлетворяет условию $Θ ∧ (d Θ) n ≠ 0 {\ displaystyle \ Theta \ wedge (d \ Theta) ^ { n} \ neq 0}$ $\ Theta \ wedge (d \ Theta) ^ {n} \ neq 0$ , где $n {\ displaystyle n}$ $n$ - количество термодинамических степеней свободы системы, инвариантно относительно преобразований Лежандра

{ZA} ⟶ {Z ~ A} = {Φ ~, E ~ a, I ~ a}, Φ = Φ ~ - δ kl E ~ k I ~ l, E i = - I ~ i, E j = E ~ J, I I = E ~ I, I J = I ~ J, {\ Displaystyle \ {Z ^ {A} \} \ longrightarrow \ {{\ widetilde {Z}} ^ {A} \} = \ { {\ tilde {\ Phi}}, {\ tilde {E}} ^ {a}, {\ tilde {I}} ^ {a} \} \, \ quad \ Phi = {\ tilde {\ Phi}} - \ delta _ {kl} {\ tilde {E}} ^ {k} {\ tilde {I}} ^ {l}, \ quad E ^ {i} = - {\ tilde {I}} ^ {i}, \ quad E ^ {j} = {\ tilde {E}} ^ {j}, \ quad I ^ {i} = {\ tilde {E}} ^ {i}, \ quad I ^ {j} = {\ tilde {I}} ^ {j} \,}

\ {Z ^ {A} \} \ longrightarrow \ {\ widetilde {Z} ^ {A} \} = \ {{\ tilde \ Phi}, {\ tilde E} ^ {a}, {\ tilde I} ^ {a} \} \, \ quad \ Phi = {\ tilde \ Phi} - \ delta _ {{kl} } {\ tilde E} ^ {k} {\ tilde I} ^ {l}, \ quad E ^ {i} = - {\ tilde I} ^ {{i}}, \ quad E ^ {j} = { \ tilde E} ^ {j}, \ quad I ^ {{i}} = {\ tilde E} ^ {i}, \ quad I ^ {j} = {\ tilde I} ^ {j} \,

где $я ∪ j {\ displaystyle i \ cup j}$ $i \ cup j$ - любое непересекающееся разложение набора индексов ${1,…, n} {\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}$ $\ {1, \ ldots, n \}$ и $k, l = 1,…, i {\ displaystyle k, l = 1, \ ldots, i}$ $k, l = 1, \ ldots, i$ . В частности, для $i = {1,…, n} {\ displaystyle i = \ {1, \ ldots, n \}}$ $i = \ {1, \ ldots, n \}$ и $i = ∅ {\ displaystyle i = \ emptyset}$ $i = \ emptyset$ получаем полное преобразование Лежандра и тождество соответственно. Также предполагается, что в $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal {T}}$ существует метрика $G {\ displaystyle G}$ $G$ , которая также является инвариантной относительно преобразований Лежандра. Триада $(T, Θ, G) {\ displaystyle ({\ mathcal {T}}, \ Theta, G)}$ $({\ mathcal {T}}, \ Theta, G)$ определяет риманово контактное многообразие, которое называется термодинамическое фазовое пространство (фазовое многообразие). Пространство состояний термодинамического равновесия (равновесное многообразие) представляет собой n-мерное риманово подмногообразие $E ⊂ T {\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ subset {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal {E}} \ subset {\ mathcal {T}}$ , вызванное гладкой картой $φ: E → T {\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {E}} \ rightarrow {\ mathcal {T}}}$ $\ varphi: {\ mathcal {E }} \ rightarrow {\ mathcal {T}}$ , т.е. $φ: {E a} ↦ {Φ, E a, I a} {\ displaystyle \ varphi: \ {E ^ {a} \} \ mapsto \ {\ Phi, E ^ {a}, I ^ {a } \}}$ $\ varphi: \ {E ^ {a} \} \ mapsto \ {\ Phi, E ^ {a}, I ^ {a} \}$ , где $Φ = Φ (E a) {\ displaystyle \ Phi = \ Phi (E ^ {a})}$ $\ Phi = \ Phi (E ^ { a})$ и $I a = I a (E a) {\ displaystyle I ^ {a} = I ^ {a} (E ^ {a})}$ $I^{a}=I^{a}(E^{a})$ , такое, что $φ ∗ (Θ) = φ ∗ ( d Φ - δ ab I ad E b) знак равно 0 {\ displaystyle \ varphi ^ {*} (\ Theta) = \ varphi ^ {*} (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) = 0}$ $\ varphi ^ {*} (\ Theta) = \ varphi ^ {*} (d \ Phi - \ delta _ {{ab}} I ^ {{a}} dE ^ {{b}}) = 0$ , где $φ ∗ {\ displaystyle \ varphi ^ {*}}$ $\ varphi ^ *$ - это откат $φ {\ displaystyle \ varphi }$ $\ varphi$ . Многообразие $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ естественным образом снабжено римановой метрикой $g = φ ∗ (G) {\ displaystyle g = \ varphi ^ {* } (G)}$ $g = \ varphi ^ {*} (G)$ . Цель GTD - продемонстрировать, что геометрические свойства $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ связаны с термодинамическими свойствами системы с фундаментальным термодинамическим уравнением $Φ Знак равно Φ (E a) {\ Displaystyle \ Phi = \ Phi (E ^ {a})}$ $\ Phi = \ Phi (E ^ { a})$ . Условие инвариантности относительно тотальных преобразований Лежандра приводит к метрике

GI = (d Φ - δ ab I ad E b) 2 + Λ (ξ ab E a I b) (δ cdd E cd I d), δ ab = diag (1,…, 1) {\ displaystyle G ^ {I} = (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (\ xi _ {ab} E ^ {a} I ^ {b}) \ left (\ delta _ {cd} dE ^ {c} dI ^ {d} \ right) \, \ quad \ delta _ {ab} = {\ rm {diag}} (1, \ ldots, 1)}

G ^ {I} = (d \ Phi - \ delta _ {{ab}} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (\ xi _ {{ab}} E ^ { a} I ^ {b}) \ left (\ delta _ {{cd}} dE ^ {c} dI ^ {d} \ right) \, \ quad \ delta _ {{ab}} = {{\ rm { diag}}} (1, \ ldots, 1)

GII = (d Φ - δ ab I ad E b) 2 + Λ (ξ ab E a I b) (η cdd E cd I d), η ab = diag (- 1, 1,…, 1) {\ displaystyle G ^ {II} = (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ { 2} + \ Lambda \, (\ xi _ {ab} E ^ {a} I ^ {b}) \ left (\ eta _ {cd} dE ^ {c} dI ^ {d} \ right) \, \ quad \ eta _ {ab} = {\ rm {diag}} (- 1,1, \ ldots, 1)}

G ^ {{II}} = (d \ Phi - \ delta _ {{ab}} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (\ xi _ {{ab}} E ^ {a} I ^ {b}) \ left (\ eta _ {{cd}} dE ^ {c} dI ^ {d} \ right) \, \ quad \ eta _ {{ab}} = {{\ rm {diag}}} (- 1,1, \ ldots, 1)

где $ξ ab {\ displaystyle \ xi _ {ab}}$ $\ xi _ {{ab}}$ - это постоянная диагональная матрица, которая может быть выражена в терминах $δ ab {\ displaystyle \ delta _ {ab}}$ $\ дельта _ {ab}$ и $η ab {\ displaystyle \ eta _ {ab} }$ $\ eta _ {{ab}}$ и $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ - произвольная инвариантная функция Лежандра от $ZA { \ Displaystyle Z ^ {A}}$ $Z ^ {A}$ . Метрики $GI {\ displaystyle G ^ {I}}$ $G ^ {I}$ и $GII {\ displaystyle G ^ {II}}$ $G ^ {{II}}$ использовались для описания термодинамических систем с первых и фазовые переходы второго рода соответственно. Наиболее общая метрика, инвариантная относительно частичных преобразований Лежандра, есть

GIII = (d Φ - δ ab I ad E b) 2 + Λ (E a ​​I a) 2 k + 1 (d E ad I a), E a = δ ab E b, I a = δ ab I b. {\ displaystyle G ^ {III} = (d \ Phi - \ delta _ {ab} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (E_ {a} I_ {a}) ^ {2k + 1} \ left (dE ^ {a} dI ^ {a} \ right) \, \ quad E_ {a} = \ delta _ {ab} E ^ {b} \, \ quad I_ {a} = \ delta _ {ab} I ^ {b} \.}

G ^ {{III} } = (d \ Phi - \ delta _ {{ab}} I ^ {a} dE ^ {b}) ^ {2} + \ Lambda \, (E_ {a} I_ {a}) ^ {{2k + 1}} \ left (dE ^ {a} dI ^ {a} \ right) \, \ quad E_ {a} = \ delta _ {{ab}} E ^ {b} \, \ quad I_ {a} = \ delta _ {{ab}} I ^ {b} \.

Компоненты соответствующей метрики для равновесного многообразия $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${{\ mathcal E}}$ могут вычисляется как

gab = ∂ ZA ∂ E a ∂ ZB ∂ E b GAB. {\ displaystyle g_ {ab} = {\ frac {\ partial Z ^ {A}} {\ partial E ^ {a}}} {\ frac {\ partial Z ^ {B}} {\ partial E ^ {b} }} G_ {AB} \.}

g _ {{ab}} = {\ frac {\ partial Z ^ {A}} {\ partial E ^ {a}}} {\ frac {\ partial Z ^ {B}} {\ partial E ^ {b}}} G _ {{AB}} \.

Приложения

GTD применялся для описания лабораторных систем, таких как идеальный газ, газ Ван-дер-Ваальса, модель Изинга и т. Д., Более экзотических систем, таких как черные дыры в различных теориях гравитации в контексте релятивистской космологии и для описания химических реакций.

Ссылки

^Кеведо, Эрнандо (2007). «Геометротермодинамика». J. Math. Phys. 48 : 013506. arXiv : физика / 0604164. Bibcode : 2007JMP.... 48a3506Q. doi : 10.1063 / 1.2409524.
^Каллен, Герберт Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатистику. John Wiley Sons Inc. ISBN 0-471-86256-8.
^Арнольд В.И. (1989). Математические методы классической механики. Спрингер Верлаг. ISBN 0-387-96890-3.
^Quevedo, H.; Sanchez, A.; Taj, S.; Васкес, А. (2011). «Фазовые переходы в геометротермодинамике». Gen. Rel. Грав. 43 : 1153. arXiv : 1010.5599. Bibcode : 2011GReGr..43.1153Q. doi : 10.1007 / s10714-010-0996-2.
^Авилес, А. (2012). «Расширение обобщенной модели газа Чаплыгина с помощью геометротермодинамики». Phys. Ред. D. 86 : 063508. arXiv : 1203.4637. Bibcode : 2012PhRvD..86f3508A. doi : 10.1103 / PhysRevD.86.063508.
^Тапиас, Д. (2013). «Геометрическое описание химических реакций». arXiv : 1301.0262. Bibcode : 2013arXiv1301.0262Q. Для цитирования журнала требуется |journal=()