G-ожидание

редактировать

В теории вероятностей g-ожидание - это нелинейное ожидание, основанное на обратном стохастическом дифференциальном уравнении (BSDE), первоначально разработанном Шиге Пэн.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Существование и уникальность
  • 3 См. также
  • 4 Ссылки

Определение

Для данного вероятностного пространства (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}(\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P}) с (W t) t ≥ 0 {\ displaystyle (W_ {t}) _ {t \ geq 0}}{\ displaystyle (W_ {t}) _ {t \ geq 0}} является (d-мерным) Винеровский процесс (на том месте). Учитывая фильтрацию, сгенерированную (W t) {\ displaystyle (W_ {t})}{\ displaystyle (W_ {t})} , то есть F t = σ (W s: s ∈ [ 0, t]) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = \ sigma (W_ {s}: s \ in [0, t])}{\ displaystyle {\ mathcal {F} } _ {t} = \ sigma (W_ {s}: s \ in [0, t])} , пусть X {\ displaystyle X}X быть FT {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}{\ mathcal {F} } _ {T} измеримым. Рассмотрим BSDE, задаваемый следующим образом:

d Y t = g (t, Y t, Z t) dt - Z td W t YT = X {\ displaystyle {\ begin {align} dY_ {t} = g (t, Y_ {t}, Z_ {t}) \, dt-Z_ {t} \, dW_ {t} \\ Y_ {T} = X \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} dY_ {t} = g (t, Y_ {t}, Z_ {t}) \, dt-Z_ {t} \, dW_ {t} \\ Y_ {T} = Икс \ конец {выровнено}}}

Тогда g-ожидание для X {\ displaystyle X}X задается как E g [X]: = Y 0 {\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X]: = Y_ {0 }}{\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X]: = Y_ {0}} . Обратите внимание: если X {\ displaystyle X}X является m-мерным вектором, то Y t {\ displaystyle Y_ {t}}Y_ {t} (для каждого раза t {\ displaystyle t}t ) - это m-мерный вектор, а Z t {\ displaystyle Z_ {t}}Z_ {t} - это m × d { \ displaystyle m \ times d}{\ displaystyle m \ times d} матрица.

Фактически условное ожидание задается как E g [X ∣ F t]: = Y t {\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]: = Y_ {t}}{\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ { t}]: = Y_ {t}} и, как и из формального определения условного ожидания, следует, что E g [1 AE g [X ∣ F t]] = E g [1 AX] {\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ { t}]] = \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} X]}{\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} \ mathbb {E} ^ {g} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]] = \ mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} X]} для любого A ∈ F t {\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {t}}{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {t}} (а функция 1 {\ displaystyle 1}1 - это индикаторная функция ).

Существование и уникальность

Пусть g: [0, T] × R m × R m × d → R m {\ displaystyle g: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ times d} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}{\ displaystyle g: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ times d} \ to \ mathbb {R} ^ {m} } удовлетворить:

  1. g (⋅, y, z) {\ displaystyle g (\ cdot, y, z)}{\ displaystyle g (\ cdot, y, z)} - это F t {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}{\ mathcal {F}} _ {t} -адаптированный процесс для каждого (y, z) ∈ R m × Р м × d {\ displaystyle (y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ ti mes d}}{\ displaystyle (y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {m \ times d}}
  2. ∫ 0 T | g (t, 0, 0) | dt ∈ L 2 (Ω, FT, P) {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} | g (t, 0,0) | \, dt \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {T}, \ mathbb {P})}{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} | г (T, 0,0) | \, dt \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {T}, \ mathbb {P})} пространство L2 (где | ⋅ | {\ displaystyle | \ cdot |}| \ cdot | является нормой в R m {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}\ mathbb {R} ^ {m} )
  3. g {\ displaystyle g}g is Липшицево непрерывное в (y, z) {\ displaystyle (y, z)}(y, z) , т.е. для каждого y 1, y 2 ∈ R m {\ displaystyle y_ {1}, y_ {2 } \ in \ mathbb {R} ^ {m}}{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {m}} и z 1, z 2 ∈ R m × d {\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb { R} ^ {m \ times d}}{\ displaystyle z_ {1 }, z_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times d}} следует, что | g (t, y 1, z 1) - g (t, y 2, z 2) | ≤ C (| y 1 - y 2 | + | z 1 - z 2 |) {\ displaystyle | g (t, y_ {1}, z_ {1}) - g (t, y_ {2}, z_ {2}) | \ leq C (| y_ {1} -y_ {2} | + | z_ {1} -z_ {2} |)}{\ displaystyle | g (t, y_ {1}, z_ {1}) - g (t, y_ {2}, z_ {2}) | \ leq C (| y_ {1} -y_ {2} | + | z_ {1} -z_ {2} |)} для некоторой константы C {\ displaystyle C}C

Тогда для любая случайная величина X ∈ L 2 (Ω, F t, P; R m) {\ displaystyle X \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})}{\ displaystyle X \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})} существует единственная пара F t {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}{\ mathcal {F}} _ {t} -адаптированные процессы (Y, Z) {\ displaystyle (Y, Z)}{\ displaystyle (Y, Z)} , которые удовлетворяют стохастическое дифференциальное уравнение.

В частности, если g {\ displaystyle g}g дополнительно удовлетворяет:

  1. g {\ displaystyle g}g является непрерывным в время (t {\ displaystyle t}t )
  2. g (t, y, 0) ≡ 0 {\ displaystyle g (t, y, 0) \ Equiv 0}{\ displaystyle g (t, y, 0) \ Equiv 0} для всех (t, y) ∈ [0, T] × R m {\ displaystyle (t, y) \ in [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m}}{\ displaystyle (t, y) \ in [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {m}}

тогда для конечной случайной величины X ∈ L 2 (Ω, F t, P; R m) {\ displaystyle X \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})}{\ displaystyle X \ in L ^ {2} (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {t}, \ mathbb {P}; \ mathbb {R} ^ {m})} следует, что процессы решения (Y, Z) {\ displaystyle (Y, Z)}{\ displaystyle (Y, Z)} интегрируемы с квадратом. Следовательно, E g [X | F t] {\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X | {\ mathcal {F}} _ {t}]}{\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {g} [X | {\ mathcal {F}} _ {t}]} интегрируется с квадратом на все времена t {\ displaystyle t}t .

См. также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-21 08:10:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте