Эффект Франца – Келдыша

редактировать

Эффект Франца – Келдыша - это изменение оптического поглощения на полупроводник при приложении электрического поля. Эффект назван в честь немецкого физика Вальтера Франца и русского физика Леонида Келдыша (племянника Мстислава Келдыша ).

Карл В. Беер впервые наблюдал сдвиг оптического края поглощения с электрическими полями во время открытия доменов с большим полем и назвал это эффектом Франца. Несколько месяцев спустя, когда появился английский перевод статьи Келдыша, он исправил это до эффекта Франца-Келдыша.

Как первоначально предполагалось, эффект Франца-Келдыша является результатом волновых функций «утекает» в запрещенную зону. При приложении электрического поля волновые функции электрона и дырки становятся функциями Эйри, а не плоскими волнами. Функция Эйри включает «хвост», который простирается в классически запрещенную запрещенную зону. Согласно золотому правилу Ферми, чем больше перекрытие между волновыми функциями свободного электрона и дырки, тем сильнее будет оптическое поглощение. Хвосты Эйри немного перекрываются, даже если электрон и дырка находятся под немного разными потенциалами (немного разные физические положения вдоль поля). Спектр поглощения теперь включает хвост при энергиях ниже запрещенной зоны и некоторые колебания над ней. Это объяснение, однако, не учитывает эффекты экситонов, которые могут доминировать над оптическими свойствами вблизи запрещенной зоны.

Эффект Франца – Келдыша возникает в однородных объемных полупроводниках, в отличие от квантово-ограниченного эффекта Штарка, для которого требуется квантовая яма. Оба используются в модуляторах электропоглощения. Эффект Франца-Келдыша обычно требует сотен вольт, что ограничивает его полезность с традиционной электроникой - хотя это не относится к коммерчески доступным модуляторам электропоглощения на основе эффекта Франца-Келдыша, которые используют геометрию волновода для направления оптический носитель.

Содержание

1 Влияние на модуляционную спектроскопию
- 1.1 Одноэлектронный гамильтониан в электромагнитном поле
- 1.2 Двухчастичный (электронно-дырочный) гамильтониан с электромагнитным полем
2 См. Также
3 Примечания
4 Ссылки

Влияние на спектроскопию модуляции

Коэффициент поглощения связан с диэлектрической проницаемостью (особенно сложной частью \ каппа 2). Из уравнения Максвелла легко найти соотношение,

α = 2 ω k 0 c = ω κ 2 n 0 c. {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {2 \ omega k_ {0}} {c}} = {{\ omega \ kappa _ {2}} \ over {n_ {0} c}}.}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {2 \ omega k_ {0}} {c}} = {{\ омега \ каппа _ {2}} \ над {n_ {0} c}}.}

n0и k 0 - действительная и комплексная части показателя преломления материала. Мы рассмотрим прямой переход электрона из валентной зоны в зону проводимости , индуцированный падающим светом в идеальном кристалле, и попытаемся учесть изменения коэффициента поглощения для каждого гамильтониана с вероятным взаимодействием типа электрон-фотон, электрон-дырка, внешнего поля. Этот подход следует из. Первой целью мы ставим теоретические основы эффекта Франца – Келдыша и модуляционной спектроскопии третьей производной.

Одноэлектронный гамильтониан в электромагнитном поле

$H = 1 2 m (p + e A) 2 + V (r) {\ displaystyle H = {1 \ over 2m} (\ mathbf { p} + e \ mathbf {A}) ^ {2} + V (r)}$ ${\ displaystyle H = {1 \ более 2m} (\ mathbf {p} + e \ mathbf {A}) ^ {2} + V (r)}$ (A: векторный потенциал, V (r): периодический потенциал)

$A = 1 2 A 0 e [ei ( кп ⋅ р - ω T) + е - я (кп ⋅ р - ω т)] {\ Displaystyle A = {1 \ более 2} A_ {0} е [е ^ {я (k_ {p} \ CDOT г- \ omega t)} + e ^ {- i (k_ {p} \ cdot r- \ omega t)}]}$ ${\ displaystyle A = {1 \ более 2} A_ {0} e [e ^ {i (k_ {p} \ cdot r- \ omega t)} + e ^ {- i (k_ {p} \ cdot r- \ omega t)}]}$ (kpи e - волновой вектор поля em и единичный вектор.)

