Географическое расстояние

Расстояние, измеренное вдоль поверхности земли

Географическое расстояние - это расстояние, измеренное вдоль поверхность земли. Формулы в этой статье рассчитывают расстояния между точками, которые определяются географическими координатами в терминах широты и долготы. Это расстояние является элементом решения второй (обратной) геодезической задачи.

• 1 Введение
  • 1.1 Номенклатура
  • 1.2 Особенности и неоднородность широты / долготы
• 2 Формулы для плоской поверхности
  • 2.1 Сферическая Земля в проекции на плоскость
  • 2.2 Эллипсоидальная Земля в проекции на плоскость
  • 2.3 Формула плоской Земли в полярных координатах
• 3 Формулы сферической поверхности
  • 3.1 Расстояние до туннеля
• 4 Эллипсоид- формулы поверхности
  • 4.1 Формула Ламберта для длинных линий
  • 4.2 Метод Боуринга для коротких линий
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Расчет расстояния между географическими координатами основывается на некотором уровне абстракции; он не дает точного расстояния, что недостижимо, если попытаться учесть все неровности на поверхности земли. Общие абстракции для поверхности между двумя географическими точками:

• Плоская поверхность;
• Сферическая поверхность;
• Эллипсоидальная поверхность.

Все приведенные выше абстракции игнорируют изменения высоты. Расчет расстояний с учетом изменения высоты относительно идеализированной поверхности в этой статье не обсуждается.

Номенклатура

Расстояние, $D,\; \{\backslash \; displaystyle\; D,\; \backslash ,\; \backslash !\}$вычисляется между двумя точками, $P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$и $P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$. Географические координаты двух точек в виде пар (широта, долгота): $(\varphi \; 1,\; \lambda \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; phi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\})\; \backslash ,\; \backslash !\}$и $(\varphi \; 2,\; \lambda \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; phi\; \_\; \{2\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}),\; \backslash ,\; \backslash !\}$соответственно. Какая из двух точек обозначена как $P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$, не имеет значения для расчета расстояния.

Координаты широты и долготы на картах обычно выражаются в градусах. В приведенных ниже формулах одно или несколько значений должны быть выражены в указанных единицах, чтобы получить правильный результат. Если географические координаты используются в качестве аргумента тригонометрической функции, значения могут быть выражены в любых угловых единицах, совместимых с методом, используемым для определения значения тригонометрической функции. Многие электронные калькуляторы позволяют вычислять тригонометрические функции либо в градусах, либо в радианах. Режим калькулятора должен быть совместим с единицами измерения геометрических координат.

Различия в широте и долготе помечаются и рассчитываются следующим образом:

$\Delta \; \varphi \; =\; \varphi \; 2\; -\; \varphi \; 1;\; \Delta \; \lambda \; =\; \lambda \; 2\; -\; \lambda \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\};\; \backslash \backslash \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Неважно, будет ли результат положительным или отрицательным при использовании в формулах ниже.

«Средняя широта» обозначается и рассчитывается следующим образом:

$\varphi \; m\; =\; \varphi \; 1\; +\; \varphi \; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\}\; \{2\}\}.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Colatitude обозначается и рассчитывается следующим образом:

Для широт, выраженных в радианах:

$\theta \; =\; \pi \; 2\; -\; \varphi ;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; phi;\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Для широт, выраженных в градусах:

$\theta \; =\; 90\; \circ \; -\; \varphi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; 90\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; -\; \backslash \; phi.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Если не указано иное, радиус Земли для вычислений ниже:

$R\; \{\; \backslash \; displaystyle\; R\; \backslash ,\; \backslash !\}$= 6 371,009 километров = 3958,761 статутных миль = 3440,069 морских миль.

$D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash ,\}\; \backslash !\}$= Расстояние между двумя точками, измеренное по поверхности земли и в тех же единицах, что и значение, используемое для радиуса, если не указано иное.

Особенности и неоднородность широты / долготы

Долгота имеет сингулярностей на полюсах (долгота не определена) и разрыв на меридиане ± 180 °. Кроме того, плоские проекции кругов постоянной широты сильно изогнуты вблизи полюсов. Следовательно, приведенные выше уравнения для дельты широты / долготы ($\Delta \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; \backslash !\}$, $\Delta \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda\; \backslash !\}$) и средняя широта ($\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\; \backslash !\}$) могут не дать ожидаемого ответа для позиций вблизи полюсов или меридиана ± 180 °. Рассмотрим, например, значение $\Delta \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda\; \backslash !\}$(«восточное смещение»), когда $\lambda \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash !\}$и $\lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash !\}$находятся по обе стороны от меридиана ± 180 ° или значения $\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\; \backslash !\}$(«средняя широта») для двух позиций ($\varphi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; \backslash !\}$Знак равно 89 °, $\lambda \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash !\}$= 45 °) и ($\varphi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\; \backslash !\}$= 89 °, $\lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash !\}$= −135 °).

Если расчет, основанный на широте / долготе, должен быть действительным для всех положений Земли, следует проверить правильность обработки неоднородности и полюсов. Другое решение - использовать n-вектор вместо широты / долготы, поскольку это представление не имеет разрывов или сингулярностей.

Плоское приближение для поверхности Земли может быть полезно на небольших расстояниях. Точность вычислений расстояния с использованием этого приближения становится все более неточной, поскольку:

• расстояние между точками увеличивается;
• точка становится ближе к географическому полюсу.

Кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости прямая линия. Теорема Пифагора используется для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Даже на малых расстояниях точность вычислений географических расстояний, предполагающих наличие плоской Земли, зависит от метода, с помощью которого координаты широты и долготы проецировались на плоскость. Проекция координат широты и долготы на плоскость - это область картографии.

Формулы, представленные в этом разделе, обеспечивают разную степень точности.

Сферическая Земля, спроецированная на плоскость

Эта формула учитывает изменение расстояния между меридианами в зависимости от широты:

$D\; =\; R\; (\Delta \; \varphi )\; 2\; +\; (cos\; \; (\varphi \; m)\; \Delta \; \lambda )\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; =\; R\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; Delta\; \backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{m\})\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\}\},\; \}$

где:

$\Delta \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash !\}$и $\Delta \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; \backslash !\}$в радианах;

$\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$должно быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения $cos\; \; (\varphi \; м).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{m\}).\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Чтобы преобразовать широту или долготу в радианы, используйте

$1\; \circ \; =\; (\pi \; /\; 180)\; r\; a\; d\; i\; a\; n\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; (\backslash \; pi\; /\; 180)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{radians\}.\}$

Это приближение очень быстрое и дает довольно точный результат для малых расстояний. Кроме того, при упорядочивании местоположений по расстоянию, например, в запросе к базе данных, гораздо быстрее упорядочить их по квадрату расстояния, что устраняет необходимость вычисления квадратного корня.

Эллипсоидальная Земля, спроецированная на плоскость

FCC предписывает следующие формулы для расстояний, не превышающих 475 километров (295 миль):

$D\; =\; (K\; 1\; \Delta \; \varphi )\; 2\; +\; (К\; 2\; \Delta \; \lambda )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(K\_\; \{1\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\; +\; (K\_\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\; \}\},\}$

где

$D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash ,\; \backslash !\}$= Расстояние в километрах;

$\Delta \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash !\}$и $\Delta \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; \backslash !\}$в градусах;

$\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\; \backslash ,\; \backslash \; !\}$должно быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения $cos\; \; (\varphi \; m);\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; (\backslash \; фи\; \_\; \{м\});\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$К\; 1\; =\; 111,13209\; -\; 0,56605\; соз\; \; (2\; \varphi \; м)\; +\; 0,00120\; соз\; \; (4\; \varphi \; м);\; K\; 2\; =\; 111,41513\; cos\; \; (\varphi \; м)\; -\; 0,09455\; cos\; \; (3\; \varphi \; м)\; +\; 0,00012\; cos\; \; (5\; \varphi \; м).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; K\_\; \{1\}\; =\; 111.13209-0.56605\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\})\; +\; 0,00120\; \backslash \; cos\; (4\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\});\; \backslash \backslash \; K\_\; \{2\}\; =\; 111,41513\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{m\})\; -\; 0,09455\; \backslash \; cos\; (3\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\})\; +\; 0,00012\; \backslash \; cos\; (5\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Где $K\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\}$и $K\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\}$в километрах на градус.. Может быть интересно отметить, что:

$K\; 1\; =\; M\; \pi \; 180\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\; =\; M\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{180\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$= километров на градус широты;

$К\; 2\; =\; соз\; \; (\varphi \; m)\; N\; \pi \; 180\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{m\})\; N\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{180\}\; \}\; \backslash ,\; \backslash !\}$= километров на градус разницы долготы;

где $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash ,\; \backslash !\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash ,\; \backslash !\}$- эридиональ м и его перпендикуляр, или «n нормальный», радиусы кривизны (выражения в формуле FCC являются производными от биномиального ряда формы расширения $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash ,\; \backslash !\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash ,\; \backslash !\}$, установить на эллипсоид Clarke 1866 ).

Формула плоской Земли в полярных координатах

$D\; =\; R\; \theta \; 1\; 2\; +\; \theta \; 2\; 2\; -\; 2\; \theta \; 1\; \theta \; 2\; соз\; \; (\Delta \; \lambda ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; =\; R\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{+\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathbf\; \{-\}\; \backslash ;\; 2\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Delta\; \backslash \; lambda)\}\},\}$

где значение colatitude s в радианах. Для широты, измеряемой в градусах, широта в радианах может быть вычислена следующим образом: $\theta \; =\; \pi \; 180\; (90\; \circ \; -\; \varphi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{180\}\}\; (90\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; -\; \backslash \; phi).\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Если есть желая принять возможную ошибку 0,5%, можно использовать формулы сферической тригонометрии на сфере, которая наилучшим образом приближается к поверхности земли.

Кратчайшее расстояние по поверхности сферы между двумя точками на поверхности - по большому кругу, который содержит две точки.

В статье расстояние по большому кругу дается формула для расчета расстояния по большому кругу на сфере размером с Землю. В этой статье есть пример расчета.

Расстояние туннеля

Туннель между точками на Земле определяется линией, проходящей через трехмерное пространство между интересующими точками. Длину хорды большого круга для соответствующей единичной сферы можно вычислить следующим образом:

$\Delta \; X\; =\; cos\; \; (\varphi \; 2)\; cos\; \; (\lambda \; 2)\; -\; cos\; \; (\varphi \; 1)\; cos\; \; (\lambda \; 1);\; \Delta \; Y\; =\; cos\; \; (\varphi \; 2)\; sin\; \; (\lambda \; 2)\; -\; cos\; \; (\varphi \; 1)\; sin\; \; (\lambda \; 1);\; \Delta \; Z\; =\; sin\; \; (\varphi \; 2)\; -\; sin\; \; (\varphi \; 1);\; С\; h\; =\; (\Delta \; X)\; 2\; +\; (\Delta \; Y)\; 2\; +\; (\Delta \; Z)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; \{X\}\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{2\})\; \backslash \; cos\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{2\})\; -\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; cos\; (\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\});\; \backslash \backslash \; \backslash \; Delta\; \{Y\}\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{2\})\; \backslash \; sin\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{2\})\; -\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; sin\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\});\; \backslash \backslash \; \backslash \; Delta\; \{Z\}\; =\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi\; \_\; \{2\})\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi\; \_\; \{1\});\; \backslash \backslash \; C\_\; \{h\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; Delta\; \{X\})\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; Delta\; \{Y\})\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; Delta\; \{Z\})\; ^\; \{2\}\}\}.\; \backslash \; End\; \{выравнивается\}\}\}$

туннельное расстояние между точками на поверхности сферической Земли составляет $D\; =\; RC\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; RC\_\; \{h\}\}$. Для коротких расстояний ($D\; \ll \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; ll\; R\}$) это занижает расстояние по большому кругу на $D\; (D\; /\; R)\; 2/24\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (\; D\; /\; R)\; ^\; \{2\}\; /\; 24\}$.

Геодезическая на сплюснутом эллипсоиде

Эллипсоид аппроксимирует поверхность Земли намного лучше, чем сфера или плоская поверхность. Кратчайшее расстояние по поверхности эллипсоида между двумя точками на поверхности - по геодезической . Геодезические следуют более сложными путями, чем большие круги, и, в частности, они обычно не возвращаются на свои исходные позиции после одного оборота земли. Это показано на рисунке справа, где f принято равным 1/50, чтобы усилить эффект. Нахождение геодезической между двумя точками на Земле, так называемая обратная геодезическая задача, была в центре внимания многих математиков и геодезистов в течение 18 и 19 веков с большим вкладом Клеро, Лежандр, Бессель и Гельмерт. Рапп дает хорошее резюме этой работы.

Методы вычисления геодезического расстояния широко доступны в географических информационных системах, библиотеках программного обеспечения, автономных утилитах и ​​онлайн-инструментах. Наиболее широко используется алгоритм Винсенти, который использует последовательность с точностью до третьего порядка сглаживания эллипсоида, то есть около 0,5 мм; однако алгоритм не может сходиться для точек, которые почти противоположны. (Подробнее см. Формулы Винсенти.) Этот дефект исправлен в алгоритме, приведенном Карни, который использует ряды с точностью до шестого порядка сглаживания. В результате получается алгоритм, который имеет полную двойную точность и сходится для произвольных пар точек на Земле. Этот алгоритм реализован в GeographicLib.

Точные методы, указанные выше, применимы при выполнении вычислений на компьютере. Они предназначены для обеспечения миллиметровой точности на линиях любой длины; можно использовать более простые формулы, если не требуется точность до миллиметра, или если требуется точность до миллиметра, но линия короткая. Рапп, гл. 6, описывает метод Пюссана, метод средних широт Гаусса и метод Боуринга.

Формула Ламберта для длинных линий

Формулы Ламберта дают точность порядка 10 метров на тысячи километров. Сначала преобразуйте широту $\varphi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\}$, $\varphi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\}$двух точек в пониженные широты $\beta \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\}$, $\beta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{2\}\}$

$загар\; \; \beta \; =\; (1\; -\; f)\; загар\; \; \varphi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \backslash \; beta\; =\; (1-f)\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi,\}$

, где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- это сплющивание. Затем вычислите центральный угол $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$в радианах между двумя точками $(\beta \; 1,\; \lambda \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; beta\; \_\; \{\; 1\},\; \backslash ;\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\})\}$и $(\beta \; 2,\; \lambda \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; beta\; \_\; \{2\},\; \backslash ;\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\})\; \}$на сфере с использованием метода расстояния по Большому кругу (закон косинусов или формула гаверсинуса ) с долготами $\lambda \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash ;\}$и $\lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash ;\}$совпадают на сфере с на сфероиде.

$п\; знак\; равно\; \beta \; 1\; +\; \beta \; 2\; 2\; Q\; =\; \beta \; 2\; -\; \beta \; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; qquad\; Q\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\}\; \{2\}\}\}$

$X\; =\; (\sigma \; -\; sin\; \; \sigma )\; sin\; 2\; \; P\; cos\; 2\; \; Q\; cos\; 2\; \; \sigma \; 2\; Y\; =\; (\sigma \; +\; грех\; \; \sigma )\; соз\; 2\; \; п\; грех\; 2\; \; Q\; грех\; 2\; \; \sigma \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; =\; (\backslash \; sigma\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; sigma)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; P\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\; \}\; Q\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; Y\; =\; (\backslash \; sigma\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; sigma)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; P\; \backslash \; грех\; ^\; \{2\}\; Q\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{2\}\}\}\}\}$

$расстояние\; =\; а\; (\sigma \; -\; f\; 2\; (X\; +\; Y))\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathrm\; \{distance\}\; =\; a\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; sigma\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{f\}\; \{2\}\}\; (X\; +\; Y)\; \{\backslash \; bigr)\}\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- экваториальный радиус выбранного сфероида.

На сфероиде GRS 80 формула Ламберта отклонена на

0 север 0 запад до 40 север 120 запад, 12,6 м

0N 0W до 40N 60W, 6,6 метров

40N 0W до 40N 60W, 0,85 метра

Метод Боуринга для коротких линий

Bowring отображает точки на сферу радиуса R ′, с широтой и долготой, представленными как φ ′ и λ ′. Определим

$A\; =\; 1\; +\; e\; \prime \; 2\; cos\; 4\; \; \varphi \; 1,\; B\; =\; 1\; +\; e\; \prime \; 2\; cos\; 2\; \; \varphi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; e\; \text{'}^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\}\},\; \backslash \; quad\; B\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; e\; \text{'}^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\}\},\}$

где второй Квадрат эксцентриситета равен

$e\; \prime \; 2\; =\; a\; 2\; -\; b\; 2\; b\; 2\; =\; f\; (2\; -\; f)\; (1\; -\; f)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; \text{'}^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (2-f)\}\; \{(1-\; f)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Сферический радиус равен

$R\; \prime \; =\; 1\; +\; e\; \prime \; 2\; B\; 2\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; e\text{'}\; ^\; \{2\}\}\}\; \{B\; ^\; \{2\}\}\}\; a.\}$

(гауссова кривизна эллипсоида при φ 1 равно 1 / R ′.) Сферические координаты задаются как

$tan\; tan\; \varphi \; 1\; \prime \; =\; tan\; tan\; \varphi \; B,\; ∆\; \varphi \; \prime \; =\; ∆\; \varphi \; B\; [1\; +\; 3\; e\; \prime \; 2\; 4\; В\; 2\; (\Delta \; \varphi )\; грех\; \; (2\; \varphi \; 1\; +\; 2\; 3\; \Delta \; \varphi )],\; \Delta \; \lambda \; \prime \; =\; A\; \Delta \; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; \text{'}=\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; \backslash \; phi\}\; \{B\}\},\; \backslash \backslash \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; phi\}\; \{B\}\}\; \{\backslash \; biggl\; [\}\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3e\text{'}\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{4B\; ^\; \{2\}\}\}\; (\backslash \; Delta\; \backslash \; phi)\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi)\; \{\backslash \; biggr]\},\; \backslash \; \backslash \backslash \; Дельта\; \backslash \; лямбда\; \text{'}=\; А\; \backslash \; Дельта\; \backslash \; лямбда,\; \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

где $\Delta \; \varphi \; =\; \varphi \; 2\; -\; \varphi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\}$, $\Delta \; \varphi \; \prime \; =\; \varphi \; 2\; \prime \; -\; \varphi \; 1\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; \text{'}=\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\text{'}\; -\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; \text{'}\}$, $\Delta \; \lambda \; знак\; равно\; \lambda \; 2\; -\; \lambda \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}$, $\Delta \; \lambda \; \prime \; =\; \lambda \; 2\; \prime \; -\; \lambda \; 1\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; lambda\; \text{'}=\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\text{'}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \text{'}\}$. Результирующая проблема на сфере может быть решена с использованием методов навигации по большому кругу для получения приближений для сфероидального расстояния и пеленга. Подробные формулы даны Раппом, §6.5 и Боурингом.

• Радиус Земли
• Сферическая Земля
• Расстояние по Большому кругу
• Навигация по Большому кругу
• Формулы Винсенти
• Дуга меридиана

• онлайн-геодезический калькулятор (на основе GeographicLib).
• онлайн-геодезическая библиография.