Войти
В теории операторов, теорема Гельфанда – Мазура - это теорема, названная в честь Израиля Гельфанда и Станислава Мазура, которая утверждает, что банахова алгебра с единицей над комплексными числами, в которых каждый ненулевой элемент обратимый изометрически изоморфен комплексным числам , п. е., единственная комплексная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, - это комплексные числа C.
Теорема следует из того факта, что спектр любого элемента комплексной банаховой алгебры является непусто: для каждого элемента a комплексной банаховой алгебры A существует комплексное число λ такое, что λ1 - a необратимо. Это следствие комплексной аналитичности резольвентной функции . По предположению λ1 - a = 0. Значит, a = λ · 1. Это дает изоморфизм от A к C.
. Теорема может быть усилена до утверждения, что существует (с точностью до изоморфизма) ровно три вещественных банаховых алгебры с делением: поле вещественных чисел R, поле комплексных чисел C и алгебра деления кватернионов H. Этот результат был впервые доказан Станиславом Мазуром, но он был опубликован во Франции без доказательств, когда автор отказал редактору в просьбе сократить его доказательство. Несколько лет спустя Гельфанд (независимо) опубликовал доказательство этого сложного случая.