Пренебрегая квадратным членом $A 2 {\ displaystyle A ^ {2}}$ $A ^ {2}$ и используя соотношение $A ⋅ p = p ⋅ A {\ displaystyle A \ cdot p = p \ cdot A}$ ${\ displaystyle A \ cdot p = p \ cdot A}$ в кулоновской калибровке $∇ ⋅ A = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot A = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot A = 0}$ , получаем

$H ∼ п 2 2 м + В (г) + em A ⋅ p {\ displaystyle H \ sim {p ^ {2} \ over 2m} + V (r) + {e \ over m} A \ cdot p}$ ${\ displaystyle H \ s im {p ^ {2} \ over 2m} + V (r) + {e \ over m} A \ cdot p}$

Затем с помощью функции Блоха $| jk⟩ знак равно eik ⋅ rujk (r) {\ displaystyle | jk \ rangle = e ^ {ik \ cdot r} u_ {jk} (r)}$ ${\ displaystyle | jk \ rangle = e ^ {ik \ cdot r} u_ {jk} (r)}$ (j = v, c, что означает валентную зону, зона проводимости)

вероятность перехода может быть получена так, что

$wcv = 2 π ℏ | ⟨C k ′ | e m A ⋅ p | v k⟩ | 2 δ [E c (k ′) - E v (k) - ℏ ω] {\ displaystyle w_ {cv} = {2 \ pi \ over \ hbar} | \ langle ck '| {e \ over m} A \ cdot p | vk \ rangle | ^ {2} \ delta [\ mathrm {E} _ {c} (k ') - \ mathrm {E} _ {v} (k) - \ hbar \ omega]}$ $w_{cv}={2\pi \over \hbar }|\langle ck'|{e \over m}A\cdot p|vk\rangle |^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]$ $= π e 2 2 ℏ m 2 A 0 2 | ⟨C k ′ | e x p (я к p ⋅ r) e ⋅ p | v k⟩ | 2 δ [E c (k ′) - E v (k) - ℏ ω] {\ displaystyle = {\ pi e ^ {2} \ over 2 \ hbar m ^ {2}} A_ {0} ^ {2} | \ langle ck '| exp (ik_ {p} \ cdot r) e \ cdot p | vk \ rangle | ^ {2} \ delta [\ mathrm {E} _ {c} (k') - \ mathrm {E } _ {v} (k) - \ hbar \ omega]}$ $={\pi e^{2} \over 2\hbar m^{2}}A_{0}^{2}|\langle ck'|exp(ik_{p}\cdot r)e\cdot p|vk\rangle |^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]$ ( $kp {\ displaystyle k_ {p}}$ $k_p$ означает волновой вектор света) $e ⋅ pcv знак равно 1 В ∫ vei (kp + k - k ′) ⋅ ru ∗ ck ′ (r) e ⋅ (p + ℏ k) uvk (r) d 3 r {\ displaystyle e \ cdot p_ {cv} = {1 \ over V} \ int _ {v} e ^ {i (k_ {p} + k-k ') \ cdot r} {u ^ {*}} _ {ck'} (r) e \ cdot (p + \ hbar k) u_ {vk} (r) d ^ {3} r}$ $e\cdot p_{cv}={1 \over V}\int _{v}e^{i(k_{p}+k-k')\cdot r}{u^{*}}_{ck'}(r)e\cdot (p+\hbar k)u_{vk}(r)d^{3}r$

Рассеяние мощности электромагнитных волн в единицу времени и единицу объема приводит к следующему уравнению

$ℏ ω wcv = 1 2 ω κ 2 ϵ 0 E 0 2 {\ displaystyle \ hbar \ omega w_ {cv} = {1 \ over 2} \ omega \ kappa _ {2} \ epsilon _ {0} {E_ {0}} ^ { 2}}$ ${\ displaystyle \ hbar \ omega w_ {cv} = {1 \ over 2} \ omega \ kappa _ {2 } \ epsilon _ {0} {E_ {0}} ^ {2}}$

Из связи между электрическим полем и векторным потенциалом, $E = - ∂ A ∂ t {\ displaystyle {E} = - {{\ partial A} \ over {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle {E} = - {{\ partial A} \ over {\ partial t}}}$ , мы можем положить $E 0 = ω A 0 {\ displaystyle E_ {0} = \ omega A_ {0}}$ ${\ displaystyle E_ {0} = \ omega A_ {0}}$

И, наконец, мы можем получить мнимую часть диэлектрической проницаемости и, конечно, коэффициент поглощения. $κ = π e 2 ϵ 0 m 2 ω 2 ∑ k, k ′ | e ⋅ p c v | 2 δ [Е с (к ') - Е v (к) - ℏ ω] δ kk ′ {\ displaystyle \ kappa = {{\ pi e ^ {2}} \ over {\ epsilon _ {0} m ^ { 2} \ omega ^ {2}}} \ sum _ {k, k '} | e \ cdot p_ {cv} | ^ {2} \ delta [\ mathrm {E} _ {c} (k') - \ mathrm {E} _ {v} (k) - \ hbar \ omega] \ delta _ {kk '}}$ $\kappa ={{\pi e^{2}} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}\sum _{k,k'}|e\cdot p_{cv}|^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]\delta _{kk'}$

Двухчастичный (электронно-дырочный) гамильтониан с электромагнитным полем

Электрон в валентная зона (волновой вектор k) возбуждается поглощением фотона в зону проводимости (волновой вектор в зоне $k '= ke {\ displaystyle k' = k_ {e}}$ $k'=k_{e}$ ) и оставляет дыру в валентной зоне (волновой вектор дыры равен $kh = - k {\ displaystyle k_ {h} = - k}$ ${\ displaystyle k_ {h} = - k}$ ). В этом случае мы включаем электронно-дырочное взаимодействие. ( $V (re - rh) {\ displaystyle V (r_ {e} -r_ {h})}$ ${\ displaystyle V (r_ {e} -r_ {h})}$ )

Думая о прямом переходе, $| ke |, | kh | {\ displaystyle | k_ {e} |, | k_ {h} |}$ ${\ displaystyle | k_ {e} |, | k_ {h} |}$ почти то же самое. Но предположим, что небольшая разница в импульсе из-за поглощения фотона не игнорируется и пара связанное состояние-электрон-дырка очень слаба, и для этого применимо приближение эффективной массы. Тогда мы можем составить следующую процедуру, волновую функцию и волновые векторы электрона и дырки

$Ψ ij (re, rh) = ψ ike (re) ψ jkh (rh) {\ displaystyle \ Psi _ {ij} (r_ {e}, r_ {h}) = \ psi _ {ik_ {e}} (r_ {e}) \ psi _ {jk_ {h}} (r_ {h})}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {ij} (r_ {e}, r_ {h}) = \ psi _ {ik_ {e}} (r_ {e}) \ psi _ {jk_ {h}} (r_ {h})}$ (i, j - индексы диапазона, а r e, r h, k e, k h - координаты и волновые векторы электрона и дырки соответственно)

И мы можем взять полный волновой вектор K такой, что

$K = ke + kh. {\ Displaystyle K = k_ {e} + k_ {h}.}$ ${\ displaystyle K = k_ {e} + k_ {h}.}$ $H = H e + H h + V (re - rh) {\ displaystyle H = H_ {e} + H_ {h} + V (r_ {e} -r_ {h})}$ ${\ displaystyle H = H_ {e} + H_ {h} + V (r_ {e} -r_ {h})}$

Тогда блоховские функции электрона и дырки могут быть построенный с фазовым членом $A cvn, K {\ displaystyle A_ {cv} ^ {n, K}}$ ${\ displaystyle A_ {cv} ^ {n, K}}$ $Ψ n, K (re, rh) = ∑ c, ke, v, kh A cvn, К (ке, кх) ψ СКК (пере) ψ vkh (rh) {\ Displaystyle \ Psi ^ {n, K} (r_ {e}, r_ {h}) = \ sum _ {c, k_ {e}, v, k_ {h}} A_ {cv} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h}) \ psi _ {ck_ {e}} (r_ {e}) \ psi _ {vk_ {h }} (r_ {h})}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {n, K} (r_ {e}, r_ {h}) = \ sum _ {c, k_ {e}, v, k_ {h}} A_ {cv} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h}) \ psi _ {ck_ {e}} (r_ {e}) \ psi _ {vk_ {h}} (r_ {h})}$

Если V медленно изменяется на расстоянии интеграла, термин можно трактовать следующим образом.

$[E c (ke) + E h (kh) + V (re - rh) - ϵ] A c, V n, K (ke, kh) = 0 (∗) {\ displaystyle [\ mathrm {E } _ {c} (k_ {e}) + \ mathrm {E} _ {h} (k_ {h}) + V (r_ {e} -r_ {h}) - \ epsilon] A_ {c, V} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h}) = 0 (*)}$ ${\ displaystyle [\ mathrm {E} _ {c} (k_ {e}) + \ mathrm {E} _ {h} (k_ {h }) + V (r_ {e} -r_ {h}) - \ epsilon] A_ {c, V} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h}) = 0 (*)}$

здесь мы предполагаем, что зона проводимости и валентная зона являются параболическими со скалярными массами и что в верхней части валентной зоны $E v = 0 {\ displaystyle \ mathrm {E} _ {v} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {E} _ {v} = 0}$ , т.е. $E c (ke) = ℏ 2 ke 2 2 me + EG, E h ( кх) = ℏ 2 кч 2 2 мч {\ displaystyle \ mathrm {E} _ {c} (k_ {e}) = {{\ hbar ^ {2} k_ {e} ^ {2}} \ over {2m_ { e}}} + \ mathrm {E} _ {G}, \ mathrm {E} _ {h} (k_ {h}) = {{\ hbar ^ {2} k_ {h} ^ {2}} \ over {2m_ {h}}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {E} _ { c} (k_ {e}) = {{\ hbar ^ {2} k_ {e} ^ {2}} \ over {2m_ {e}}} + \ mathrm {E} _ {G}, \ mathrm {E } _ {ч } (k_ {h}) = {{\ hbar ^ {2} k_ {h} ^ {2}} \ over {2m_ {h}}}}$ ( $EG {\ displaystyle \ mathrm {E} _ {G}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {E} _ {G}}$ - это энергетическая щель)

Теперь преобразование Фурье из $A cvn, K (ke, kh) {\ displaystyle A_ {cv} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h})}$ ${\ displaystyle A_ {cv} ^ {n, K} (k_ {e}, k_ {h})}$ и выше ( *) уравнение для эффективной массы экситона можно записать в виде

$[(- ℏ 2 2 M ∇ 2) + (- ℏ 2 2 μ ∇ 2 - e 2 4 π ϵ r)] Φ n, k ( r, R) Знак равно [E - EG] ⋅ Φ N, К (г, R) {\ displaystyle [(- {\ hbar ^ {2} \ over 2M} \ nabla ^ {2}) + (- {\ hbar ^ {2} \ over 2 \ mu} \ nabla ^ {2} - {e ^ {2} \ over 4 \ pi \ epsilon r})] \ Phi ^ {n, k} (r, R) = [\ mathrm {E} - \ mathrm {E} _ {G}] \ cdot \ Phi ^ {n, K} (r, R)}$ ${\ displaystyle [(- {\ hbar ^ {2} \ более 2M} \ nabla ^ {2}) + (- {\ hbar ^ {2} \ over 2 \ mu} \ nabla ^ {2} - {e ^ {2} \ over 4 \ pi \ epsilon r})] \ Phi ^ {n, k} (r, R) = [\ mathrm {E} - \ mathrm {E} _ {G}] \ cdot \ Phi ^ {n, K} (r, R)}$

$r = re - rh, R = simple + mhrhme + mh, 1 μ = 1 me + 1 mh, M = мне + mh {\ displaystyle r = r_ {e} -r_ {h}, R = {{m_ {e} r_ {e} + m_ {h} r_ {h}} \ over {m_ { e} + m_ {h}}}, {1 \ over \ mu} = {1 \ over m_ {e}} + {1 \ over m_ {h}}, M = m_ {e} + m_ {h}}$ ${\ displaystyle r = r_ {e} -r_ {h}, R = {{m_ {e} r_ {e} + m_ {h} r_ {h}} \ over {m_ {e} + m_ {h}}}, {1 \ over \ mu} = {1 \ over m_ {e}} + {1 \ over m_ {h}}, M = m_ {e} + m_ {h}}$

тогда решение уравнения дается выражением

$Ψ n, K (r, R) = Ψ K (R) ψ n (r) {\ displaystyle \ Psi ^ {n, K} (r, R) Знак равно \ Psi _ {K} (R) \ psi _ {n} (r)}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {n, K} (r, R) = \ Psi _ {K} (R) \ psi _ {n} (r)}$ $Ψ n, K (r, R) = 1 V exp (i K ⋅ R) ϕ n (r) {\ displaystyle \ Psi ^ {n, K} (r, R) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} exp (iK \ cdot R) \ phi _ {n} (r)}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {n, K} (r, R) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} exp (iK \ cdot R) \ phi _ {n} (r)}$

$ϕ n (r) {\ displaystyle \ phi _ {n} (r)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n} (r)}$ называется огибающей функцией экситона. Основное состояние экситона задается аналогично атому водорода.

, тогда диэлектрическая проницаемость равна

$κ 2 (ω) = π e 2 ϵ 0 m 2 ω 2 | e ⋅ p c v | 2 ∑ λ | ϕ λ (0) | 2 δ (EG + E λ - ℏ ω) (∗ ∗) {\ displaystyle \ kappa _ {2} (\ omega) = {\ pi e ^ {2} \ over {\ epsilon _ {0} m ^ {2 } \ omega ^ {2}}} | e \ cdot p_ {cv} | ^ {2} \ sum _ {\ lambda} | \ phi _ {\ lambda} (0) | ^ {2} \ delta (\ mathrm {E} _ {G} + \ mathrm {E} _ {\ lambda} - \ hbar \ omega) (**)}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {2} (\ omega) = {\ pi e ^ {2} \ over {\ epsilon _ {0} m ^ {2} \ omega ^ {2}}} | e \ cdot p_ {cv} | ^ { 2} \ sum _ {\ lambda} | \ phi _ {\ lambda} (0) | ^ {2} \ delta (\ mathrm {E} _ {G} + \ mathrm {E} _ {\ lambda} - \ hbar \ omega) (**)}$

подробный расчет находится в.

Эффект Франца – Келдыша означает электрон в валентной зоне может быть разрешено возбуждение в зону проводимости путем поглощения фотона с его энергией ниже запрещенной зоны. Теперь мы думаем об уравнении эффективной массы для относительного движения пары электронная дырка, когда к кристаллу приложено внешнее поле. Но мы не должны брать в гамильтониан взаимный потенциал электронно-дырочной пары.

Если пренебречь кулоновским взаимодействием, уравнение эффективной массы будет

$[- ℏ 2 2 μ ∇ 2 - e E ⋅ r] ψ (r) = ϵ ψ (r) {\ displaystyle [- {\ hbar ^ {2} \ over 2 \ mu} \ nabla ^ {2} -eE \ cdot r] \ psi (r) = \ epsilon \ psi (r)}$ ${\ displaystyle [- {\ hbar ^ {2} \ over 2 \ mu} \ nabla ^ {2} -eE \ cdot r] \ psi ( r) = \ epsilon \ psi (r)}$ .

И уравнение может быть выражено,

$[- ℏ 2 2 μ d 2 дри 2 - е E iri - ϵ я] ψ (ri) = 0 {\ displaystyle [- {\ hbar ^ {2} \ over 2 \ mu} {d ^ {2} \ over {dr_ {i} ^ {2}}} - eE_ {i} r_ {i} - \ epsilon _ {i}] \ psi (r_ {i}) = 0}$ ${\ displaystyle [- {\ hbar ^ {2} \ over 2 \ mu} { d ^ {2} \ over {dr_ {i} ^ {2}}} - eE_ {i} r_ {i} - \ epsilon _ {i}] \ psi (r_ {i}) = 0}$ (где $μ i {\ displaystyle \ mu _ {i}}$ $\ mu _ {i}$ - значение в направлении главной оси тензора приведенной эффективной массы)

Использование замены переменных:

$ℏ θ я знак равно (е 2 E я 2 ℏ 2 2 μ я) 1/3, ξ я = ϵ я + е E iri ℏ θ я {\ Displaystyle \ HBAR \ theta _ {я} = ({{е ^ {2} E_ {i} ^ {2} \ hbar ^ {2}} \ over {2 \ mu _ {i}}}) ^ {1/3}, \ xi _ {i} = {{\ epsilon _ {i} + eE_ {i} r_ {i}} \ over {\ hbar \ theta _ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ hbar \ theta _ {i} = ({{e ^ {2} E_ {i} ^ {2} \ hbar ^ {2}} \ over {2 \ mu _ {i}}}) ^ {1/3}, \ xi _ {i} = {{\ epsilon _ {i} + eE_ {i} r_ {i}} \ over {\ hbar \ theta _ {i}}}}$

, тогда решение будет

$ψ (ξ x, ξ y, ξ z) = C Икс С Y С Z A я (- ξ Икс) A я (- ξ Y) A я (- ξ Z) {\ Displaystyle \ psi (\ xi _ {x}, \ xi _ {y}, \ xi _ {z}) = C_ {x} C_ {y} C_ {z} Ai (- \ xi _ {x}) Ai (- \ xi _ {y}) Ai (- \ xi _ {z})}$ ${\ displaystyle \ psi (\ xi _ {x}, \ xi _ {y}, \ xi _ {z}) = C_ {x} C_ {y} C_ {z} Ai ( - \ xi _ {x}) Ai (- \ xi _ {y}) Ai (- \ xi _ {z})}$

где $C i = e | E i | ℏ θ {\ displaystyle C_ {i} = {{\ sqrt {e | E_ {i} |}} \ over {\ hbar \ theta}}}$ ${\ displaystyle C_ {i} = {{\ sqrt {е | E_ {i} |}} \ over {\ hbar \ theta}}}$

Например, $E y = E z = 0, E x {\ displaystyle E_ {y} = E_ {z} = 0, E_ {x}}$ ${\ displaystyle E_ {y} = E_ {z} = 0, E_ {x}}$ решение дается выражением

$ψ (x, y, z) = C ⋅ A i (- е Е Икс - ϵ + ℏ 2 ky 2/2 μ y + ℏ 2 kz 2/2 μ z ℏ θ x) {\ displaystyle \ psi (x, y, z) = C \ cdot Ai ({{- eEx- \ epsilon + \ hbar ^ {2} k_ {y} ^ {2} / 2 \ mu _ {y} + \ hbar ^ {2} k_ {z} ^ {2} / 2 \ mu _ {z} } \ over {\ hbar \ theta _ {x}}})}$ ${\ displaystyle \ psi (x, y, z) = C \ cdot Ai ({{- eEx- \ epsilon + \ hbar ^ {2} k_ {y} ^ {2} / 2 \ mu _ {y} + \ hbar ^ {2} k_ {z} ^ {2} / 2 \ mu _ {z}} \ over {\ hbar \ theta _ {x}}})}$

Диэлектрическую проницаемость можно получить, вставив это уравнение в (**) (блок выше) и изменив суммирование по λ на $∫ - ∞ ∞ d ϵ xd ϵ ярд ϵ z {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ epsilon _ {x} d \ epsilon _ {y} d \ epsilon _ {z}}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ epsilon _ {x} d \ epsilon _ {y} d \ epsilon _ {z}}$

Интеграл относительно $d ϵ xd ϵ y {\ displaystyle d \ epsilon _ {x} d \ epsilon _ {y}}$ ${\ displaystyle d \ epsilon _ {x} d \ epsil на _ {y}}$ дается совместной плотностью указывает для диапазона с двумя D. (Совместная плотность состояний - это не что иное, как смысл плотности состояний как электрона, так и дырки одновременно.)

$κ (ω, E) = π 2 ϵ 0 m 2 ω 2 | e ⋅ p c v | 2 e | E x | ℏ θ x 2 ∫ - ∞ ∞ J 2 D c v (ℏ ω - ϵ G - ϵ x) ⋅ | A i (- ϵ x ℏ θ) 2 | d ϵ x. {\ displaystyle {\ kappa (\ omega, E)} = {{\ pi ^ {2}} \ over {\ epsilon _ {0} m ^ {2} \ omega ^ {2}}} | e \ cdot p_ {c} v | ^ {2} {{e | E_ {x} |} \ over {\ hbar \ theta _ {x} ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} { J ^ {2D}} _ {cv} (\ hbar \ omega - \ epsilon _ {G} - \ epsilon _ {x}) \ cdot | Ai (- {{\ epsilon _ {x}} \ over {\ hbar \ theta}}) ^ {2} | d \ epsilon _ {x}.}$ ${\ displaystyle {\ kappa (\ omega, E)} = {{\ pi ^ {2}} \ over {\ epsilon _ {0} m ^ {2} \ omega ^ {2}}} | e \ cdot p_ {c} v | ^ {2} {{ e | E_ {x} |} \ over {\ hbar \ theta _ {x} ^ {2}}} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} {J ^ {2D}} _ {cv} (\ hbar \ omega - \ epsilon _ {G} - \ epsilon _ {x}) \ cdot | Ai (- {{\ epsilon _ {x}} \ over {\ hbar \ theta}}) ^ {2} | d \ epsilon _ {x}.}$

где $J cv 2 D (ℏ ω) = (μ y μ z) 1/2 π ℏ 2, ℏ ω>ϵ G. {\ displaystyle J_ {cv} ^ {2D} (\ hbar \ omega) = {(\ mu _ {y} \ mu _ {z}) ^ {1/2} \ over \ pi \ hbar ^ {2}}, \ hbar \ omega>\ epsilon _ {G}.}$ $J_{cv}^{2D}(\hbar \omega)={(\mu _{y}\mu _{z})^{1/2} \over \pi \hbar ^{2}},\hbar \omega>\ epsilon _ {G}.$

$= 0, ℏ ω < ϵ G. {\displaystyle =0,\hbar \omega <\epsilon _{G}.}$ ${\ displaystyle = 0, \ hbar \ omega <\ epsilon _ {G}.}$

Затем мы положим $η = ℏ ω - ϵ G ℏ θ x {\ displaystyle eta = {{\ hbar \ omega - \ epsilon _ {G}} \ over {\ hbar \ theta _ {x}}}}$ ${\ displaystyle \ eta = {{\ hbar \ omega - \ epsilon _ {G}} \ over {\ hbar \ theta _ {x}}}}$

И подумайте о случае, который мы находим $η << 0 {\displaystyle \eta <<0}$ ${\ displaystyle \ eta <<0}$ , таким образом $ℏ ω << ϵ G {\displaystyle \hbar \omega <<\epsilon _{G}}$ ${\ displaystyle \ hbar \ omega <<\ epsilon _ {G} }$ с асимптотическим решением для функции Эйри в этом пределе.

Наконец, $κ 2 (ω, E x) = 1/2 κ 2 ( ω) ехр [- 4 3 (ϵ G - ℏ ω ℏ θ x)] {\ displaystyle \ kappa _ {2} (\ omega, E_ {x}) = {1/2} \ kappa _ {2} (\ omega) exp [{- 4 \ over 3} ({{\ epsilon _ {G} - \ hbar \ omega} \ over {\ hbar \ theta _ {x}}})]}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {2} (\ omega, E_ {x}) = {1/2} \ kappa _ {2} (\ omega) exp [{- 4 \ over 3} ({{\ epsilon _ {G} - \ hbar \ omega} \ over {\ hbar \ theta _ {x}}})]}$

Следовательно, диэлектрическая функция для падающего фотона существует энергия ниже запрещенной зоны! Эти результаты показывают, что происходит поглощение падающего фотона.

См. также

Квантово-ограниченный эффект Штарка

Примечания

Ссылки

W. Franz, Einfluß eines elektrischen Feldes auf eine optische Absorptionskante, Z. Naturforschung 13a (1958) 484–489.
L. Келдыш В. Поведение неметаллических кристаллов в сильных электрических полях // Изв. Теорет. Phys. (СССР) 33 (1957) 994–1003, перевод: Soviet Physics JETP 6 (1958) 763–770.
L. Келдыш В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны // Изв. Теорет. Phys. (СССР) 47 (1964) 1945–1957, перевод: Soviet Physics JETP 20 (1965) 1307–1314.
Уильямс, Ричард (1960-03-15). "Поглощение света, индуцированное электрическим полем в CdS". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 117 (6): 1487–1490. DOI : 10.1103 / Physrev.117.1487. ISSN 0031-899X.
J. И. Панков, Оптические процессы в полупроводниках, Dover Publications Inc., Нью-Йорк (1971).
H. Хауг и С. В. Кох, "Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников", World Scientific (1994).
C. Киттель, «Введение в физику твердого тела», Wiley (1996).