Обобщенный индекс энтропии

редактировать
ЮАР Неравенство: Ge нерализованная мера энтропии

. Обобщенный индекс энтропии был предложен в качестве меры неравенства доходов в популяции. Он выводится из теории информации как мера избыточности данных. В теории информации показатель избыточности может быть интерпретирован как неслучайность или сжатие данных ; таким образом, эта интерпретация также применима к этому индексу. В дополнительной интерпретации индекса используется биоразнообразие, поскольку энтропия также была предложена в качестве меры разнообразия.

Формула

Формула общей энтропии для реальных значений α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha равно:

GE (α) = {1 N α (α - 1) ∑ я = 1 N [(yiy ¯) α - 1], α ≠ 0, 1, 1 N ∑ я знак равно 1 N yiy ¯ ln ⁡ yiy ¯, α = 1, - 1 N ∑ i = 1 N ln ⁡ yiy ¯, α = 0. {\ displaystyle GE (\ alpha) = { \ begin {cases} {\ frac {1} {N \ alpha (\ alpha -1)}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left [\ left ({\ frac {y_ {i}}) {\ overline {y}}} \ right) ^ {\ alpha} -1 \ right], \ alpha \ neq 0,1, \\ {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1 } ^ {N} {\ frac {y_ {i}} {\ overline {y}}} \ ln {\ frac {y_ {i}} {\ overline {y}}}, \ alpha = 1, \\ - {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ ln {\ frac {y_ {i}} {\ overline {y}}}, \ alpha = 0. \ end {cases}}}GE (\ alpha) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {N \ alpha (\ alpha -1)}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ left [\ left ({\ frac {y_ {i}} {\ overline {y}) }} \ right) ^ {\ alpha} -1 \ right], \ alpha \ neq 0,1, \\ {\ frac {1} {N}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {N } {\ frac {y _ {{i}}} {\ overline {y}}} \ ln {\ frac {y _ {{i}}} {\ overline {y}}}, \ alpha = 1, \\ - {\ frac {1} {N}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ ln {\ frac {y _ {{i}}} {\ overline {y}}}, \ alpha = 0. \ End {case}}

где N - количество случаев (например, домохозяйств или семей), yi {\ displaystyle y_ {i}}y_ {i} - доход для случая i и α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha - параметр, регулирующий заданный вес расстоянию между доходами в разных частях распределения дохода. Для больших α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha индекс особенно чувствителен к существованию больших доходов, тогда как для малых α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha индекс Индекс особенно чувствителен к наличию небольших доходов.

индекс Аткинсона для любого параметра неприятия неравенства может быть получен из обобщенного индекса энтропии при ограничении, что ϵ = 1 - α {\ displaystyle \ epsilon = 1- \ alpha }\ epsilon = 1- \ alpha - т.е. индекс Аткинсона с высоким уровнем неприятия неравенства выводится из индекса GE с малым α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha . Более того, это единственный класс мер неравенства, который является монотонным преобразованием индекса Аткинсона и является аддитивно разложимым. Многие популярные индексы, в том числе индекс Джини, не удовлетворяют аддитивной разложимости.

Формула для получения индекса Аткинсона с параметром неприятия неравенства ϵ {\ displaystyle \ epsilon}\ epsilon при ограничении ϵ = 1 - α {\ displaystyle \ epsilon = 1- \ alpha}\ epsilon = 1- \ alpha определяется по формуле

A = [ϵ (ϵ - 1) GE] ( 1 / (1 - ϵ)) ϵ ≠ 1 {\ displaystyle A = [\ epsilon (\ epsilon -1) GE] ^ {(1 / (1- \ epsilon))} \ qquad \ epsilon \ neq 1}{\ displaystyle A = [\ epsilon (\ epsilon -1) GE] ^ {(1 / (1- \ epsilon))} \ qquad \ epsilon \ neq 1}

A = 1 - e - GE ϵ = 1 {\ displaystyle A = 1-e ^ {- GE} \ qquad \ epsilon = 1}{\ displaystyle A = 1-e ^ {- GE} \ qquad \ epsilon = 1}

Обратите внимание, что обобщенный индекс энтропии имеет несколько показателей неравенства доходов как частные случаи. Например, GE (0) - это среднее логарифмическое отклонение, GE (1) - это индекс Тейла, а GE (2) - половина квадрата коэффициента вариации.

См. Также

Список литературы

Последняя правка сделана 2021-05-21 14:49:01
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте