Полная обратная связь по состоянию

редактировать

Полная обратная связь состояния (ФФС), или полюса размещение, является методом, используемым в обратной теории системы управления, чтобы поместить полюса с замкнутым контуром из в растениях в заранее определенных местах в с-плоскостью. Размещение полюсов желательно, потому что расположение полюсов прямо соответствует собственным значениям системы, которые управляют характеристиками отклика системы. Чтобы реализовать этот метод, систему следует считать управляемой.

Содержание

  • 1 Принцип
  • 2 Пример ФСПО
  • 3 См. Также
  • 4 ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Принцип

Система в разомкнутом контуре

Если динамика с обратной связью может быть представлена ​​уравнением пространства состояний (см. Пространство состояний (элементы управления) )

Икс _ ˙ знак равно А Икс _ + B ты _ , {\ displaystyle {\ dot {\ underline {x}}} = \ mathbf {A} {\ underline {x}} + \ mathbf {B} {\ underline {u}},}

с выходным уравнением

y _ знак равно C Икс _ + D ты _ , {\ displaystyle {\ underline {y}} = \ mathbf {C} {\ underline {x}} + \ mathbf {D} {\ underline {u}},}

то полюса передаточной функции системы являются корнями характеристического уравнения, заданного формулой

| s я - А | знак равно 0. {\ displaystyle \ left | s {\ textbf {I}} - {\ textbf {A}} \ right | = 0.}

Полная обратная связь по состоянию используется путем управления входным вектором. Рассмотрим вход, пропорциональный (в матричном смысле) вектору состояния, ты _ {\ displaystyle {\ underline {u}}}

Система с обратной связью по состоянию (замкнутый контур)
ты _ знак равно - K Икс _ {\ displaystyle {\ underline {u}} = - \ mathbf {K} {\ underline {x}}}.

Подставляя в приведенные выше уравнения пространства состояний, мы имеем

Икс _ ˙ знак равно ( А - B K ) Икс _ {\ displaystyle {\ dot {\ underline {x}}} = (\ mathbf {A} - \ mathbf {B} \ mathbf {K}) {\ underline {x}}}
y _ знак равно ( C - D K ) Икс _ . {\ displaystyle {\ underline {y}} = (\ mathbf {C} - \ mathbf {D} \ mathbf {K}) {\ underline {x}}.}

Полюса системы FSF задаются характеристическим уравнением матрицы,. Сравнение членов этого уравнения с членами желаемого характеристического уравнения дает значения матрицы обратной связи, которая переводит собственные значения замкнутого контура в положения полюсов, заданные желаемым характеристическим уравнением. А - B K {\ displaystyle \ mathbf {A} - \ mathbf {B} \ mathbf {K}} Det [ s я - ( А - B K ) ] знак равно 0 {\ displaystyle \ det \ left [s {\ textbf {I}} - \ left ({\ textbf {A}} - {\ textbf {B}} {\ textbf {K}} \ right) \ right] = 0 } K {\ displaystyle {\ textbf {K}}}

Пример ФСПО

Рассмотрим систему, заданную следующими уравнениями пространства состояний:

Икс _ ˙ знак равно [ 0 1 - 2 - 3 ] Икс _ + [ 0 1 ] ты _ . {\ displaystyle {\ dot {\ underline {x}}} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ - 2 amp; -3 \ end {bmatrix}} {\ underline {x}} + {\ begin {bmatrix} 0 \ \ 1 \ end {bmatrix}} {\ underline {u}}.}

Неуправляемая система имеет разомкнутые полюса при и. Эти полюса являются собственными значениями матрицы и корнями матрицы. Предположим, для рассмотрения отклика мы хотим, чтобы собственные значения управляемой системы находились на и, которые не являются полюсами, которые у нас есть в настоящее время. Тогда желаемое характеристическое уравнение будет от. s знак равно - 1 {\ displaystyle s = -1} s знак равно - 2 {\ displaystyle s = -2} А {\ displaystyle \ mathbf {A}} | s я - А | {\ displaystyle \ left | s \ mathbf {I} - \ mathbf {A} \ right |} s знак равно - 1 {\ displaystyle s = -1} s знак равно - 5 {\ displaystyle s = -5} s 2 + 6 s + 5 знак равно 0 {\ displaystyle s ^ {2} + 6s + 5 = 0} ( s + 1 ) ( s + 5 ) {\ Displaystyle (s + 1) (s + 5)}

Следуя описанной выше процедуре, характеристическое уравнение управляемой системы FSF имеет вид

| s я - ( А - B K ) | знак равно Det [ s - 1 2 + k 1 s + 3 + k 2 ] знак равно s 2 + ( 3 + k 2 ) s + ( 2 + k 1 ) , {\ displaystyle \ left | s \ mathbf {I} - \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {B} \ mathbf {K} \ right) \ right | = \ det {\ begin {bmatrix} s amp; -1 \\ 2 + k_ {1} amp; s + 3 + k_ {2} \ end {bmatrix}} = s ^ {2} + (3 + k_ {2}) s + (2 + k_ {1}),}

где

K знак равно [ k 1 k 2 ] . {\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ begin {bmatrix} k_ {1} amp; k_ {2} \ end {bmatrix}}.}

Приравнивая это характеристическое уравнение к искомому характеристическому уравнению, находим

K знак равно [ 3 3 ] {\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ begin {bmatrix} 3 amp; 3 \ end {bmatrix}}}.

Следовательно, установка заставляет полюса замкнутого контура перемещаться в желаемое положение, влияя на отклик по желанию. ты _ знак равно - K Икс _ {\ displaystyle {\ underline {u}} = - \ mathbf {K} {\ underline {x}}}

Это работает только для систем с одним входом. В системах с несколькими входами матрица не является уникальной. Следовательно, выбор лучших значений нетривиален. Для таких приложений можно использовать линейно-квадратичный регулятор. K {\ displaystyle {\ textbf {K}}} K {\ displaystyle {\ textbf {K}}}

Смотрите также

Ссылки

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2024-01-08 04:03:35
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте