Гаусс – Гравитация Капота

редактировать

В общей теории относительности, гравитация Гаусса – Бонне, также называемая гравитацией Эйнштейна – Гаусса – Бонне, является модификация действия Эйнштейна-Гильберта для включения члена Гаусса-Бонне (названного в честь Карла Фридриха Гаусса и Пьера Оссиана Бонне ) $G = R 2 - 4 R μ ν R μ ν + R μ ν ρ σ R μ ν ρ σ {\ Displaystyle G = R ^ {2} -4R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu } + R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma}}$ $G = R ^ {2} -4R ^ {{\ mu \ nu}} R _ {{\ mu \ nu}} + R ^ {{\ mu \ nu \ rho \ sigma}} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} }$

∫ d D x - g G {\ displaystyle \ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, G}

\ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, G

Этот термин нетривиален только для 4 + 1D или выше, и поэтому применяется только к моделям с дополнительными измерениями. В 3 + 1D он сводится к топологическому элементу поверхности. Это следует из обобщенной теоремы Гаусса – Бонне на четырехмерном многообразии

1 8 π 2 ∫ d 4 x - g G = χ (M) {\ displaystyle {\ frac {1} {8 \ pi ^ {2}}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \, G = \ chi (M)}

{\ frac {1} {8 \ pi ^ {2}}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \, G = \ chi (M)

В более низких измерениях он идентично равен нулю.

Несмотря на квадратичность в тензоре Римана (и тензоре Риччи ), члены, содержащие более двух частных производных от метрики, сокращаются, превращение уравнений Эйлера – Лагранжа второго порядка квазилинейных уравнений в частных производных в метрике. Следовательно, нет никаких дополнительных динамических степеней свободы, поскольку, скажем, в f (R) гравитация.

также было показано, что гравитация Гаусса – Бонне связана с классической электродинамикой посредством полной калибровки. инвариантность относительно теоремы Нётер.

В более общем плане мы можем рассматривать

∫ d D x - gf (G) {\ displaystyle \ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, f \ left (G \ right)}

\ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, f \ left (G \ right)

член для некоторой функции f. Нелинейность f делает эту связь нетривиальной даже в 3 + 1D. Таким образом, члены четвертого порядка снова появляются с нелинейностями.

См. Также

Ссылки