Процесс Гальтона – Ватсона

редактировать
Модель вероятности, первоначально предназначенная для моделирования исчезновения фамилий Вероятности выживания Гальтона – Ватсона для различных экспоненциальных темпов роста населения, если количество детей каждого можно предположить, что родительский узел подчиняется распределению Пуассона. Для λ ≤ 1 возможное вымирание произойдет с вероятностью 1. Но вероятность выживания нового типа может быть довольно низкой, даже если λ>1 и население в целом переживает довольно сильный экспоненциальный рост.

процесс Гальтона – Ватсона - это ветвящийся стохастический процесс, возникающий из Фрэнсиса грамм Статистическое исследование алтона исчезновения фамилий. Процесс моделирует фамилии как по отцовской линии (передается от отца к сыну), в то время как потомство случайным образом является либо мужским, либо женским, а имена вымирают, если линия фамилии вымирает (носители фамилии умирают без мужского пола). потомки). Это точное описание передачи Y-хромосомы в генетике, и поэтому модель полезна для понимания гаплогрупп ДНК Y-хромосомы человека, а также для понимания других процессов (например, описано ниже); но его применение к фактическому исчезновению фамилий чревато. На практике фамилии меняются по многим другим причинам, и исчезновение строки имени является лишь одним из факторов, как обсуждается в примерах ниже; Таким образом, процесс Гальтона – Ватсона имеет ограниченную применимость для понимания фактического распределения фамилий.

Среди викторианцев существовало опасение, что аристократические фамилии вымирают. Гальтон первоначально поставил математический вопрос о распределении фамилий среди идеализированного населения в выпуске 1873 года, и преподобный Генри Уильям Уотсон ответил с решением. Затем они вместе написали статью 1874 года под названием «О вероятности исчезновения семей» в Журнале Антропологического института Великобритании и Ирландии (ныне Журнал Королевского антропологического института ). Гальтон и Ватсон, по-видимому, развили свой процесс независимо от более ранней работы И. Ж. Биенайме ; см. Heyde and Seneta, 1977. Подробную историю см. у Kendall (1966 и 1975).

Содержание

  • 1 Концепции
  • 2 Математическое определение
  • 3 Критерий вымирания для процесса Гальтона-Ватсона
  • 4 Бисексуальный процесс Гальтона-Ватсона
    • 4.1 Критерий вымирания
  • 5 Примеры
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Внешние ссылки

Концепции

Предположим, ради модели, что фамилии передаются всем детям мужского пола от их отца. Предположим, что количество сыновей человека является случайной величиной , распределенной на множестве {0, 1, 2, 3,...}. Далее предположим, что количество сыновей разных мужчин является независимыми случайными величинами, и все они имеют одинаковое распределение.

Тогда простейший существенный математический вывод состоит в том, что если среднее число сыновей мужчины равно 1 или меньше, то их фамилия почти наверняка вымрет, а если больше 1, тогда вероятность того, что он выживет в течение любого заданного числа поколений, больше нуля.

Современные приложения включают вероятности выживания для нового мутантного гена, или инициирование ядерной цепной реакции, или динамику вспышек заболеваний в их первых поколениях распространения или шансы исчезновения небольшой популяции организмов ; а также объяснение (возможно, наиболее близкое к первоначальному интересу Гальтона), почему только горстка мужчин в глубоком прошлом человечества теперь имеет каких-либо выживших потомков по мужской линии, что отражено в довольно небольшом количестве отличительных гаплогрупп ДНК Y-хромосомы человека.

Следствием высокой вероятности вымирания является то, что если линия выжила, она, скорее всего, испытала, чисто случайно, необычно высокую скорость роста в ее ранних поколениях, по крайней мере, по сравнению с остальной частью населения.

Математическое определение

Процесс Гальтона – Ватсона - это случайный процесс {X n }, который развивается согласно рекуррентной формуле X 0 = 1 и

Икс N + 1 знак равно ∑ J знак равно 1 Икс N ξ J (N) {\ Displaystyle X_ {n + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {X_ {n}} \ xi _ {j } ^ {(n)}}X_ {n + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {X_ {n}} \ xi _ {j} ^ {(n)}

где {ξ j (n): n, j ∈ N} {\ displaystyle \ {\ xi _ {j} ^ {(n)}: n, j \ in \ mathbb {N} \}}\ {\ xi _ {j} ^ {(n)}: n, j \ in \ mathbb {N} \} - это набор независимых и одинаково распределенных случайных величин с натуральными числами.

По аналогии с фамилиями, X n можно рассматривать как количество потомков (по мужской линии) в n-м поколении, а ξ j (n) {\ displaystyle \ xi _ {j} ^ {(n)}}\ xi _ {j} ^ {(n)} можно представить как количество (мужских) потомков j-го из этих потомков. Отношение рекуррентности утверждает, что количество потомков в n + 1-м поколении является суммой по всем потомкам n-го поколения числа потомков этого потомка.

Вероятность исчезновения (то есть вероятность окончательного исчезновения) определяется как

lim n → ∞ Pr (X n = 0). {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Pr (X_ {n} = 0). \,}\ lim _ {n \ to \ infty} \ Pr (X_ {n} = 0). \,

Это явно равно нулю, если каждый член совокупности имеет ровно одного потомка. За исключением этого случая (обычно называемого тривиальным случаем) существует простое необходимое и достаточное условие, которое приводится в следующем разделе.

Критерий вымирания для процесса Гальтона – Ватсона

В нетривиальном случае вероятность окончательного вымирания равна единице, если E {ξ 1 } ≤ 1 и строго меньше единицы, если E {ξ 1 }>1.

Процесс можно обработать аналитически, используя метод функций, генерирующих вероятность.

Если количество дочерних элементов ξ j в каждом узле следует распределению Пуассона с параметром λ можно найти особенно простое повторение для общей вероятности вымирания x n для процесса, начинающегося с одного человека в момент времени n = 0:

xn + 1 = e λ (xn - 1), {\ displaystyle x_ {n + 1} = e ^ {\ lambda (x_ {n} -1)}, \,}x_ {n + 1} = e ^ {\ lambda (x_ {n} -1)}, \,

, что дает приведенные выше кривые.

Бисексуальный процесс Гальтона – Ватсона

В классическом процессе Гальтона – Ватсона, описанном выше, рассматриваются только мужчины, эффективно моделируя воспроизводство как бесполое. Модель, более точно соответствующая фактическому половому размножению, - это так называемый «бисексуальный процесс Гальтона – Ватсона», при котором размножаются только пары. (Бисексуальность в данном контексте относится к количеству вовлеченных полов, а не к сексуальной ориентации.) В этом процессе каждый ребенок считается мужчиной или женщиной, независимо друг от друга, с определенной вероятностью и таким образом так называемая «брачная функция» определяет, сколько пар сформируется в данном поколении. Как и раньше, воспроизведение разных пар считается независимым друг от друга. Теперь аналог тривиального случая соответствует случаю, когда каждый самец и самка воспроизводятся ровно в одной паре, имея одного потомка самца и одну женщину, и что функция спаривания принимает значение минимума из числа самцов и самок (которое то же самое со следующего поколения и далее).

Поскольку полное воспроизводство в поколении теперь сильно зависит от функции спаривания, в целом не существует простого необходимого и достаточного условия для окончательного вымирания, как в случае классического процесса Гальтона – Ватсона. Однако, исключая нетривиальный случай, концепция (Bruss (1984)) допускает общее достаточное условие для окончательного исчезновения, рассматриваемое в следующем разделе.

Критерий вымирания

Если в нетривиальном случае количество на пару остается ограниченным для всех поколений и не превышает 1 для достаточно большого размера популяции, то вероятность окончательного вымирания всегда равна 1.

Примеры

Цитирование исторических примеров процесса Гальтона – Ватсона затруднено из-за того, что история фамилий часто значительно отклоняется от теоретической модели. Примечательно, что могут быть созданы новые имена, существующие имена могут быть изменены в течение жизни человека, и люди исторически часто принимали имена не связанных между собой лиц, особенно знати. Таким образом, небольшое количество фамилий в настоящее время не является само по себе свидетельством того, что имена вымерли с течением времени или что они вымерли из-за вымирания строк фамилий - для этого требуется, чтобы было больше имен в прошлом и что они вымирают из-за вымирания линии, а не из-за смены имени по другим причинам, например, когда вассалы принимают имя своего лорда.

Китайские имена являются хорошо изученным примером исчезновения фамилий: в настоящее время в Китае используется только около 3100 фамилий по сравнению с 12000, зарегистрированными в прошлом, причем 22% населения разделяют имена Li, Ван и Чжан (насчитывается около 300 миллионов человек), а также 200 ведущих имен, охватывающих 96% населения. Имена изменились или вымерли по разным причинам, таким как люди, берущие имена своих правителей, орфографические упрощения, табу на использование символов из имени императора, среди прочего. Хотя исчезновение линий фамилий может быть фактором исчезновения фамилий, это ни в коем случае не единственный и даже не значительный фактор. Действительно, наиболее значительный фактор, влияющий на частоту фамилий, - это другие этнические группы, идентифицирующие себя как хань и принимающие ханьские имена. Кроме того, хотя новые имена возникли по разным причинам, это перевесило исчезновение старых имен.

Напротив, некоторые народы приняли фамилии только недавно. Это означает, что фамилии у них не исчезли в течение длительного периода времени, и что имена были приняты, когда у нации было относительно большое население, а не меньшее население древних времен. Кроме того, эти имена часто выбираются творчески и очень разнообразны. Примеры включают:

  • японские имена, которые обычно используются только до восстановления Мэйдзи в конце 19 века (когда население составляло более 30 000 000 человек), имеют более 100 000 фамилий, фамилии очень разнообразны, и правительство ограничивает супружеские пары использовать одну и ту же фамилию.
  • Многие голландские имена включали фамилию только после наполеоновских войн в начале 19-го века. века, и существует более 68 000 голландских фамилий.
  • Тайские имена включали фамилию только с 1920 года, и только одна семья может использовать данную фамилию; отсюда огромное количество тайских имен. Кроме того, тайцы с некоторой долей вероятности меняют свои фамилии, что усложняет анализ.

С другой стороны, некоторые примеры высокой концентрации фамилий не связаны в первую очередь с процессом Гальтона – Ватсона:

  • Вьетнамские имена иметь около 100 фамилий, и 60% населения имеют три фамилии. Имя Нгуен, по оценкам, используется почти 40% населения Вьетнама, а 90% разделяют 15 имен. Однако, как показывает история имени Нгуен, это в немалой степени связано с тем, что имена навязываются людям или принимаются по причинам, не связанным с генетическим родством.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-21 10:58:29
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте