Теорема Гаусса – Бонне

Связывает интегральную кривизну поверхности с ее топологией, ее эйлеровой характеристикой Пример сложной области, где Гаусс –Теорема Бонне применима. Показывает знак геодезической кривизны.

Теорема Гаусса – Бонне или формула Гаусса – Бонне - это связь между поверхностями в дифференциале геометрия. Он связывает кривизну поверхности (из геометрии ) с ее эйлеровой характеристикой (из топологии ).

В простейшем приложении, в случае треугольника на плоскости, сумма его углов составляет 180 градусов. Теорема Гаусса-Бонне распространяет это на более сложные формы и искривленные поверхности, соединяя локальную и глобальную геометрии.

Теорема названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который разработал версию, но не опубликовал ее, и Пьера Оссиана Бонне, опубликовавшего особый случай в 1848 году.

• 1 Положение
• 2 Интерпретация и значение
• 3 Для треугольников
• 4 Особые случаи
  • 4.1 Треугольники
  • 4.2 Многогранники
• 5 Комбинаторный аналог
• 6 Обобщения
• 7 В популярной культуре
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
  • 9.1 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Предположим, $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- компактное двумерное риманово многообразие с границей $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; M\}$. Пусть $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$будет гауссовой кривизной из $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, и пусть $kg\; \{\; \backslash \; displaystyle\; k\_\; \{g\}\}$быть геодезической кривизной из $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; M\}$. Тогда

$\int \; MK\; d\; A\; +\; \int \; \partial \; M\; kgds\; =\; 2\; \pi \; \chi \; (M),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; K\; \backslash ;\; dA\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; M\}\; k\_\; \{g\}\; \backslash ;\; ds\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; chi\; (M),\; \backslash ,\}$

где dA - элемент области поверхности, а ds - линейный элемент вдоль границы M. Здесь $\chi \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (M)\}$- характеристика Эйлера из $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$.

, если граница $\partial \; M\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; M\}$является кусочно-гладким, тогда мы интерпретируем интеграл $\int \; \partial \; M\; kgds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; M\}\; k\_\; \{g\}\; \backslash \; ;\; ds\}$как сумма соответствующих интегралов вдоль гладких участков границы плюс сумма углов, на которые гладкие участки поворачиваются на углах границы.

Многие стандартные доказательства используют теорему о касательных поворотах, которая примерно утверждает, что число витков кривой Жордана равно точно ± 1.

Теорема применима, в частности, к компактным поверхностям без границ, и в этом случае интеграл

$\int \; \partial \; M\; kgds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; M\}\; k\_\; \{g\}\; \backslash ;\; ds\; \}$

можно не указывать. В нем говорится, что полная гауссова кривизна такой замкнутой поверхности в 2π раз превышает эйлерову характеристику поверхности. Обратите внимание, что для ориентируемых компактных поверхностей без границ эйлерова характеристика равна $2–2\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; 2-2g\}$, где $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- это род поверхности: любая ориентируемая компактная поверхность без границ топологически эквивалентна сфере с некоторыми прикрепленными ручками, и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$подсчитывает количество ручек.

Если согнуть и деформировать поверхность $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, ее эйлерова характеристика, будучи топологическим инвариантом, не изменится, в то время как кривизна в некоторых точках изменится. Теорема заявляет, что несколько удивительно, что полный интеграл всех кривизны останется неизменным, независимо от того, как деформировать. Так, например, если у вас есть сфера с «вмятиной», то ее общая кривизна равна 4π (эйлерова характеристика сферы равна 2), независимо от того, насколько велика или глубока вмятина.

Решающее значение имеет компактность поверхности. Рассмотрим, например, открытый единичный круг, некомпактную риманову поверхность без границы, с кривизной 0 и с эйлеровой характеристикой 1: формула Гаусса – Бонне не работает. Однако это верно для компактного замкнутого единичного диска, который также имеет эйлерову характеристику 1 из-за добавленного граничного интеграла со значением 2π.

В качестве приложения тор имеет эйлерову характеристику 0, поэтому его общая кривизна также должна быть равна нулю. Если тор несет обычную риманову метрику из своего вложения в R, то внутренняя часть имеет отрицательную гауссову кривизну, внешняя часть имеет положительную гауссову кривизну, а полная кривизна действительно равна 0. Также можно построить тора, идентифицируя противоположные стороны квадрата, и в этом случае риманова метрика на торе плоская и имеет постоянную кривизну 0, что снова приводит к полной кривизне 0. Невозможно указать риманову метрику на торе с всюду положительной или всюду отрицательная гауссова кривизна.

Иногда формула GB обозначается как

$\int \; TK\; =\; 2\; \pi \; -\; \sum \; \alpha \; -\; \int \; \partial \; T\; \kappa \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{T\}\; K\; =\; 2\; \backslash \; pi\; -\; \backslash \; sum\; \backslash \; alpha\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{g\}\}$

где T - a. То есть на M мы определяем «треугольник», образованный тремя геодезическими. Затем мы можем применить GB к поверхности T, образованной внутренней частью этого треугольника и кусочной границей треугольника.

Геодезическая кривизна граничащих геодезических равна 0, а эйлерова характеристика T равна 1.

Следовательно, сумма углов поворота геодезического треугольника равна 2π минус общая кривизна в пределах треугольник. Поскольку угол поворота в углу равен π минус внутренний угол, мы можем перефразировать это следующим образом:

Сумма внутренних углов геодезического треугольника равна π плюс общая кривизна, заключенная в треугольник.

$\sum \; (\pi \; -\; \alpha )\; =\; \pi \; +\; \int \; TK\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; (\backslash \; pi\; -\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; pi\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{T\}\; K\}$

В случае плоскости (где гауссова кривизна равно 0, а геодезические - прямые), мы восстанавливаем знакомую формулу для суммы углов в обычном треугольнике. На стандартной сфере, где кривизна всюду равна 1, мы видим, что сумма углов геодезических треугольников всегда больше π.

Ряд более ранних результатов в сферической геометрии и гиперболической геометрии, открытых в предшествующие столетия, были отнесены к частным случаям Гаусса – Бонне.

Треугольники

В сферической тригонометрии и гиперболической тригонометрии площадь треугольника пропорциональна величине, на которую его внутренние углы не складываются. до 180 ° или, что то же самое, на (обратную) величину, на которую его внешние углы не могут составлять в сумме 360 °.

Площадь сферического треугольника пропорциональна его избытку по теореме Жирара - сумма, на которую его внутренние углы в сумме составляют более 180 °, что равна сумме, на которую его внешние углы в сумме составляют менее 360 °.

Площадь гиперболического треугольника, наоборот, пропорциональна его дефекту, как установлено Иоганном Генрихом Ламбертом.

Многогранники

теоремой Декарта о полном угловом дефекте многогранника является многогранным аналогом: он утверждает, что сумма дефектов во всех вершинах многогранника, гомеоморфного сфере, равна 4π. В более общем смысле, если многогранник имеет эйлерову характеристику $\chi \; =\; 2–2\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; =\; 2-2g\}$(где g - род, что означает «число дырок »), то сумма дефекта $2\; \pi \; \chi .\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; chi.\}$Это частный случай метода Гаусса – Бонне, когда кривизна сосредоточена в дискретных точках (вершинах).

Если рассматривать кривизну как меру, а не как функцию, теорема Декарта - это Гаусс-Бонне, где кривизна является дискретной мерой, и Гаусса-Бонне для мер обобщает как Гаусса – Бонне для гладких многообразий, так и теорему Декарта.

Существует несколько комбинаторных аналогов теоремы Гаусса – Бонне. Сформулируем следующее. Пусть $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$будет конечным двумерным псевдомногообразием. Пусть $\chi \; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (v)\}$обозначает количество треугольников, содержащих вершину $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$. Тогда

$\sum \; v\; \in \; int\; M\; (6\; -\; \chi \; (v))\; +\; \sum \; v\; \in \; \partial \; M\; (3\; -\; \chi \; (v))\; =\; 6\; \chi \; (M),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{v\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathrm\; \{int\}\}\; \{M\}\}\; \backslash \; left\; (6-\; \backslash \; chi\; (v)\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{v\; \backslash \; in\; \backslash \; partial\; M\}\; \backslash \; left\; (3-\; \backslash \; chi\; (v)\; \backslash \; right)\; =\; 6\; \backslash \; chi\; (M),\; \backslash \}$

, где первая сумма проходит по вершинам внутри $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, вторая сумма по граничным вершинам и $\chi \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (M)\}$- эйлерова характеристика $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$.

Подобные формулы могут быть получены для двумерного псевдомногообразия, когда мы заменяем треугольники на более высокие многоугольники. Для многоугольников с n вершинами мы должны заменить 3 и 6 в формуле выше на n / (n - 2) и 2n / (n - 2) соответственно. Например, для четырехугольника мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на 2 и 4 соответственно. Более конкретно, если $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$является замкнутым двумерным цифровым многообразием, род оказывается

$g\; =\; 1\; +\; M\; 5\; +\; 2\; M\; 6\; -\; M\; 3\; 8,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{M\_\; \{5\}\; +\; 2M\_\; \{6\}\; -M\_\; \{3\}\}\; \{8\}\},\}$

где $M\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{i\}\}$указывает количество точек поверхности, каждая из которых имеет $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$смежные точки на поверхности. Это простейшая формула теоремы Гаусса – Бонне в трехмерном цифровом пространстве.

Теорема Черна (после Shiing-Shen Chern 1945) является 2n-мерным обобщением GB (см. Также Гомоморфизм Черна – Вейля ).

Теорема Римана – Роха также может рассматриваться как обобщение GB на комплексные многообразия.

Чрезвычайно далеко идущее обобщение, которое включает в себя все вышеупомянутые теоремы, является теорема об индексе Атьи – Зингера, которая выиграла Майкл Атия и Исадор Сингер премией Абеля.

Обобщение на двумерные многообразия, требующие не быть компактным - это неравенство Кон-Фоссена.

В романе Грега Игана Диаспора два персонажа обсуждают происхождение эта теорема.

• Теорема Черна-Гаусса-Бонне
• Теорема Атьи-Зингера об индексе

Дополнительная литература

• Гринфельд, Павел (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей. Springer. ISBN 1-4614-7866-9.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

• Gauss– Теорема Капота в Wolfram Mathworld