Среднее геометрическое-гармоническое

В математике, геометрическое-гармоническое среднее M (x, y) двух положительных вещественных чисел x и y определяется следующим образом: мы формируем среднее геометрическое для g 0 = x и h 0 = y и назовите его g 1, т.е. g 1 - это квадратный корень из xy. Мы также формируем гармоническое среднее x и y и называем его h 1, то есть h 1 является обратной величиной среднее арифметическое обратных величин x и y. Это можно делать последовательно (в любом порядке) или одновременно.

Теперь мы можем повторить эту операцию с g 1 вместо x и h 1 вместо y. Таким образом определяются две последовательности (gn) и (h n):

$gn\; +\; 1\; =\; gnhn\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\_\; \{n\}\; h\_\; \{n\}\}\}\}$

и

$hn\; +\; 1\; =\; 2\; 1\; gn\; +\; 1\; hn\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\_\; \{n\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{n\}\}\}\}\}\}$

Обе эти последовательности сходятся к одному и тому же числу, которое мы называем геометрическое – гармоническое среднее M (x, y) x и y. Среднее геометрическое гармоническое также обозначается как среднее геометрическое гармоническое . (см. Wolfram MathWorld ниже.)

Существование предела может быть доказано с помощью теоремы Больцано – Вейерштрасса способом, почти идентичным доказательству существования среднее арифметическое и геометрическое.

Содержание

• 1 Свойства
• 2 Неравенства
• 3 См. также
• 4 Внешние ссылки

Свойства

M (x, y) - число между геометрическое и гармоническое среднее значений x и y; в частности, он находится между x и y. M (x, y) также однородный, т.е. если r>0, то M (rx, ry) = r M (x, y).

Если AG (x, y) - это среднее арифметико-геометрическое, то мы также имеем

$M\; (x,\; y)\; =\; 1\; AG\; (1\; x,\; 1\; y)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; M\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{AG\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\})\}\}\}$

Неравенства

У нас есть следующее неравенство, включающее пифагоровы средние {H, G, A} и повторяющиеся пифагоровы средние {HG, HA, GA}:

$min\; (x,\; y)\; \le \; H\; (x,\; y)\; \le \; HG\; (\; Икс,\; Y)\; \le \; Г\; (Икс,\; Y)\; \le \; GA\; (Икс,\; Y)\; \le \; A\; (Икс,\; Y)\; \le \; Макс\; (Икс,\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; мин\; (х,\; у)\; \backslash \; Leq\; Н\; (х,\; у)\; \backslash \; leq\; HG\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; G\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; GA\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; A\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; (x,\; y)\}$

где повторение пифагорова означает были отождествлены с их частями {H, G, A} в прогрессивном порядке:

• H (x, y) - среднее гармоническое,
• HG (x, y) - среднее гармонико-геометрическое,
• G (x, y) = HA (x, y) - среднее геометрическое (которое также является средним гармоническим - арифметическим),
• GA (x, y) - геометрическое - Среднее арифметическое,
• A (x, y) - это среднее арифметическое.

См. также

• Среднее арифметическое и геометрическое
• Среднее арифметическое и гармоническое
• Среднее

Ext ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Гармонико-геометрическое среднее». MathWorld.